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人大微积分课件7-2向量及其线性运算


第二节 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的加减法 三、数与向量的乘积 四、向量的坐标

一、向量的概念
M
2

?

向量:既有大小又有方向的量.
? 向量表示:a 或 M 1 M
?M
2
1

以 M 1 为起点, M 2 为终点的有向线段.
? 向量的模: 向量的大小.| a | 或 | M 1 M ? 零向量: 模长为0的向量. 0
2

|

单位向量:模长为1的向量. a 0 或 M M 0 1 2

自由向量:不考虑起点位置的向量.

相等向量: 大小相等且方向相同的向量.
? a
? b

? 负向量:大小相等但方向相反的向量.? a ? ? a ?a

向径: 空间直角坐标系中任一点 M 与原点 构成的向量.OM

二、向量的加减法
? ? ? [1] 加法: a ? b ? c ? b
? c

(平行四边形法则)
? ? 特殊地:若 a‖ b ? b ? ? a b ? a

? a

(平行四边形法则有时也称为三角形法则) 分为同向和反向
? c

? ? ? | c |? | a | ? | b |
? c

? ? ? | c |? | a | ? | b |

向量的加法符合下列运算规律:
? ? ? ? (1)交换律: a ? b ? b ? a . ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)结合律: a ? b ? c ? ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ). ? ? ? (3) a ? ( ? a ) ? 0 . ? ? b ? ? ? ? a ? [2] 减法 a ? b ? a ? ( ? b ) ? ?b ? ?b c ? ? ? a?b ? ? ? b c ? a ? (? b ) ? ? ? ? ? ? a?b a?b a

三、向量与数的乘法
? ? 设 ? 是 一 个 数 , 向 量a 与? 的 乘 积 ? a 规 定 为 ? ? ? ? ? a 与 a 同 向 , | ? a |? ? | a | (1 ) ? ? 0 , ? ? (2) ? ? 0, ?a ? 0 ? ? ? ? ? a 与 a 反 向 , | ? a |? | ? | ? | a | (3) ? ? 0,

? a

? 2a

1? ? a 2

数与向量的乘积符合下列运算规律:
? ? ? (1)结合律:? ( ? a ) ? ? ( ? a ) ? ( ?? ) a ? ? ? (2)分配律: ( ? ? ? ) a ? ? a ? ? a ? ? ? ? ? (a ? b ) ? ? a ? ? b

两个向量的平行关系
定理 ? 设向量 a ? 0,那末向量 ? ? b 平行于 a 的充 ? ? 一的实数 ? ,使 b ? ? a .

分必要条件是:存在唯

证 充分性显然; 必要性
? ? 设 b‖ a

? ? 当 b 与 a 同向时 ? 取正值, ? ? ? ? 当 b 与 a 反向时 ? 取负值, 即有 b ? ??a . ? b ? ? ? ? ? ? 此时 b 与 ? a 同向 . 且 ? a ? ? a ? ? a ? b . a ? ? ? ? ? 的唯一性 . 设 b ? ? a , 又设 b ? ? a , ? ? ? 两式相减,得 ( ? ? ? ) a ? 0, 即 ? ? ? a ? 0, ? ? a ? 0, 故 ? ? ? ? 0, 即 ? ? ? .

? b 取 ? ? ? , a

?0 设 a 表示与非零向量

? a 同方向的单位向量,

按照向量与数的乘积的规定,
? ? ?0 a ?| a | a

? a ?0 ? ? a . |a |

上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.

例1 试用向量方法证明:对角线互相平分的 四边形必是平行四边形. 证 ? AM ? MC
BM ? MD
A D

? b
M

? a
B

C

? AD ? AM ? MD ? MC ? BM ? BC

AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.

例2 用向量方法证明:连结三角形两边中点 的线段平行于第三边,且等于第三边的一半. 证
设 M 、 N 为 AB 、 AC 的中点 , 则 ? ? ? MN ? MA ? AN

A M N

B 1 ? 1 ? ? BA ? AC 2 2 ? 1 ? 1 ? ? ( BA ? AC ) ? BC 2 2 1 ? MN // BC 且 MN ? BC . 2

C

四、向量的坐标
1.向径的坐标表达式
? ? ? 以 i , j , k 分别表示沿 x , y , z 轴的单位向量 ? ? ? ? 向量 OP 与 i 平行 ? OP ? x i ? ? x 轴上的点 P ? OP ? x i ? ? y轴上的点 P ? OQ ? y j ? ? z轴上的点 R ? OR ? z k

? ? r ? OM ? ? ? ? OP ? PN ? NM ? ? ? ? OP ? OQ ? OR
R ( 0 ,0 , z )

z
B (0, y , z )
?

