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浙江省温州市第二外国语学校2014年高二数学(理)下学期期末考试试题(含答案)


温州二外 2014 学年 第二学期高二期末考试 数学试卷 2015.6

(满分 100 分,考试时间:120 分钟) 选择题部分(共 32 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求。 1、已知集合 P ? {x x 2 ? 2 x ? 0}, Q ? {x 1 ? x? 2} ,则 (?R P) ? Q ? ( ▲ ) . A. [0,1) A.充分必要条件 B. (0, 2] C. (1, 2)
2 2

D. [1, 2] 的( ▲ )

2、已知 a , b 是实数,则 a ? b 是 a ? b

B.充分不必要条件 4 4 正视图

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3、一个空间几何体的三视图如图所示,其体积为( ▲ ) A.16 B.32 C.48 D.96 4.已知 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 为三个不同的平面,则下列命 题中错误的是( ▲ ) B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m / / n D.若 ? ? ? , ? ? ? , 则? / / ? A.若 m ? ? , m ? ? 则 ? / / ? C.若 ? / /? , ? / /? , 则? / / ?

2 侧视图

4 俯视图 (第 3 题图)

? x ? y ? ?1 ? 5. 已 知 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 4 , 目 标 函 数 的 ? y ? ?1 ?
z ? 3x ? 2 y ,则该目标函数的最大值为 ( ▲ )
A. 17 B. 16

6 函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?

C. 15

D. 14

6 的等差数列,若要得到函数 g ( x) ? A sin ? x 的图像,只要将 f ( x) 的图像( ▲ )个单位. ? ? ? ? A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移 6 6 12 12
?2 x ( x ? 0) 7.已知 f ( x) ? ? ,则方程 f [ f ( x)] ? 2 的根的个数是( ▲ ) ?| log 2 x | ( x ? 0)
A.3 个 B.4 个
2 2

)(? ? 0) 的图像与 x 轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为

? 2

C.5 个

D.6 个

8.如图,双曲线 C:

x y ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点 2 a b

F1 (?c,、 0) F2 (c, 0) , A 为 双 曲 线 C 右 支 上 一 点 , 且

AF1 ? 2c , AF1 与 y 轴交于点 B,若 F2 B 是 ?AF2 F1 的角
平分线,则双曲线 C 的离心率是 A.

3? 3 2

B. 1 ? 3

C.

3? 5 3

D.

3? 5 2

非选择题部分(共 68 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 4 分,13-15 题:每小题 3 分,共 25 分。

9、设 F1 , F2 为双曲线 C: 率为 ▲ .

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 的左、右焦点,点 P 为双曲线 C 右支上一 a 2 16 点,如果 | PF1 | ? | PF2 |? 6 错误!未找到引用源。 ,那么双曲线 C 的方程为 ▲;离心

2 ? ? x ? ? 1, x ? 1 10. 已知函数 f ( x) ? ? , 则 f(f () 3 ? x ?lg( x 2 ? 1), x ? 1 ?
f ( x) 的最小值是 ▲
. 11.设两直线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m 与

?





A M B N C D

l2 : 2 x ? (5 ? m) y ? 8 ,若 l1 // l2 ,则 m ? ▲ ;若

l1 ? l 2 ,则 m ?
12. 则d

▲ .

an { } 是公差为 d 的等差数列,若 a3 ? 2, a9 ? 12 , 设数列 n
?▲
; a12

?

▲ . .

13. 如图三棱锥 A ? BCD 中, AB ? AC ? BD ? CD ? 3, AD ? BC ? 2,点 M , N 分别是

AD, BC 的中点,则异面直线 AN , CM 所成的角的余弦值是
14.若实数 x, y 满足 4 x
2





? 2x ? y 2 ? y ? 0 ,则 2 x ? y 的范围是





15.在平面内, AB ? 4 , P, Q 满足 k AP ? k BP ? ?

1 , k AQ ? kBQ ? ?1 ,且对任意 ? ? R , 9
▲ .

