数学专题1 三角函数式的化简与求值

三角函数式的化简与求值
知识网络 三角函数式化简与求值的理论依据—三角公式体系，主要由两个系列组成：三角 函数坐标定义的推论系列；公式的推论系列

一、高考考点 以三角求值为重点，同时对三角式的化简具有较高要求，主要考查： 1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角 公式的“灵活”：正用、反用、变用。

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2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用， 主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主） ；带有附加条 件的三角式的求值问题（以解答题为主） ；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题， 不同某一小题） 。

3、等价转化思想以及三角变换的基本技能。

二、知识要点 （一）三角函数坐标定义的推论 1、三角函数值的符号 2、特殊角的三角函数值 3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）

（1）课本中的公式：

（2）同角公式“全家福” ①平方关系： ②商数关系： ③倒数关系： . .

4、 诱导公式： （1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角
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① k·360°＋

（k∈Z） ，－

，180°±

，360°－

（共性：偶数×90°±

形式）

的三角函数值， 等于

的同名函数值， 前面放上一个把

看作锐角时原函数值的符号；

② 90°±

，270°±

（共性：奇数×90°±

）的三角函数值，等于

的相应余

函数值，前面放上一个把

看作锐角时原函数值的符号。

①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。

（2）诱导公式的引申 ； ； .

（二）两角和与差的三角函数 1、两角和的三角函数 两角差的三角函数

令

＝

2、倍角公式
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；

＝ ＝ ；

3、倍角公式的推论 推论 1（降幂公式） ： ； ； .

推论 2（万能公式） ： ； .

推论 3（半角公式） ： ； ；
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. 其中根号的符号由 所在的象限决定.

三、经典例题 例 1、填空： （1）已知 （2）已知 的取值范围为 的取值范围为

分析： （1）从已知条件分析与转化入手 ① 又 ∴由①、②得 ∴应填 ， ②

（2）首先致力于左右两边的靠拢： 左边＝ 右边＝ ② ①

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∴由左边＝右边得

， ∴应填 点评： 解本题， 极易出现的错解是由①、 ②得 这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训. ，

例 2.化简或求值： （1） （2）

分析： （1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦，需设法在分子变换出 cos20°.为此， 将 10°变为 30°－20°后运用差角公式。

（2）对于含有清一色的两切值的三角式，除用“切化弦”外 ，运用有关正切（或余 切）的公式，常常会收到良好的效果.

解：

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（1）原式＝

（2） 解法一（利用关于正切的倍角公式） ： 注意到 ∴ ∴原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝cot20°

解法二（利用掌握的典型关系式） ： 注意到 ∴原式＝ ＝ ＝ ＝cot20° （证明从略）

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点评：根据所用公式的特证，解法一从后向前变，解法二则从前向后推，这种灵 活性值得借鉴.此外，在（1）中将 10°变为特殊角 30°与相关角 20°的差，从角的这一 关系式入手突破，是（1）求解成功的关键.

例 3. （1） 已知 （2）已知 ， 求 的值；

分析： 对于（1）注意到已知式的复杂性，考虑从化简与认识“已知”切入，以明确未知目 标的变形方向； 对于（2） ，注意到目标与已知的不甚亲密，考虑从认知和变形目标切入， 以准确 已知的延伸方向.

解： （1）由已知得 ∴ 注意到 ∴由已知得 于是有 原式＝ （至此，目标的变形方向明确）

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＝

（2）由已知得 ＝

原式＝

＝ （至此寻求的目标明确） 又∵ ∴ ∴

①

②

于是②代入①得，原式＝

.

点评： （1）从化简认知“已知”切入， （2）从化简认识“目标”切入，具体情况具体分 析，很好地体现了解题的灵活性.

例 4. （1）已知 （2）已知 （3）已知
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（4）已知

分析：已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值， 基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.上述角的关系主要有互余（或互补） 关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的 混合运用.

解： （1）注意到这里目标中的角与已知式中的角的关系式： 差与倍半的综合关系） ∴ ＝ ∵ ∴ ∴ ② ③ ∴将②③代入①得 ① （和

（2）注意到这里有关各角的关系式：
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（和差与倍半的综合关系） ∴ ＝ ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∴将②③代入①得 于是有 . ② ③ ①

（3）注意到这里有关各角之间的关系式

∴ ∴ ∵ ①

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∴ 又 ∴ ∴将②③代入①得 故得 ， ③ ②

（4） 解法一（从寻找两角 由已知得： ∵ ∴ ③ 此时注意到 ∴由①②③得 ∴ 于是得 . 在 内单调递增. ② 与 的联系切入） ： ①

解法二（从已知式的化简切入）
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由已知得

④ ∵ ∴ ∴由④得 于是再由 及⑤得 . ⑤

点评： 对于（1） （2） ，侧重和差与倍半关系导出有关角的等量关系； 对于（3） ，侧重特殊角来建立有关各角的关系式； 对于（4） ，既展示了三角条件求值的一般途径：已知三角函数值 函数值；又展示了三角条件求值的特殊途径：已知三角函数值 知三角函数值 未知三角 未

有关角的量值

例 5、 (1)设 （2）设

分析： （1）注意到未知式的复杂，考虑从化简和认知目标切入，以明确已知条件 的延伸方向：
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原式＝

，故解题从求

突破.

（2）在分析与变形目标中发现上，下面两式的联系： 原式＝ ，故解题从求 突破.

解： （1）原式＝ ∵ ∴由 ∴ ∴ 得 ② ①

∴

③

④ 于是将②③④代入①得 原式＝

（2） 原式＝ ∵ ∴
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⑤

∴由 ∴ ⑥ 又注意到

得

⑦

∴将⑥⑦代入⑤得，原式＝

点评： （1） （2）两题的条件与目标相似，此时解题可谓“仁者见仁，智者见智”，不 同的关注点，引出不同的切入点和突破口.

