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对数与对数运算学案


2.2.1 对数与对数运算 教学目的: (1)理解对数的概念; (2)能够说明对数与指数的关系; (3)掌握对数式与指数式的相互转化. 教学重点:对数的概念,对数式与指数式的相互转化 教学难点:对数概念的理解. 教学过程: 引入课题 1.1.庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭.(1)取 4 次,还有多长?(2)取多少次,还有 0.125 尺? 2.假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果每年平均增长 8%,那么经过多少年国民生产 总值是 2002 年的 2 倍? 抽象出:1.()4=?()x=0.125x=? 2.(1+8%)x=2x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗?怎样求呢?像上面的式子, 已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数 新课教学 1.对数的概念 一般地,如果,那么数叫做以为底的对数(Logarithm) ,记作: — 底数,— 真数,— 对数式 说明: 注意底数的限制,且; ; 注意对数的书写格式. 提出问题 ①为什么在对数定义中规定 a>0,a≠1? ②根据对数定义求 loga1 和 logaa(a>0,a≠1)的值. ③负数与零有没有对数? ④=N 与 logaab=b(a>0,a≠1)是否成立? 讨论结果:①这是因为若 a<0,则 N 为某些值时,b 不存在,如 log(-2); 若 a=0,N 不为 0 时,b 不存在,如 log03,N 为 0 时,b 可为任意正数,是不唯一的,即 log00 有无数 个值; 若 a=1,N 不为 1 时,b 不存在,如 log12,N 为 1 时,b 可为任意数,是不唯一的,即 log11 有无数个 值.综之,就规定了 a>0 且 a≠1. ②loga1=0,logaa=1. 因为对任意 a>0 且 a≠1,都有 a0=1,所以 loga1=0. 同样易知:logaa=1. 即 1 的对数等于 0,底的对数等于 1. ③因为底数 a>0 且 a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的 b∈R,ab>0 恒成立,即只有正数才 有对数,零和负数没有对数. ④因为 ab=N,所以 b=logaN,ab==N,即=N.

因为 ab=ab,所以 logaab=b.故两个式子都成立.(=N 叫对数恒等式) 对数的性质 (1)负数和零没有对数; (2)1 的对数是零: ; (3)底数的对数是 1: ; (4)对数恒等式: ; (5) . 两个重要对数: ①常用对数:我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数 log10N 简 记作 lgN. 例如:log105 简记作 lg5;log103.5 简记作 lg3.5. ②自然对数: 在科学技术中常常使用以无理数 e=2.718 28……为底的对数,以 e 为底的对数叫 自然对数,为了简便,N 的自然对数 logeN 简记作 lnN. 例如:loge3 简记作 ln3;loge10 简记作 ln10. 应用示例 例 1 将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式: (1)54=625;(2)2-6=;(3)()m=5.73; (4)log16=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.

例 2 求下列各式中 x 的值: (1)log64x=;(2)logx8=6; (3)lg100=x;(4)-lne2=x.

变式训练 求下列各式中的 x: ①log4x=;②logx27=;③log5(log10x)=1. 解:①由 log4x=,得 x=4=2; ②由 logx27=,得 x=27,所以 x=27=81; ③由 log5(log10x)=1,得 log10x=5,即 x=105. 例 1 以下四个命题中,属于真命题的是( ) (1)若 log5x=3,则 x=15 (2)若 log25x=,则 x=5 (3)若 logx=0,则 x= (4)若 log5x=- 3,则 x= A.(2) (3) B.(1) (3) C.(2) (4) D.(3) (4)

答案:C 例2 对于 a>0,a≠1,下列结论正确的是( ) (1)若 M=N,则 logaM=logaN (2)若 logaM=logaN,则 M=N (3)若 logaM2=logaN2,则 M=N (4)若 M=N,则 logaM2=logaN2 A.(1) (3) B.(2) (4) C.(2) D.(1) (2) (4) 答案:C 知能训练 1.把下列各题的指数式写成对数式: (1)42=16;(2)30=1;(3)4x=2;(4)2x=0.5;(5)54=625;(6)3-2=;(7)()-2=16. 解:(1)2=log416;(2)0=log31;(3)x=log42;(4)x=log20.5;(5)4=log5625; (6)-2=log3;(7)-2=log16. 2.把下列各题的对数式写成指数式: (1)x=log527;(2)x=log87;(3)x=log43;(4)x=log7; (5)log216=4;(6)log27=-3;(7)log=6;(8)logx64=-6; (9)log2128=7;(10)log327=a. 解:(1)5x=27;(2)8x=7;(3)4x=3;(4)7x=;(5)24=16;(6)()-3=27;(7)()6 =x;(8)x-6=64;(9)27=128;(10)3a=27. 3.求下列各式中 x 的值: (1)log8x=;(2)logx27=;(3)log2(log5x)=1;(4)log3(lgx)=0. 解:(1)因为 log8x=,所以 x=8=(23)==2-2=; (2)因为 logx27=,所以 x=27=33,即 x=(33)=34=81; (3)因为 log2(log5x)=1,所以 log5x=2,x=52=25; (4)因为 log3(lgx)=0,所以 lgx=1,即 x=101=10. 4.(1)求 log84 的值; (2)已知 loga2=m,loga3=n,求 a2m+n 的值. 解:(1)设 log84=x,根据对数的定义有 8x=4,即 23x=22,所以 x=,即 log84=; (2)因为 loga2=m,loga3=n,根据对数的定义有 am=2,an=3, 所以 a2m+n=(am)2·an=(2)2·3=4×3=12.


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