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2018届高考数学二轮复习空间几何体表面积或体积的求解学案含答案(全国通用)


专题四 建知识 络 立体几何 明内在联系 [高考点拨] 立体几何专题是高考中当仁不让的热点之一,常以 “两小一 大”呈现,小题主要考查三视图和空间几何体的表面积与体积(特别是与球 有关的体积)内容,大题常考空间几何体位置关系的证明与空间几何体的体 积的计算.本专题主要从“空间几何体表面积或体积的求解”、“空间中 的平行与垂直关系”两大角度进行典例剖析,引领考生明确考情并提升解 题技能. 突破点 9 空间几何体表面积或体积的 求解 [核心知识提炼] 提炼 1 求解几何体的表面积或体积 (1)对于规则几何体,可直接利用公式计算. (2)对于不规则几何体,可采用割补法求解;对于某些三棱锥,有时可采用 等体积转换法求解. (3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截 面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形的应用. 提炼 2 球与几何体的外接与内切 (1)正四面体与球:设正四面体的棱长为 a ,由正四面体本身的对称性,可 6 知其内切球和外接球的球心相同,则内切球的半径 r= 12 a,外接球的半径 6 R= 4 a. 图 91 (2)正方体与球: 设正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a, O 为其对称中心, E, F,H,G 分别为 AD,BC,B1C1,A1D1 的中点,J 为 HF 的中点,如图 91 所示. ①正方体的内切球:截面图为正方形 EFHG 的内切圆,故其内切球的半径 a 为 OJ=2; ②正方体的棱切球:截面图为正方形 EFHG 的外接圆,故其棱切球的半径 2a 为 OG= 2 ; ③正方体的外接球:截面图为矩形 ACC1A1 的外接圆,故其外接球的半径为 3a OA1= 2 . [高考真题回访] 回访 1 几何体的表面积或体积 1.(2017· 全国卷Ⅱ)如图 92, 格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某 几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何 体的体积为( ) 图 92 A.90π C.42π B B.63π D.36π [方法 1:(割补法)如图所示,由几何体的三视图,可知该几何体是一个 圆柱被截去上面虚线部分所得. 将圆柱补全,并将圆柱体从点 A 处水平分成上下两部分.由图可知,该几 1 何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的2,所以该几何体 1 的体积 V=π×32×4+π×32×6×2=63π. 故选 B. 1 方法 2: (估值法)由题意, 知2V 圆柱<V 几何体<V 圆柱.又 V 圆柱=π×32×10=90π, ∴45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有 63π 符合. 故选 B.] 2.(2016· 全国卷Ⅱ)如图 93 是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图, 则 该几何体的表面积为( ) 图 93 A.20π C.28π B.24π D.32π C [由三视图可知圆柱的底面直径为 4,母线长(高)为 4,所以圆柱的侧面 积为 2π×2×4=16π,底面积为 π·22=4π;圆锥的底面直径为 4,高为 2 3, 所以圆锥的母线长为 ?2 3?2+22=4,所以圆锥的侧面积为 π×2×4=8π. 所以该几何体的表面积为 S=16π+4π+8π=28π.] 3.(2015· 全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如 图 94,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) 图 94 1 A.8 1 C.6 D 1 B.7 1 D.5 [由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去

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