例 6、 （1）已知 （2）已知 （3）已知 ， 且

分析：不同的矛盾需用不同的方法来解决. 对于（1）着眼于目标 对于（2）着眼于目标 切入与突破； 对于（3） ，由已知导出 的函数值，方向不明，此时注意到
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，故从求 ，故从求

切入；

， 故转而考虑从寻觅 手.

的方程与求解入

解： （1）∵ ， ① ② 则①2＋②2 得 ∴ 又 此时注意到①中 故得 于是由③④得 因此有 ④ ， ③

点评 1：本题容易引发的错解为由③得

，因而有

，错解的根源在于解题中仅利用已知数据的绝对值，而未能利用已 知数据的符号.事实上，三角条件求值的特色之一，是在求解过程中常常将已知数据的 绝对值（或本身）与已知数据的符号分开（或重复）使用.本例的解答便是这一“分开使
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用”的示范.

（2） 由 ② ③ ∴②2＋③2 得 ∴ 又③2－②2 得

①

④

⑤ ∴④代入⑤得 ⑥

于是将④⑤代入①得，原式＝

（3）由 ∴ 又由

①

②

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∴将①②联立方程组，解得 ∴

点评 2：求解（2） （3）的共同之处，是首先认知目标，而后有的放矢地去求索， 认知目标以明确寻求的方向，此为条件求值的基本原则；不过，当目标有不同的“面孔” 时，需仔细斟酌与选择追求的对象.

四、高考真题 （一）选择题 1、 （2005 江苏卷）若 B. C. D.

分析：由 ∴ ∴应选 A.

2、 （2005 浙江卷） 已知 k<－4， 则函数 y＝cos2x＋k （cosx－1） 的最小值是 （ A. 1 D. –2k+1
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）

B. －1

C. 2k+1

分析：y＝2cos2x＋kcosx－k－1 ＝2（cosx＋ ∵k<－4， 又－1≤cosx≤1 ∴当 cosx＝1 时，y 取最小值 1，故选 A. 应选 A. ）2－（ ∴－ >1 ）

（二）填空题 1、 （2005 全国卷 II ）设

分析：注意到已知条件中的角与目标中的角之间的联系

由已知得

∴ ∴ ∵ 又 为第四象限角 ②

①

∴由②得
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③

于是由①③得，

（三）解答题 1、 （2005 广东卷）化简 ，并求函数 f（x）的值 域和最小正周期.

分析：欲求 f（x）的值域和最小正周期，第一选择是将 f（x）化为 形式.

的

解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4cos2x 即 f（x）＝4cos2x（x∈R） ∴f（x）的最小正周期 T= ；
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又－1≤cos2x≤1（x∈R） ∴f（x）的值域[－4，4]。

点评：本题从考查三角函数的诱导公式、和（差）角公式、以及三角函数的周期 和值域切入，重点考查 f（x）向一般形式的化归和转化能力.

2、 （2005 浙江卷）已知函数 f（x）＝ （1）求 （2）设 的值；

分析： 为便于计算或化简， 在可能的情况下， 以首先将 f （x） 化为 形式为上策.

的

解：运用倍角公式得 ＝ ＝

（1） ＝

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＝ ＝0

（2） ∴ ∴ ＝ ＝ ∵ ∴ ∴

点评：若 f（x）是形如 则一般要将 f（x）化为 的形式后求解.

的 sinx，cosx 的二次齐次式，

3、 （2005 福建卷）已知 （1）求 （2）求 的值； 的值.

分析：已知

的值，要求 sinx，cosx 或可用 sinx，cosx 表出的三角式的
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值，典型解法之一是“配对”解法，即先求

的值，而后将上述两式联合，解出

sinx，cosx 的值再作道理.而本题恰是为了解（2）作了铺垫.

解： （1）对于 由①式两边平方得 ∴ ∵ ，∴cosx＞0，sinx＜0 ② ①

∴sinx－cosx<0 ∴由②得 sinx－cosx＝－ ③

（2）将①③联立，解得

∴原式＝

点评：注意到由①2 得 比较复杂的问题，还要注意利用这里的

，故这里只利用了已知数值 或
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的绝对值，对于

的符号，据此来进行筛选或认定相关

三角式的取值.对此，请大家参见本专题经典例题，以强化这一方面的认知. 4、条件求值系列： （1）已知 （2） （已知 （3）已知 分析： 注意到（1）中已知等式复杂，故从化简和认知“已知”切入； 而（2）中“已知”与目标疏远，故首先从已知中角的关系入手主动靠拢目标，而后 视具体情况再决定下一步的动作； 至于（3） ，易见应从化简和认知目标切入，利用（ⅰ）的结果更为简便. 解： （1）由已知得 ∴ 由已知得 ∴tan ∴ ＝ ＝ ＝
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， （ⅰ）求

的值； （ⅱ）求

的值.

① ， ，∴由①得 ，∴ ， 即

（2）注意到

互为余角，由已知得 ②

∵ ∴由②得

∴

于是有原式＝ ＝ ＝ ＝

＝ = (3) (ⅰ)由已知得 ，由此解得

(ⅱ)利用(ⅰ)的结果，原式＝ 点评： 对于（1） ，解题有两大障碍：一是，认知与化简已知，导出 行推导 与借鉴.
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；二是，自

关于

的表达式（即人们常说的万能公式）.解题策略值得领悟

对于（2） ，从 此外，因势利导求出角

互为余角切入，乃是简化解题过程的关键环节. ，虽属特例，但也展示了三角解题的灵活性

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