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高三数学综合检测题 导数及其应用

高三数学综合检测题 导数及其应用
(时间:120 分钟;满分:150 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数 y=(sin x2)3 的导数是( ) 2 2 A.3x· sin x · sin 2x B.3(sin x2)2 C.6x(sin x2)2· cos x2 D.6sin x2· cos x2 4? ? 1 2.曲线 y=3x3+x 在点?1,3?处的切线与坐标轴围成的三角形面 ? ? 积为( ) 1 2 1 2 A.9 B.9 C.3 D.3 3.函数 f(x)=x2-2ln x 的单调减区间是( ) A.(0,1] B.[1,+∞) C.(-∞,-1]及(0,1] D.[-1,0)及(0,1] 1 4.若曲线 y= x 有一切线与直线 2x-y+1=0 垂直,则切点为 ( ) ? ? 2? ? 2? 2 2? ? 2 2? A.? 2, ?或?- 2,- ? B.?- , ?或? ,- ? 2? ? 2? 2 2? ?2 2? ? ? ? ? 2? 2? C.? 2,- ? D.?- 2, ? 2? 2? ? ? 5.设 f(x),g(x)在(a,b)上可导,f(x)、g(x)的图象在[a,b]上连续 不断,且 f′(x)>g′(x),则当 a<x<b 时,有( ) A.f(x)>g(x) B.f(x)<g(x) C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b) 3 2 6.已知 f(x)=2x -6x +m(m 为常数),在[-2,2]上有最大值 3, 那么此函数在[-2,2]上的最小值为 ( ) A.-37 B.-29 C.-5 D.-11 x 2 7.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=e +x -x+sin x,则曲线 y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是( ) A.y=2x-1 B.y=3x-2 C.y=x+1 D.y=-2x+3 2 8.设 a>0,f(x)=ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切 π? ? 线的倾斜角的取值范围为?0,4?,则 P 到曲线 y=f(x)对称轴距离的取 ? ?

值范围为( 1? ? A.?0,a?

)
? ? ? ?b-1?? ?? D.?0,? ? ? 2a ??

? ? ? ? b ?? C.?0,?2a?? ? ? ??

1? ? B.?0,2a?

二 填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填 在题中横线上) 1 9.若函数 f(x)=3x3-f′(-1)· x2+x+5,则 f′(1)=________. 10. 函数 f(x)=ln x 的图象在点(e, f(e))处的切线方程是________ . 3 2 11.已知函数 f(x)=3x -x +ax-5 在区间[1,2]上单调递增,则 a 的取值范围是____________. 12 . 用 定 积 分 的 几 何 意 义 求 值 : ∫3 - 3 9-x2 dx = ____________. 13.一次函数 f(x)图象经过点(3,4),且∫10f(x)dx=1,则 f(x)的表 达式为_________. 14.由曲线 y=x2+2,x+y=4 所围成的封闭图形的面积为: ________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x3+x2+ax+b. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)的图象与直线 y=ax 只有一个公共点,求实数 b 的 取值范围. p 16.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=px-x-2ln x. (1)若 p=1,函数 y=f(x)是否有极值,若有则求出极值,若没有, 请说明理由; (2)若 f(x)在其定义域内为单调函数,求实数 p 的取值范围. 17.(本小题满分 14 分)已知 x=3 是函数 f(x)=aln(1+x)+x2-10x 的一个极值点. (1)求 a; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)若直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象有 3 个交点,求 b 的取值范 围. 18.(本小题满分 14 分)已知 f(x)=x3-6ax2+9a2x(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)当 a>0 时,若对?x∈[0,3]有 f(x)≤4 恒成立,求实数 a 的取

值范围. ln x 19.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)= x . (1)判断函数 f(x)的单调性; 1 (2)若 y=xf(x)+x的图象总在直线 y=a 的上方,求实数 a 的取值 范围; 1 m 2 (3)若函数 f(x)与 g(x)=6x- x +3的图象有公共点, 且在公共点处 的切线相同,求实数 m 的值. a 20.(本小题满分 14 分)已知 a∈R,函数 f(x)=x+ln x-1,g(x) =(ln x-1)ex+x(其中 e 为自然对数的底数). (1)求函数 f(x)在区间(0,e]上的最小值; (2)是否存在实数 x0∈(0,e],使曲线 y=g(x)在点 x=x0 处的切线 与 y 轴垂直?若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.

