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福建省三明市2017届高三下学期普通高中毕业班5月质量检查文科数学试题+Word版含答案

2017 年三明市普通高中毕业班质量检查

文 科 数 学
一、选择题: 1.已知集合 M ? x y ? 1 ? 3x , 集合 N ? x x2 ? 1 ? 0 ,则 M ? N ?

?

?

?

?

A.

?x ?1 ? x ? 3 ? ?
1 ?

B.

?x x ? 1 ? ?
3?

C.

?x x ? 1 ? ?
3?

D. x

?

1 ? ? x ? 1? 3 ?

2.复数

1? i (其中 i 是虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为 3 ? 4i
B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

A. 第一象限

3.已知向量 a ? (3 , 1) , b ? ( x , ? 1) ,若 a - b 与 b 共线,则 x 的值等于 A.-3 B. 1 C. 2 D.1 或 2

4.现有 A , B 两门选修课供甲、乙、丙三人随机选择,每人必须且只能选其中一门,则甲乙 两人都选 A 选修课的概率是 A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

? x ? 0, y ? 5. 若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1,则 的最大值为 ? x ? y ? 1, x ? 2 ?
A.

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

i s 6. 已知命题 p1 : 则n 若 sin x ? 0 ,

x?

1 n i s

2? 恒成立;p2 : x

x ? y ? 0 的充要条件是
的是 A. p1 ? p2 C. p1 ? (?p2 )

x ? ?1 .则下列命题为真命题 y
B. p1 ? p2 D. (?p1 ) ? p2

7.执行如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的

文科数学试题 第 1 页(共 4 页)

值为 2,则输出 S 的值为 A.64

B.84

C.340

D.1364

8.已知函数 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? 3 cos( x ? ? ) (| ? |?

π ) 的图象关于直线 x ? π 对称, 2

则 cos 2? ? A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

9.已知中心在原点的双曲线,其右焦点与圆 x2 ? 4 x ? y 2 ? 1 ? 0 的圆心重合,且渐近线与该 圆相离,则双曲线离心率的取值范围是 A. (1 ,

2 3 ) 3

B. (1, 2)

C. (

2 3 , ? ?) 3

D. (2 , ? ?)

? ln x ( x ? 0), ? ?1 ? x 10.函数 f ( x ) ? ? 的图象大致是 ? ln ? ? x ? ( x ? 0) ? ? 1? x

11.在△ ABC 中, ?BAC 的平分线交 BC 边于 D ,若 AB ? 2 , AC ? 1 ,则△ ABD 面积的 最大值为 A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D. 1

12.已知球 O 的半径为 1, A, B 是球面上的两点,且 AB ? 3 ,若点 P 是球面上任意一点, 则 PA ? PB 的取值范围是 A. [ ?

??? ? ??? ?

3 1 , ] 2 2

B. [ ?

1 3 , ] 2 2

C. [0 ,

1 ] 2

D. [0 ,

3 ] 2

文科数学试题 第 2 页(共 4 页)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

3 π π n ( t ? )? ? __________. , 且 ? ? (0 , ) , 则a 2 4 5 2 14.若抛物线 y ? ax (a ? 0) 上任意一点到 x 轴距离比到焦点的
13.已知 sin ? ? 距离小 1,则实数 a 的值为_______. 15.某几何体的三视图如图所示,设该几何体中最长棱所在的直 线为 m ,与直线 m 不相交的其中一条棱所在直线为 n ,则直 线 m 与 n 所成的角为__________. 16. 已知函数 f ( x) ? log2 x ,g ( x) ? x2 , 则函数 y ? g ( f ( x)) ? x 零点的个数为 .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 2 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

n ?1 ,求数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn . an

18.某市为了引导居民合理用水,居民生活用水实行二级阶梯式水价计量办法,具体如下: 第一阶梯,每户居民月用水量不超过 12 吨,价格为 4 元/吨;第二阶梯,每户居民月用水量 超过 12 吨,超过部分的价格为 8 元/吨.为了了解全市居民月用水量的分布情况,通过抽样获 得了 100 户居民的月用水量(单位:吨) ,将数据按照 [0, 2] , (2 , 4] ,…, (14 , 16] 分成 8 组,制成了如图 1 所示的频率分布直方图.