C ( x,o, z)

M ( x, y, z)

Q ( 0 , y ,0 ) ? ? ? ? x i ? y j ? z k A ( x , y ,0 ) x P ( x ,0 ,0 ) ? ? ? ? r ? x i ? y j ? z k 称为向量的坐标分解式, ? ? ? ? x i , y j , z k 称为向量 r 沿三个坐标轴方向的分向量 ? ? ? ? 1? 1 1? 1 空间的点 M ? r ? x i ? y j ? z k ? ( x , y , z )
?

o

y

r ? ( x , y , z )向量的坐标式
? ?

| r | ? | OM | ?

x ? y ? z
2 2

2

2.任意向量的坐标表达式
? ?

设 a ? M 1 M 2 , 则向径
? ? 1 ? ? ?

r1 ? OM
? ?

? x1 i ? y1 j ? z1 k
? ?
? 2 ? 1

?

r2 ? OM
? ?

2

? x2 i ? y2 j ? z2 k
? ?

而 a ? M 1M
?

? OM 2 ? OM
? ?

? r2 ? r1
? ? ?

= ( x 2 i ? y 2 j ? z 2 k ) ? ( x 1 i ? y 1 j ? z 1 k)
? ? ?

= ( x 2 ? x1 ) i ? ( y 2 ? y1 ) j ? ( z 2 ? z1 ) k

z
R

? ? ? ? a ? a x i ? a y j ? az k
?M
2

? k ? i
o

M1

?
N

Q

P

? j
a z ? z 2 ? z1

y

x

a x ? x 2 ? x1
? ? ? ? ( x 2 ? x1 )i ? ( y 2 ? y1 ) j ? ( z 2 ? z1 )k

a y ? y 2 ? y1
M 1M
2

按基本单位向量的坐标分解式:
? ? ? M 1 M 2 ? ( x 2 ? x1 )i ? ( y 2 ? y1 ) j ? ( z 2 ? z1 )k ? ? ? 在三个坐标轴上的分向量: a x i , a y j , a z k ,

向量的坐标: a x , a y , a z ,
? 向量的坐标表达式: a ? { a x , a y , a z }
M 1M
2

? { x 2 ? x1 , y 2 ? y1 , z 2 ? z1 }

特殊地: OM ? { x , y , z }

3.向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
? ? a ? { a x , a y , a z }, b ? { b x , b y , b z }, ? ? a ? b ? {a x ? b x , a y ? b y , a z ? bz } ? ? ? ? (a x ? b x )i ? (a y ? b y ) j ? (a z ? bz )k ; ? ? a ? b ? {a x ? b x , a y ? b y , a z ? bz } ? ? ? ? (a x ? b x )i ? (a y ? b y ) j ? (a z ? bz )k ; ? ? a ? {? a x , ? a y , ? a z } ? ? ? ? (? a x )i ? (? a y ) j ? (? a z )k .

由题意知: AM ? ? MB
{ x ? x 1 , y ? y 1 , z ? z 1 } ? ? { x 2 ? x , y 2 ? y , z 2 ? z }, x ? x 1? ? ( x 2 ? x ) ? x ? y ? y1? ? ( y 2 ? y ) ? y ? z ? z1 ? ? ( z 2 ? z )

x1 ? ? x 2 1? ? y1 ? ? y 2 1? ? z1 ? ? z 2 1? ?

, ,

? z?

,

M 为 有 向 线 段 AB 的 定 比 分 点 . M 为 中 点 时 ,

x ?

x1 ? x 2 2

,

y ?

y1 ? y 2 2

,

z ?

z1 ? z 2 2

.

例 3

设 A( x1 , y1 , z1 ) 和 B ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为 两 已 知

点 , 而 在 AB 直 线 上 的 点 M 分 有 向 线 段 AB 为 两 部 分 AM 、 MB , 使 它 们 的 值 的 比 等 于 某 数

? (? ? ? 1) , 即

AM MB

? ? ,求分点的坐标.
z

解 设 M ( x , y , z ) 为直线上的点,
AM ? { x ? x 1 , y ? y 1 , z ? z 1 } MB ? { x 2 ? x , y 2 ? y , z 2 ? z }
A

B

M

o
x

y


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