? AP ? AB 的最小值为 2,则 PQ 的取值范围是

uuu r

uuu r

三、解答题:本大题共 5 小题,共 43 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16(本小题满分 8 分)设 f ? x ? ? sin x cos x ? cos ? x ?
2

? ?

?? ?. 4?
? A? ? ? 0 , a ? 1 ,求△ ?2?

(I)求 f ? x ? 的单调减区间;

b, c. 若 f ? B, C 的对边分别为 a , (II)在锐角△ ABC 中,角 A ,

ABC 面积的最大值.
17. (本小题满分 8 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,PD ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 为 平行四边形, ?ADB ? 90? , AB ? 2 AD . (Ⅰ)求证:平面 PAD ? 平面 PBD ; uur uur (Ⅱ)若 PD ? AD ? 1 , PE ? 2EB ,求二面角 P ? AD ? E 的余弦值.
D E C P

A

B

第 17 题图

18.(本小题满分 8 分)已知函数错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。,且 错误!未找到引用源。. (1)若错误!未找到引用源。在 x ?? ?1,1? 上不是单调函数,求错误!未找到引用源。的 取值范围; (2)求错误!未找到引用源。在区间 [0,| a |] 上的最大值; 19 . ( 本 小 题 满 分 9 分 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 离 心 率 为

2 的椭圆 2
y P

x2 y 2 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,过原点 O 的直线(与坐标 a b
轴不重合)与椭圆 C 交于 P, Q 两点,直线 PA, QA 分别与 y 轴交于
A

M

M , N 两点.若直线 PQ 斜率为
(1)求椭圆 C 的标准方程;

2 时, PQ ? 2 3 . 2
Q N

O

x

( 2 )试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无 关)?请证明你的结论. 20.(本小题满分 10 分)已知数列错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。中,对任 何正整数错误!未找到引用源。都有: 错误!未找到引用源。. (1)若数列错误! 未找到引用源。 是首项和公差都是 1 的等差数列, 求错误! 未找到引用源。 , 并证明数列错误!未找到引用源。是等比数列; (2)若数列错误!未找到引用源。是等比数列,数列错误!未找到引用源。是否是等差数列, 若是请求出通项公式,若不是请说明理由; (3)若数列错误!未找到引用源。是等差数列,数列错误!未找到引用源。是等比数列,求证: 错误!未找到引用源。 温州二外 2014 学年第二学期高二期末考试

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数学试卷 一、选择题(第 1 至 8 小题) 题号 答案 题号 答案 5 6 7 8 1 2 3 4

试场号:

座位号

二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 4 分,13-15 题:每小题 3 分,共 25 分。 9. 10.

11.

12.

13.

14.

学号

15.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 43 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16(本小题满分 8 分)设 f ? x ? ? sin x cos x ? cos ? x ?
2

姓名

? ?

?? ?. 4?
? A? ? ? 0 , a ? 1 ,求△ ?2?

(I)求 f ? x ? 的单调减区间;

b, c. 若 f ? B, C 的对边分别为 a , (II)在锐角△ ABC 中,角 A ,
ABC 面积的最大值.

班级

17. (本小题满分 8 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,PD ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 为 平行四边形, ?ADB ? 90 , AB ? 2 AD .
?

(Ⅰ)求证:平面 PAD ? 平面 PBD ;

uur uur (Ⅱ)若 PD ? AD ? 1 , PE ? 2EB ,求二面角 P ? AD ? E 的余弦值.
P

D E

C

A

B

第 17 题图

18.(本小题满分 8 分)已知函数错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。,且 错误!未找到引用源。. (1)若错误!未找到引用源。在 x ?? ?1,1? 上不是单调函数,求错误!未找到引用源。的 取值范围; (2)求错误!未找到引用源。在区间 [0,| a |] 上的最大值;

19 . ( 本 小 题 满 分 9 分 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 离 心 率 为