(图 1) (Ⅰ)求频率分布直方图中字母 a 的值,并求该组的频率;

(图 2)

(Ⅱ)通过频率分布直方图,估计该市居民每月的用水量的中位数 m 的值(保留两位小 数) ; (Ⅲ)如图 2 是该市居民张某 2016 年 1~6 月份的月用水费 y (元)与月份 x 的散点图, 其拟合的线性回归方程是 ? y ? 2 x ? 33 . 若张某 2016 年 1~7 月份水费总支出为 文科数学试题 第 3 页(共 4 页)

312 元,试估计张某 7 月份的用水吨数. 19 .如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 是平行四边形,

?ABC ? 45? , AD ? AP ? 2 , AB ? DP ? 2 2 , E 为 CD 的中点,点 F 在线段 PB 上.
(Ⅰ)求证: AD ? PC ; (Ⅱ)当三棱锥 B ? EFC 的体积等于四棱锥
P ? ABCD 体积的

1 PF 时,求 的值. PB 6

20.已知直线 y ? x ? m 与抛物线 x 2 ? 4 y 相切,且与 x 轴的交点为 M ,点 N (?1,0) .若动点 P 与两定点 M , N 所构成三角形的周长为 6. (Ⅰ) 求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 设斜率为

1 的直线 l 交曲线 C 于 A , B 两点,当 PM ? MN 时, 2 证明: ?APM ? ?BPM .

21.已知函数 f ( x) ?

1 3 5 x ? ax 2 ? bx ? (a ? 0 , b ? R ) , f ( x) 在 x ? x1 和 x ? x2 处取得极值, 3 6

且 | x1 ? x2 |? 5 ,曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? y ? 2 ? 0 垂直. (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)证明关于 x 的方程 (k ? 1)e
2 x ?1

? k f ?( x) ? 0 至多只有两个实数根(其中 f ?( x ) 是

. f ( x) 的导函数, e 是自然对数的底数) 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若直线 l 的 极坐标方程为 2? cos(? ? ) ? 2 ? 0 ,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? cos? ,将曲线 C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,然后再向右平移一个单位得到曲 线 C1 . (Ⅰ)求曲线 C1 的直角坐标方程; (Ⅱ)已知直线 l 与曲线 C1 交于 A , B 两点,点 P(2 , 0) ,求 PA ? PB 的值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ?1 , a ? R . (Ⅰ)当 a ? 3 时,求关于 x 的不等式 f ( x) ? 6 的解集;

π 4

文科数学试题 第 4 页(共 4 页)

(Ⅱ)当 x ? R 时,

f ( x) ? a2 ? a ? 13 ,求实数 a 的取值范围.试卷答案

一、选择题
1-5: ACAAB 6-10:DBCDC 11、12:B、B

二、填空题
13.7 14.

1 4

15.

? 3

16.3

三、解答题
17. 解: (Ⅰ) Sn ? 2an ? 2 , 当 n ? 1 时, a1 ? 2a1 ? 2 ,则 a1 ? 2 , 当 n ? 2 时, Sn ? 2an ? 2 , Sn?1 ? 2an?1 ? 2 , 两式相减,得 an ? 2an ? 2an?1 ,所以 an ? 2an?1 . 所以 {an } 是以首项为 2,公比为 2 的等比数列, 所以 an ? 2 .
n

(Ⅱ)因为 bn ?

n ?1 1 ? (n ? 1)( ) n , n 2 2 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? ? ? ( n ? 1) ? ( ) n , 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? 4 ? ( ) 4 ? ? ? ( n ? 1) ? ( ) n ?1 , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ? ? ( ) n ? ( n ? 1)( ) n ?1 , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? ( )1 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ? ? ( ) n ? ( n ? 1)( ) n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( )n ] 1 1 2 ? (n ? 1)( 1 )n?1 , Tn ? ? 2 1 2 2 2 1? 2 1 1 1 n 1 1 Tn ? ? 1 ? ( ) ? ( n ? 1)( ) n ?1 ,所以 Tn ? 3 ? (n ? 3)( ) n . 2 2 2 2 2

两式相减,即得

18.解: (Ⅰ)∵ (0.02 ? 0.04 ? 0.08 ? a ? 0.13 ? 0.08 ? 0.03 ? 0.02) ? 2 ? 1 , 文科数学试题 第 5 页(共 4 页)

∴ a ? 0.10 . 第四组的频率为: 0.1? 2 ? 0.2 . (Ⅱ)因为 0.02 ? 2 ? 0.04 ? 2 ? 0.08 ? 2 ? 0.10 ? 2 ? (m ? 8) ? 0.13 ? 0.5 ,

