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【卓越学案】2017高考理科数学新课标一轮复习练习:8.5直线、平面垂直的判定与性质.doc


一、选择题 1.设 α,β 为两个不同的平面,直线 l? α,则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [导学号 35950611] 解析:选 A.依题意,由 l⊥β,l? α 可以推出 α⊥β;反过来,由 α ⊥β,l? α 不能推出 l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件,故选 A. 2.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中错误的是( A.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥β B.若 α⊥β,m?α,m⊥β,则 m∥α C.若 m⊥β,m? α,则 α⊥β D.若 α⊥β,m? α,n? β,则 m⊥n [导学号 35950612] 解析:选 D.由 m⊥α,m∥n 可知 n⊥α,又 n∥β,所以 α⊥β,A 正 确; 由 α⊥β,m⊥β 知 m? α 或 m∥α,而 m?α,所以 m∥α,B 正确; 由 m⊥β,m? α 知 α⊥β,C 正确;故选 D. ) )

3.如图,设四面体 ABCD 各棱长均相等,E,F 分别为 AC,AD 的中点,则△BEF 在 该四面体的面 ADC 上的射影是( )

[导学号 35950613] 解析:选 B.因为 ABCD 是正四面体,所以点 B 在面 ADC 上的射影 是△ADC 的重心,而重心应在 EF 的下方. 4.设 O 是空间中的一点,a,b,c 是空间中三条不同的直线,α,β 是空间中两个不同 的平面,则下列命题中,逆命题不正确的是( )

A.当 a∩b=O 且 a? α,b? α 时,若 c⊥a,c⊥b,则 c⊥α B.当 a∩b=O 且 a? α,b? α 时,若 a∥β,b∥β,则 α∥β C.当 b? α 时,若 b⊥β,则 α⊥β

D.当 b? α 且 c?α 时,若 c∥α,则 b∥c [导学号 35950614] 解析:选 C.对于 A,逆命题为当 a∩b=O 且 a? α,b? α 时,若 c ⊥α,则 c⊥a,c⊥b,由直线与平面垂直的性质可知逆命题正确;对于 B,逆命题为当 a∩b =O 且 a? α,b? α 时,若 α∥β,则 a∥β, b∥β, 由平面与平面平行的性质可知逆命题正确; 对于 C,逆命题为当 b? α 时,若 α⊥β,则 b⊥β,显然逆命题不正确;对于 D,逆命题为当 b? α 且 c?α 时,若 b∥c,则 c∥α,由直线与平面平行的判定定理可知逆命题正确,故选 C. 5.设直线 m 与平面 α 相交但不垂直,则下列说法正确的是( A.在平面 α 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B.过直线 m 有且只有一个平面与平面 α 垂直 C.与直线 m 垂直的直线不可能与平面 α 平行 D.与直线 m 平行的平面不可能与平面 α 垂直 [导学号 35950615] 解析:选 B.由题意知,如图(1),m 与 α 斜交,令其在 α 内的射影 为 m′,则在 α 内可作无数条与 m′垂直的直线,它们彼此平行,故 A 错;在 α 外,可作与 α 内的直线 l 平行的直线,而 l⊥m,故 C 错. )

图(1) 如图(2),m? β,β⊥α,故 B 正确;

图(2) 可作 β 的平行平面 γ,则 m∥γ 且 γ⊥α,故 D 错. 6.如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂足为 H, 则以下命题中,错误的是( )

A.点 H 是△A1BD 的垂心 B.AH 垂直于平面 CB1D1 C.AH 的延长线经过点 C1

D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45° [导学号 35950616] 解析:选 D.A 中,△A1BD 为等边三角形, ∴其四心合一,∵AB=AA1=AD, ∴H 到△A1BD 各顶点的距离相等, ∴A 正确; ∵CD1∥BA1,CB1∥DA1、CD1∩CB1=C,BA1∩DA1=A1,∴平面 CB1D1∥平面 A1BD, ∴AH⊥平面 CB1D1, ∴B 正确; 连结 AC1(图略),则 AC1⊥B1D1,∵B1D1∥BD, ∴AC1⊥BD,同理,AC1⊥BA1, ∴AC1⊥平面 A1BD, ∴A、H、C1 三点共线, ∴C 正确,故选 D. 7.已知 a,b,c 表示三条不同的直线,α,β,γ 表示三个不同的平面,给定下列四个 命题: ①若 α∩β=a,β∩γ=b,且 α∥b,则 α∥γ; ②若 a,b 相交,且都在 α,β 外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则 α∥β; ③若 α⊥β,α∩β=a,b? β,a⊥b,则 b⊥α; ④若 a? α,b? α,l⊥a,l⊥b,则 l⊥α. 其中为真命题的是( A.②③ B.①③ ) C.②④ D.①④