2 的椭圆 2

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A , 过原点 O 的直线 (与坐标轴不重合) 与椭圆 C 交 a 2 b2
2 时, 2

于 P, Q 两点,直 线 PA, QA 分别与 y 轴交于 M , N 两点. 若直线 PQ 斜率为

PQ ? 2 3 .
(1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率 无关)?请证明你的结论.
y P M A O x

Q N

20.(本小题满分 10 分)已知数列错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。中,对任 何正整数错误!未找到引用源。都有: 错误!未找到引用源。. (1)若数列错误! 未找到引用源。 是首项和公差都是 1 的等差数列, 求错误! 未找到引用源。 , 并证明数列错误!未找到引用源。是等比数列; (2)若数列错误!未找到引用源。是等比数列,数列错误!未找到引用源。是否是等差数列, 若是请求出通项公式,若不是请说明理由; (3)若数列错误!未找到引用源。是等差数列,数列错误!未找到引用源。是等比数列,求证: 错误!未找到引用源。

2015 年温州市第二外国语学校期末测试 数学(理科)试题参考答案 2015.6

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 A 6 D 7 C 8 D

二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 4 分,13-15 题:每小题 3 分,共 25 分. 9.

x2 y 2 5 ? ? 1, 9 16 3

10 . 2 , 0 13.

11. ? 7;?

13 3

12.

1 ;20 9
? ? 2 3 2 3? ,2? ? 3 3 ?

7 8

14. [ ?2,0]

15. ? 2 ?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 43 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 解:f ? x ? ? sin x cos x ? cos ? x ?
2

? ?

?? 1 1 1 1 ? = sin 2 x ? ? sin 2 x ? sin 2 x ? 4? 2 2 2 2

?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

3? ? 3? ? 2k? , k ? Z 即? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 2 4 4

3? ?? ? ? f ( x)减区间为 ? ? k?, ? k? ? , k ? Z ...................4 4 ?4 ?
(2)? f ?

1 1 ? ? A? 即 sin A ? ,因为锐角三角形,所以 A ? ......5 ? ? sin A ? ? 0, 2 2 6 ?2?
2 2 2

2 2 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 b ? c ? 3bc ? 1 .........6

? b2 ? c2 ? 2bc ,?1 ? 3bc ? 2bc 即 bc ? 2 ? 3 ..............7
1 1 1 ? S ? bc sin A ? (2 ? 3) 所以三角形的面积的最大值为 S ? (2 ? 3) .......8 4 2 4
17 解析: (Ⅰ)? PD ? 底面 ABCD , BD ? 底面 ABCD ? PD ? BD …………………………………………………………………………………1 分

? ?ADB ? 90 ? ? AD ? BD …………………………………………………………………………………2 分

? AD ? PD ? D

? BD ? 平面 PAD……………………………………………………………………………3 分 ? BD ? 平面 PBD, ? 平面PAD ? 平面PBD …………………………………………………………………4 分 (Ⅰ)解法 1? AD ? 平面 PDB ,? AD ? DE 即 ?PDE 为所求的角………………………………………………………………………5 分 AD ? PD ? 1, AB ? 2, DB ? 3, PB ? 2 , ?PBD ? 300 ………………………………6 分

uur uur 4 2 Q PE ? 2 EB,? PE ? , EB ? 3 3 2 2 2 在 ?BDE 中,由余弦定理得 DE ? BE ? BD ? 2BE ? BD cos ?PBD 4 2 3 13 13 …………………………………………7 分 DE 2 ? 3 ? ? 2 ? ? 3 ? ? , DE ? 9 3 2 9 3 PD 2 ? DE 2 ? PE 2 13 在 ?PDE 中, cos ?PDE ? …………………………………… 8 ? 2 PD ? PE 13
分 解法 2:以 D 为原点,DA 所在直线为 x 轴,DB 所在直线为 y 轴建立直角坐标系