0.5 ? 0.48 ? 8.15 . 0.13 1 7 ? (Ⅲ)∵ x ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6) ? ,且 y ? 2 x ? 33 , 6 2 7 ∴ y ? 2 ? ? 33 ? 40 . 2
所以 m ? 8 ? 所以张某 7 月份的用水费为 312 ? 6 ? 40 ? 72 . 设张某 7 月份的用水吨数 x 吨, ∵ 12 ? 4 ? 48 ? 72 ∴ 12 ? 4 ? ( x ? 12) ? 8 ? 72 , x ? 15 . 则张某 7 月份的用水吨数 15 吨. 19. 解: (Ⅰ)证明:在平行四边形 ABCD 中,连接 AC ,因为 AB ? 2 2 , BC ? 2 ,

?ABC ? 45? ,
由余弦定理得 AC 2 ? 8 ? 4 ? 2? 2 2? 2? cos 45? ? 4 ,得 AC ? 2 , 所以 ?ACB ? 90? ,即 BC ? AC ,又 AD / / BC ,所以 AD ? AC , 又 AD ? AP ? 2 , DP ? 2 2 ,所以 PA ? AD , AP ? AC ? A , 所以 AD ? 平面 PAC ,所以 AD ? PC . (Ⅱ)因为 E 为 CD 的中点,∴ S ?BEC ?

1 S , 4 四边形ABCD

∵侧面 PAD ? 底面 ABCD ,侧面 PAD ? 底面 ABCD ? AD ,

PA ? AD ,∴ PA ? 平面 ABCD .设 F 到平面 ABCD 的距离为 h ,

1 1 1 1 VF ? ABCD ,∴ ? S?BEC ? h ? ? ? S ABCD ? PA , 6 3 6 3 2 PF 1 ? . ∴ h ? PA ,所以 3 PB 3
∵ VB ? EFC ? VF ? BEC ? 20.解: (Ⅰ)因为直线 y ? x ? m 与抛物线 x2 ? 4 y 相切,所以方程 x2 ? 4( x ? m) 有等根, 文科数学试题 第 6 页(共 4 页)

则 16 ? 16m ? 0 ,即 m ? ?1 ,所以 M (1,0) . 又因为动点 P 与定点 M (1,0), N (?1,0) 所构成的三角形周长为 6,且 MN ? 2 , 所以 PM ? PN ? 4 ? MN ? 2 , 根据椭圆的定义,动点 P 在以 M , N 为焦点的椭圆上,且不在 x 轴上, 所以 2a ? 4, 2c ? 2 ,得 a ? 2, c ? 1 ,则 b ? 3 , 即曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) . 4 3

1 ? y ? x?t ? 1 ? 2 (Ⅱ)设直线 l 方程 y ? x ? t (t ? ?1) ,联立 ? 2 ,得 x 2 ? tx ? t 2 ? 3 ? 0 , 2 2 x y ? ? ?1 ? 3 ?4
? ? ?3t 2 ? 12 ? 0 ,所以 ?2 ? t ? 2 ,此时直线 l 与曲线 C 有两个交点 A, B ,
2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?t , x1 x2 ? t ? 3 ,

∵ PN ? MN ,不妨取 P (1, ) , 要证明 ?APN ? ?BPN 恒成立,即证明 K AP ? K BP ? 0 ,

3 2

即证

y1 ?

3 3 y2 ? 3 3 2? 2 ? 0 ,也就是要证 ( y1 ? )( x2 ? 1) ? ( y2 ? )( x1 ? 1) ? 0 , 2 2 x1 x2

即证 x1 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? 3 ? 2t ? 0 ,由韦达定理所得结论可得此式子显然成立, 所以 ?APN ? ?BPN 成立. 21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? x2 ? 2ax ? b ,因为 f ( x ) 在 x ? x1 和 x ? x2 处取得极值, 所以 x ? x1 和 x ? x2 是方程 x 2 ? 2ax ? b ? 0 的两个根,则 x1 ? x2 ? ?2a , x1 x2 ? b , 又 x1 ? x2 ? 5 ,则 ( x1 ? x2 ) ? 4x1 x2 ? 5 ,所以 4a 2 ? 4b ? 5 .
2

由已知曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? y ? 2 ? 0 垂直,所以可得 f ?(1) ? 1 , 文科数学试题 第 7 页(共 4 页)

1 ? ? 4a 2 ? 4b ? 5 ?a ? 即 2a ? b ? 1 ? 1 ,由此可得 ? ,解得 ? 2 . ? 2a ? b ? 0 ? ?b ? ?1
所以 f ( x) ?