[导学号 35950617] 解析:选 A.在三棱柱中,三条侧棱互相平行,但三个侧面所在的 平面两两相交,故①错误;因为 a,b 相交,假设其确定的平面为 π,根据 a∥α,b∥α,可 得 π∥α,同理可得 π∥β,因此 α∥β,故②正确;由两平面垂直,在一个平面内垂直于交线 的直线和另一个平面垂直,易知③正确;当且仅当 a,b 相交时,结论④正确,故④错误, 故选 A. 8.如图, 若 Ω 是长方体 ABCDA1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EB1FHC1G 后得到的 几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1, 则下列结论不正确的是( )

A.EH∥FG

B.四边形 EFGH 是矩形

C.Ω 是棱柱

D.Ω 是棱台

[导学号 35950618] 解析:选 D.∵EH∥A1D1,A1D1∥B1C1, ∴EH∥B1C1,∴EH∥平面 BCGF, 又∵FG? 平面 BCGF,且 FG 为平面 EFGH 与平面 BCGF 的交线, ∴EH∥FG,故 A 正确; ∵B1C1⊥平面 A1B1BA,EF? 平面 A1B1BA, ∴B1C1⊥EF,则 EH⊥EF, 又由上面的分析知,EFGH 为平行四边形,故它是矩形,故 B 正确; 因为 EH∥B1C1∥FG,故 Ω 是棱柱,故 C 正确. 9.设 α、β、γ 为不同的平面,m、n、l 为不同的直线,则 m⊥β 的一个充分条件为( A.α⊥β,α∩β=l,m⊥l B.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ C.α⊥γ,β⊥γ,m⊥α D.n⊥α,n⊥β,m⊥α [导学号 35950619] 解析:选 D.对于 A,α⊥β,α∩β=l,m⊥l,根据面面垂直的性质 定理可知,缺少条件 m? α,故不正确;对于 B,α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ,而 α 与 β 可能平行, 也可能相交,则 m 与 β 不一定垂直,故不正确;对于 C,α⊥γ,β⊥γ,m⊥α,而 α 与 β 可 能平行,也可能相交,则 m 与 β 不一定垂直,故不正确;对于 D,n⊥α,n⊥β,则 α∥β, 又 m⊥α,则 m⊥β,故正确,故选 D. 10.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 O 为线段 BD 的中点,设点 P 在线段 CC1 上,直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 α,则 sin α 的取值范围是( ) )

A.? C.?

3 ? ? 3 ,1?

B.?

6 ? ? 3 ,1? 2 2 ? ? 3 ,1?

6 2 2? ?3, 3 ?

D.?

[导学号 35950620] 解析:选 B.连接 A1O,OP 和 PA1(图略),不难知∠POA1 就是直线 OP 与平面 A1BD 所成的角(或其补角). 设正方体棱长为 2,则 A1O= 6. ①当 P 点与 C 点重合时,PO= 2,A1P=2 3,且 cos α= 此时 α=∠A1OP 为钝角, 6+2-12 3 =- , 3 2× 6× 2

sin α= 1-cos2α=

6 ; 3

6+6-8 1 ②当 P 点与 C1 点重合时,PO=A1O= 6,A1P=2 2,且 cos α= = , 2× 6× 6 3 此时 α=∠A1OP 为锐角, 2 2 sin α= 1-cos2α= ; 3 ③在 α 从钝角到锐角逐渐变化的过程中, CC1 上一定存在一点 P, 使得 α=∠A1OP=90° . 又因为 6 2 2 < , 3 3 6 ? . ? 3 ,1?