参考答案
1.C

4 2.解析:∵y′=x2+1,∴y′|x=1=2,切线方程为 y-3=2(x -1). 2 1 由 x=0 得纵截距为-3,由 y=0 得横截距为3. 1 2 1 1 ∴所求面积为2×3×3=9,故选 A. 答案:A
2 2 2 ?x - 1 ? 3.解析:首先考虑定义域(0,+∞),由 f′(x)=2x-x= x ≤0 及 x>0 知 0<x≤1,故选 A. 答案:A 4.A 5.C 6.A 7.C 8.B 9.6 10.x-ey=0 11.[-7,+∞) 3 12.解析: ? ?3 9-x2dx 表示半圆 y= 9-x2的面积,利用平面 9π 几何知识可得面积为 2 , 9π ∴? 3 9-x2dx= 2 . ?3 9π 答案: 2 13.解析:设 f(x)=kx+b,则 3k+b=4, k 6 2 1 1 ∫ 10 f ( x )d x = ∫ 10( kx + b )d x = + b = 1 ? k = , b = 0 0 ? ? 2 5 5. 6 2 ∴f(x)=5x+5. 6 2 答案:5x+5 14.解析:如下图,

∫1-2[(4-x)-(x2+2)]dx= ?2 (2-x-x2)dx 1 1 ?1 ? 9 =?2x-2x2-3x3?| ?2 =2. ? ? 9 答案:2 15.解析:(1)f′(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1), 1 令 f′(x)>0,解得 x>3或 x<-1. 1 令 f′(x)<0,解得-1<x<3. ?1 ? 所以 f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),?3,+∞?, ? ? 1? ? f(x)的单调递减区间为?-1,3?. ? ? (2)因为函数 f(x)的图象与直线 y=ax 只有一个公共点, 所以方程 x3+x2+ax+b-ax=0 只有一个解, 即 x3+x2+b=0 只 有一个解. 令 g(x)=x3+x2+b,则其图象与 x 轴只有一个交点, 2 g′(x)=3x2+2x,令 g′(x)=3x2+2x=0,所以 x1=0,x2=-3, 可列表: x g′(x) g (x ) + 2 -3 0 4 极大值27+b
? 2 ? ? ? ,0? ? 3 ?

S= ?

1 ?2

?

1

0 0 极小值 b

(0, +∞) +



2 4 所以, g(x)在 x1=0 处取得极小值 b, 在 x2=-3取得极大值27+b, 要使 g(x)=x3+x2+b 的图象和 x 轴只有一个交点,

?b>0 只要? 4 ?27+b>0

?b<0 或? 4 ?27+b<0

4 ,解得 b>0 或 b<-27.

1 16.解析:(1)∵p=1,f(x)=x-x -2ln x, 1 2 ?1 ? ∴f′(x)=1+x2-x =?x -1?2≥0;
? ?

∴函数 y=f(x)没有极值. 1 (2)f′(x)=x2(px2-2x+p),定义域为(0,+∞).令 h(x)=px2-2x +p 要使 y=f(x)在(0,+∞)单调,只需 h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立. 当 p=0 时,h(x)=-2x; ∴f′(x)<0; 函数 y=f(x)在(0,+∞)单调递减. ?1? 1 当 p>0 时,h(x)min=h?p?≥0,即 p-p≥0,∴p≥1 ? ? 当 p<0 时,h(x)在(0,+∞)上单调递减,又 h(0)=p<0 满足题意. 综上 p≥1 或 p≤0. a 17.解析:(1)因为 f′(x)= +2x-10, 1+x a 所以 f′(3)=4+6-10=0, 因此 a=16. (2)由(1)知,f(x)=16ln(1+x)+x2-10x,x∈(-1,+∞), 2 2(x -4x+3) f′(x)= . 1+x 当 x∈(-1,1)∪(3,+∞)时,f′(x)>0; 当 x∈(1,3)时,f′(x)<0; 所以 f(x)的单调增区间是(-1,1),(3,+∞); f(x)的单调减区间是(1,3). (3)由(2)知,f(x)在(-1,1)内单调增加,在(1,3)内单调减少, 在(3,+∞)上单调增加,且当 x=1 或 x=3 时,f′(x)=0, 所以 f(x)的极大值为 f(1)=16ln 2-9, 极小值为 f(3)=32ln 2-21. 因此 f(16)=16ln 2+162-10×16>16ln 2-9=f(1), -2 f(e -1)<-32+11=-21<f(3) 所以在 f(x)的三个单调区间(-1,1),(1,3),(3,+∞)直线 y