1 3 1 2 5 x ? x ?x? . (Ⅱ)对于 (k 2 ? 1)e x?1 ? kf ?( x) ? 0 , 3 2 6

(1)当 k ? 0 时,得 e x?1 ? 0 ,方程无实数根; (2)当 k ? 0 时,得 k ?

1 x2 ? x ?1 x2 ? x ?1 ,令 , ? g ( x ) ? k e x ?1 e x ?1

g ?( x) ? ?e

x2 ? x ? 2 ( x ? 1)( x ? 2) 当 x ? (??, ?1) ? (2, ??) 时, g ?( x) ? 0 ; ? ?e x e ex

当 x ? ?1 或 2 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? (?1, 2) 时, g ?( x) ? 0 . ∴ g ( x) 的单调递减区间是 (??, ?1) 和 (2, ??) ,单调递增区间是 (?1, 2) . 函数 g ( x) 在 x ? ?1 和 x ? 2 处分别取得极小值和极大值.

5 ( g ( x))极小 =g (?1) ? ?e2 ? 0 , ( g ( x))极大 =g(2)= ? 0 , e
对于 g ( x) ?

x2 ? x ?1 ,由于 e x?1 ? 0 恒成立. e x ?1

且 y ? x2 ? x ?1 是与 x 轴有两个交点,开口向上的抛物线, 所以曲线 y ? g ( x) 与 x 轴有且只有两个交点,从而 g ( x) 无最大值,

( g( x))min ? ( g( x))极小 ? ?e2 .
1 1 ? ?2 ,直线 y ? k ? 与曲线 y ? g ( x) 至多有两个交点; k k 1 5 1 若 k ? 0 ? k ? ? 2 ? ? ( g ( x))极大 ,直线 y ? k ? 与曲线 y ? g ( x) 只有一个交点; k e k
若 k ? 0 时? k ? 综上所述,无论 k 取何实数,方程 (k 2 ? 1)e x?1 ? kf ?( x) ? 0 至多只有两实数根. 22. 解: (Ⅰ) 曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? x , 所以曲线 C1 的直角坐标方程为 y 2 ? 2( x ? 1) . (Ⅱ)由直线 l 的极坐标方程 2 ? cos(? ?

?
4

) ? 2 ? 0 ,得 ? cos? ? ? sin ? ? 2 ? 0 ,

文科数学试题 第 8 页(共 4 页)

所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,又点 P(2, 0) 在直线 l 上,

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 所以直线 l 的参数方程为: ? ( t 为参数) , ?y ? 2 t ? ? 2
代入 C1 的直角坐标方程得 t 2 ? 2 2t ? 4 ? 0 ,设 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 , 则 ? ? 8 ? 16 ? 0 , t1 ? t2 ? ?2 2 , t1t2 ? ?4 , 所以 | PA | ? | PB |?| t1 | ? | t2 |?| t1 ? t2 | ?

(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 8 ? 16 ? 2 6 .

23.解: (Ⅰ)当 a ? 3 时,不等式 f ( x) ? 6 为 | 2 x ? 3 | ? | 2 x ? 1|? 6 ,

1 1 1 时,不等式可化为 ?(2 x ? 3) ? (2 x ?1) ? ?4 x ? 4 ? 6 ,解得 ? ? x ? , 2 2 2 1 3 1 3 若 ? x ? 时,不等式可化为 ?(2 x ? 3) ? (2 x ? 1) ? 2 ? 6 ,解得 ? x ? , 2 2 2 2 3 3 5 若 x ? 时,不等式可化为 (2 x ? 3) ? (2 x ? 1) ? 4 x ? 4 ? 6 ,解得 ? x ? , 2 2 2
若x? 综上所述,关于 x 的不等式 f ( x) ? 6 的解集为 ? x | ?

? ?

1 5? ? x? ?. 2 2?

(Ⅱ)当 x ? R 时, f ( x) ?| 2 x ? a | ?2 x ? 1|? | 2 x ? a ? 1 ? 2 x |?|1 ? a | , 所以当 x ? R 时, f ( x) ? a 2 ? a ? 13 等价于 |1 ? a |? a2 ? a ?13 , 当 a ? 1 时,等价于 1 ? a ? a 2 ? a ? 13 ,解得 ? 14 ? a ? 1 ; 当 a ? 1 时,等价于 a ? 1 ? a 2 ? a ? 13 ,解得 1 ? a ? 1 ? 13 , 所以 a 的取值范围为 [? 14,1 ? 13] .

文科数学试题 第 9 页(共 4 页)


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