D(0,0,0), P(0,0,1), A(1,0,0), B(0, 3,0) , uur uur 2 3 1 , ) ………………………5 分 设 P(0,x,y), Q PE ? 2EB , E (0, 3 3 u r ? BD ? 平面 PAD,所以平面 PAD 的一个法向量 n1 ? (0,1,0) u u r 设平面 ADE 的一个法向量 n2 ? ( x, y, z) u u r uuu r ?2 3 1 ? y? z ?0 ?n2 ? DE ? 0 ? x ,? 3 , x ? 0, y ? 1, z ? ?2 3 A u r uuu r ?u 3 n ? DA ? 0 ? ? ? 2 ?x ? 0 u u r 解得 n2 ? (0,1, ?2 3) ………………………………………………7 分
设 ? 为所求的角

Z

P

D E

C

B

y

u r u u r n1 ? n2 13 ……………………………………………8 分 cos ? ? u r u u r ? 13 n1 n2
18.解: (1)∵错误!未找到引用源。在上不是单调函数, ∴错误! 未找到引用源。 , ∴错误! 未找到引用源。 3分 ……………

(2)①当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上递 增, ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。………………5 分 ②当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 ………………6 分 当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 =1 ………………7 分 当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ∴综上 错误!未找到引用源。 ………………8 分 19. 解:(1)设 P ( x0 ,

2 x0 ) , 2

∵直线 PQ 斜率为

2 2 2 x0 ) 2 ? 3 ,∴ x02 ? 2 时, PQ ? 2 3 ,∴ x0 ? ( 2 2



2 1 c a 2 ? b2 2 ? ? 1 ,∵ ,∴ a2 ? 4, b2 ? 2 . e ? ? ? 2 2 a b a a 2

∴椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 2

………………4 分

(2)以 MN 为直径的圆过定点 F (? 2,0) . 设 P( x0 , y0 ) ,则 Q(? x0 , ? y0 ) ,且
2 x0 y2 2 2 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 2 y0 ? 4, 4 2

∵ A(?2, 0) ,∴直线 PA 方程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ M (0, ) ………………5 分 x0 ? 2 x0 ? 2

直线 QA 方程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ N (0, ) x0 ? 2 x0 ? 2

以 MN 为直径的圆为 ( x ? 0)( x ? 0) ? ( y ?

2 y0 2 y0 )( y ? )?0 x0 ? 2 x0 ? 2

即 x2 ? y 2 ?

4 x0 y0 4 y02 y ? ?0, x02 ? 4 x02 ? 4
2 2

2 2 ∵ x0 ? 4 ? ?2 y0 ,∴ x ? y ?

2 x0 y ? 2 ? 0 ,………………8 分 y0

2 2 令 y ? 0 , x ? y ? 2 ? 0 ,解得 x ? ? 2 ,

∴过定点: (? 2,0) . ………………9 分 20、 (1)依题意数列错误!未找到引用源。的通项公式是错误!未找到引用源。, 故等式即为错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。, 两式相减可得错误!未找到引用源。 得错误!未找到引用源。,数列错误!未找到引用源。是首项为 1,公比为 2 的等比数 列. ………………3 分 (2)设等比数列错误!未找到引用源。的首项为错误!未找到引用源。,公比为错误!未 找到引用源。,则错误!未找到引用源。,从而有: 错误!未找到引用源。, 又错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。, 故错误!未找到引用源。 ………………………………5 分

错误!未找到引用源。, 要使错误!未找到引用源。是与错误!未找到引用源。无关的常数,必需错误!未找到引 用源。, ………………………6 分 即①当等比数列错误!未找到引用源。的公比错误!未找到引用源。时,数列错误!未找 到引用源。是等差数列,其通项公式是错误!未找到引用源。; ②当等比数列错误!未找到引用源。的公比不是 2 时,数列错误!未找到引用源。不是等 差数列. ………7 分 (3)由(2)知错误!未找到引用源。, 显然错误!未找到引用源。时错误!未找到引用源。, 当错误!未找到引用源。时错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用 源。 ………………………10


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