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极限的四则运算教案(1)

2.4 极











算 (一)

古浪五中---姚祺鹏 【教学目标】 (一)知识与技能 1.掌握函数极限四则运算法则; 2.会用极限四则运算法则求较复杂函数的极限; 3.提高问题的转化能力,体会事物之间的联系与转化的关系; (二) 过程与方法 1.掌握极限的四则运算法则,并能使用它求一些复杂数列的极限. 2.从函数极限联想到数列极限,从“一般”到“特殊”. (三) 情态与价值观 1.培养学习进行类比的数学思想 2.培养学习总结、归纳的能力,学会从“一般”到“特殊 ” ,从“特殊”到“一般”转 化的思想.同时培养学生的创新精神,加强学生的的实践能力。 (四)高考阐释: 高考对极限的考察以选择题和填空题为主, 考察基本运算, 此类题目的特点在于需要进 行巧妙的恒等变形,立足课本基础知识和基本方法 【教学重点与难点】 重点:掌握函数极限的四则运算法则; 难点:难点是运算法则的应用(会分析已知函数由哪些基本函数经过怎样的运算结合 而成的) . 【教学过程】 1.提问复习,引入新课 对简单函数,我们可以根据它的图象或通过分析函数值的变化趋势直接写出它们的极

限.如

lim

1 1 ? , lim x ? 1 . x ?1 2 x 2 x?1

让学生求下列极限: (1) lim x ;
x ?1

(2) lim
x ?1

1 ; 2x

(3) lim(2 x 2 ? 1) ;
x ?1

(4) lim 2 x
x ?1

2x2 ?1 1 ? ? 对于复杂一点的函数,如何求极限呢?例如计算 lim? x ? ? 即 lim ,显然通过画 x ?1 2 x ? x?1 2 x ?

图或分析函数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的. 因此、 我们有必要探讨有关极 限的运算法则,通过法则,把求复杂函数的极限问题转化为求简单函数的极限. 板书课题:极限的四则运算. 2.特殊探路,发现规律 考察 lim
2x2 ?1 完成下表: x ?1 2x

x
2x2 ?1 2x

0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1

根据计算(用计算器)和极限概念,得出 lim

1 1 2x2 ?1 3 ? 、 lim x ? 1 ? ,与 lim x ?1 2 x x ?1 2 x?1 2x 2



2x2 ?1 1 ? 1 1 3 ? 比发现: lim ? lim? x ? ? ? lim x ? lim ? 1? ? . x ?1 x ?1 x ?1 2 x 2x 2 x ? x?1 2 2 ?
由此得出一般结论:函数极限的四则运算法则: 如果 lim f ( x) ? a, lim g ( x) ? b ,那么
x ? x0 x ? x0 x ? x0

lim ? f ( x) ? g ( x)? ? a ? b lim ? f ( x) ? g ( x)? ? a ? b

x ? x0

x ? x0

? f ( x) ? a lim ? ? ? (b ? 0) ? g ( x) ? b
x ? x0 x ? x0

特别地:(1) lim ?C ? f ( x)? ? C ? lim f ( x) (C 为常数) (2) lim ? f ( x)? ? ? lim f ( x)? (n ? N* ) ? ? x ? x0 ? x? x0 ?
n n

(3)这些法则对 x ? ? 的情况仍然成立. 1 n (4)两个常用极限 lim x n ? x0 , lim n ? 0(n ? N* ) x ?? x x ? x0 3.应用举例,熟悉法则 例1 求 lim
x ?1

2x2 ? x ?1 x3 ? 2 x 2 ? 1

问: 已知函数中含有哪些简单函数?它是经过怎样的运算结合而成的?是否适用法 则?适用哪一条法则?师生共同分析,边问边答规范写出解答过程.

(2 x 2 ? x ? 1) lim 2 x 2 ? lim x ? lim1 2 ?12 ? 1 ? 1 2 x 2 ? x ? 1 lim x ?1 x ?1 x ?1 解: lim 3 ? ? x?1 3 ? ?2 3 2 2 x ?1 x ? 2 x 2 ? 1 lim( x ? 2 x ? 1) lim x ? lim 2 x ? lim1 13 ? 2 ?12 ? 1
x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

(1)讲解时注意提问每一步的依据,做到“言必有据” ,培养严谨的思维. (2)书写时,由于极限符号“ lim ”有运算意义,因此在未求出极限值时,丢掉符 号是错误的. 点评:例 1 说明,求某些函数(到底是哪些函数,学了 2.6 节就知道了.激发学生 学习积极性,为讲连续函数埋下伏笔)在某一点 x ? x0 处的极限值时,只要把 x ? x0 代 入函数解析式中就可得到极限值,此种求极限值的方法不妨叫代入法 巩固练习:教科书第 88 页第 1 题. 例2
x2 ?1 求 lim 2 . x ?1 2 x ? x ? 1

问:本题还能用代入法求其极限值吗?为什么?引导分析:如果把 x ? 1 直接代入
x2 ?1 中,那么分子、分母都为零.虽然分子、分母的极限都存在,但不适合用商 2x2 ? x ?1

的法则(为什么?) ,不能简单用代入法求这个极限.根据极限概念和思想,所求极限 只取决于点 x ? 1 处附近的点(即可认为 x ? 1 ) ,故可把分子、分母分解因式后约去公因 式 x ? 1 ,从而转化为可用代入法求极限的情形.通过本例,不仅对法则的适用条件加深 了理解,而且进一步深化了对极限概念和思想本质的认识. 解:原式

? lim

lim x ? 1 lim x ? lim1 ( x ? 1)(x ? 1) x ?1 1?1 2 x ?1 ? lim ? x?1 ? x?1 ? ? x ?1 ( x ? 1)(2 x ? 1) x ?1 2 x ? 1 lim 2 x ? 1 lim 2 x ? lim1 2 ? 1 ? 1 3
x ?1 x ?1 x ?1

点评: 函数在某一点的极限, 考察的是函数值的变化趋势, 与函数在这一点是否有定义、 是否等于在这一点的函数值无关,故本例可约去公因式 x ? 1 . 巩固练习:教科书第 88 页练习第 2 题 4.归纳小结,掌握通法 (1)函数极限四则运算法则. (2)一般地,中学阶段接触到的函数,若要求其在某一点处的极限值,通常可直接用 代入法,或者是先变形(主要是约去公因式) ,转化为可用代入法求极限的情形. 5.布置作业 教科书习题 2.5 第 1 题. 思考题:已知 lim
x ?3

x 2 ? ax ? b ? 5 ,求常数 a、b 的值. x2 ? 2x ? 3

6.板书设计 7.教学反思


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