=b 有 y=f(x)的图象各有一个交点,当且仅当 f(3)<b<f(1), 因此,b 的取值范围为(32ln 2-21,16ln 2-9). 18.解析:(1)f′(x)=3x2-12ax+9a2=3(x-a)(x-3a)<0 ①当 a=3a,即 a=0 时,f′(x)=3x2>0,不成立. ②当 a>3a,即 a<0 时,单调减区间为(3a,a). ③当 a<3a,即 a>0 时,单调减区间为(a,3a). (2)f′(x)=3x2-12ax+9a2=3(x-a)(x-3a), f(x)在(0,a)上递增,在(a,3a)上递减,在(3a,+∞)上递增. ①当 a≥3 时,函数 f(x)在[0,3]上递增, 所以函数 f(x)在[0,3]上的最大值是 f(3), ? ?f?3?≤4, 若对?x∈[0,3]有 f(x)≤4 恒成立, 需要有? 解得 a∈ ? ?a≥3, ?. ②当 1≤a<3 时,有 a<3≤3a,此时函数 f(x)在[0,a]上递增,在 [a,3]上递减,所以函数 f(x)在[0,3]上的最大值是 f(a), ? ?f?a?≤4, 0 , 3 ]有 f(x)≤4 恒成立,需要有? 若对?x∈[ 解得 a ?1≤a<3, ? =1. ③当 a<1 时,有 3>3a,此时函数 f(x)在[a,3a]上递减,在[3a,3] 上递增,所以函数 f(x)在[0,3]上的最大值是 f(a)或者是 f(3). 由 f(a)-f(3)=(a-3)2(4a-3), 3 i.0<a≤4时,f(a)≤f(3),

?f?3?≤4, 若对?x∈[0,3]有 f(x)≤4 恒成立,需要有? 3 0< a ≤ ? 4,
2 3 3 解得 a∈[1- 9 ,4]. 3 ii.4<a<1 时,f(a)>f(3),

?f?a?≤4, 若对?x∈[0,3]有 f(x)≤4 恒成立,需要有?3 ?4<a<1,
?3 ? 解得 a∈?4,1?. ? ?

2 3 综上所述,a∈[1- 9 ,1].

1-ln x +19.解析:(1)可得 f′(x)= x2 . 当 0<x<e 时,f′(x)>0,f(x)为增函数; 当 e<x 时,f′(x)<0,f(x)为减函数. 1 (2)依题意, 转化为不等式 a<ln x+x对于 x>0 恒成立 1? 1 1 1 1? 令 g(x)=ln x+x,则 g′(x)=x-x2=x?1-x ? ? ? 1? 1? 当 x>1 时,因为 g′(x)=x?1-x ?>0,g(x)是(1,+∞)上的增函 ? ? 数, 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)是(0,1)上的减函数, 所以 g(x)的最小值是 g(1)=1, 从而 a 的取值范围是(-∞,1). 1 2 1 2 (3)转化为 ln x=6x2+3x-m,y=ln x 与 y=6x2+3x-m 在公共点 处的切线相同, 1 2 2 ? ?ln x0=6x0+3x0-m 由题意知? , 1 1 2 ? ?x =3x0+3
0

5 ∴解得:x0=1,或 x0=-3(舍去),代人第一式,即有 m=6. a a 1 x-a 20.解析:(1)∵f(x)=x+ln x-1,∴f′(x)=-x2+x= x2 . 令 f′(x)=0,得 x=a. ①若 a≤0,则 f′(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函 数 f(x)无最小值. ②若 0<a<e,当 x∈(0,a)时,f′(x)<0,函数 f(x)在区间(0, a)上单调递减, 当 x∈(a,e]时,f′(x)>0,函数 f(x)在区间(a,e]上单调递增, 所以当 x=a 时,函数 f(x)取得最小值 ln a. ③若 a≥e,则 f′(x)≤0,函数 f(x)在区间(0,e]上单调递减, a 所以当 x=e 时,函数 f(x)取得最小值e. 综上可知,当 a≤0 时,函数 f(x)在区间(0,e]上无最小值; 当 0<a<e 时,函数 f(x)在区间(0,e]上的最小值为 ln a; a 当 a≥e 时,函数 f(x)在区间(0,e]上的最小值为e .

(2)∵g(x)=(ln x-1)ex+x,x∈(0,e], ∴g′(x)=(ln x-1)′ex+(ln x-1)(ex)′+1 ?1 ? ex = x +(ln x-1)ex+1=? x+ln x-1?ex+1. ? ? 1 由(1)可知,当 a=1 时,f(x)=x +ln x-1. 此时 f(x)的区间(0,e]上的最小值为 ln 1=0, 1 即x+ln x-1≥0. 1 当 x0∈(0,e],ex0>0,x +ln x0-1≥0, 0 ?1 ? ∴g′(x0)=?x +ln x0-1?ex0+1≥1>0. ? 0 ? 曲线 y=g(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 g′(x0)=0 有实数解. 而 g′(x0)>0,即方程 g′(x0)=0 无实数解. 故不存在 x0∈(0,e],使曲线 y=g(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂直.


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