故 sin α 的取值范围是? 二、填空题

11.四棱锥 PABCD 的顶点 P 在底面 ABCD 上的投影恰好是 A,其三视图如图所示, 其中正视图与侧视图都是腰长为 a 的等腰三角形,则在四棱锥 PABCD 的任意两个顶点的 连线中,互相垂直的异面直线共有________对.

[导学号 35950621] 解析:由题意可得 PA⊥BC,PA⊥CD,AB⊥PD,BD⊥PA,BD⊥ PC,AD⊥PB,即互相垂直的异面直线共有 6 对. 答案:6 12.如图所示,在四面体 ABCD 中,AB,BC,CD 两两垂直,且 BC=CD=1.直线 BD 与 平面 ACD 所成的角为 30° ,则线段 AB 的长度为________.

[导学号 35950622] 解析:如图,过点 B 作 BH⊥AC,垂足为点 H,连接 DH.

∵CD⊥AB,CD⊥BC,

∴平面 ACD⊥平面 ABC, ∴BH⊥平面 ACD. ∴∠BDH 为直线 BD 与平面 ACD 所成的角. ∴∠BDH=30° , 在 Rt△BDH 中,BD= 2,∴BH= 2 . 2

又∵在 Rt△BHC 中,BC=1,∴∠BCH=45° . ∴在 Rt△ABC 中,AB=BC=1. 答案:1 13.已知 α,β,γ 是三个不同的平面,命题“α∥β 且 α⊥γ? β⊥γ”是真命题,若把 α,β, γ 中的任意两个换成直线, 另一个保持不变, 在所得的所有新命题中, 真命题有________个. [导学号 35950623] 解析:若把 α,β 换为直线 a,b,则命题转化为“a∥b 且 a⊥γ? b ⊥γ”,此命题为真命题;若把 α,γ 换为直线 a,b,则命题转化为“a∥β 且 a⊥b? b⊥β”,此 命题为假命题;若把 β,γ 换为直线 a,b,则命题转化为“a∥α 且 b⊥α? a⊥b”,此命题为 真命题. 答案:2 三、解答题 14.如图,已知四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=45° , DC=1,AB=2,PA⊥平面 ABCD,PA=1.

(1)求证:AB∥平面 PCD; (2)求证:BC⊥平面 PAC. [导学号 35950624] 证明:(1)∵AB∥CD,CD? 平面 PDC,AB?平面 PDC, ∴AB∥平面 PDC. (2)在直角梯形 ABCD 中,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,则四边形 ADCE 为矩形, ∴AE=DC=1,又 AB=2,∴BE=1, 在 Rt△BEC 中,∠EBC=45° , ∴CE=BE=1,CB= 2, 在 Rt△ACE 中,AC= AE2+CE2= 2,

∴AC2+BC2=AB2,∴BC⊥AC. 又 PA⊥平面 ABCD,BC? 平面 ABCD, ∴BC⊥PA,而 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. 15.如图(1),在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60° ,点 E,F 分别是边 CD,CB 的中点,AC∩EF=O.沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF,连结 PA,PB,PD,得到如图(2)的五棱 锥 PABFED,且 PB= 10. (1)求证:BD⊥平面 POA; (2)求四棱锥 PBFED 的体积.

[导学号 35950625] 解:(1)证明:∵点 E,F 分别是边 CD,CB 的中点,∴BD∥EF. ∵ABCD 是菱形, ∴BD⊥AC, ∴EF⊥AC, ∴翻折后 EF⊥AO,EF⊥PO, ∵AO? 平面 POA,PO? 平面 POA,AO∩PO=O, ∴EF⊥平面 POA, ∴BD⊥平面 POA. (2)如图,设 AO∩BD=H,连结 BO, ∵ABCD 是菱形,∴AB=AD, ∵∠DAB=60° , ∴△ABD 为等边三角形,

∴BD=4,BH=2,HA=2 3,HO=PO= 3,

在 Rt△BHO 中,BO= BH2+HO2= 7, 在△PBO 中,BO2+PO2=10=PB2, ∴PO⊥BO, ∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF? 平面 BFED,BO? 平面 BFED, ∴PO⊥平面 BFED, 1 又梯形 BFED 的面积为 S= (EF+BD)· HO=3 3, 2 1 1 ∴四棱锥 PBFED 的体积 V= S· PO= × 3 3× 3=3. 3 3


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