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2012高考真题数列分类汇编2


2012 高考真题分类汇编:数列
一、选择题 1.【2012 高考真题重庆理 1】在等差数列 {an } 中, a2 ? 1 , a 4 ? 5 则 {an } 的前 5 项和 S5 = A.7 B.15 C.20 D.25

2.设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列﹛an﹜的前 n 项和,则下列命题错误的是 A.若 d<0,则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项,则 d<0
*

C.若数列﹛Sn﹜是递增数列,则对任意 n ? N ,均有 Sn ? 0 D. 若对任意 n ? N ,均有 Sn ? 0 ,则数列﹛Sn﹜是递增数列
*

3.【新课标理 5】已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? (

?



( A) 7
4.设 a n ? A.25

( B) 5

(C ) ??

( D ) ??


1 n? sin , S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,在 S1 , S 2 ,?, S100 中,正数的个数是( n 25
B.50 C.75 D.100

5.【2012 高考真题辽宁理 6】在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176

6.【2012 高考真题四川理 12】设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x , {an } 是公差为
2 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )] ? a1a5 ? (

? 的等差数列, 8

) D、

A、 0

B、

1 2 ? 16

2 C、 ?

1 8

13 2 ? 16

7.【2012 高考真题湖北理 7】定义在 (??, 0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等 比 数 列 {an } , { f (an )} 仍 是 等 比 数 列, 则 称 f ( x) 为 “ 保 等 比 数 列函 数 ”. 现有 定 义在
(??, 0) ? (0, ??) 上 的 如 下 函 数 : ① f ( x) ? x2 ;

② f ( x) ? 2 x ;

③ f ( x) ? | x | ;

④ f ( x) ? ln | x | .则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 A.① ② B.③ ④ C.① ③ D.② ④ 8.【2012 高考真题福建理 2】等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4 9.【2012 安徽理 4】公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则 log2 a16 = ( )

( A) 4

( B) 5
用心 爱心

(C ) ?
专心

( D) ?

-1-

10.【2012 高考真题全国卷理 5】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列

的前 100 项和为

(A)

100 101

(B)

99 101

(C)

99 100

(D)

101 100

二、填空题 11. 2012 高考真题浙江理 13】 【 设公比为 q q>0) ( 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn。 S2=3a2+2, 若 S4=3a4+2,则 q=______________。 12. 【2012 高考真题四川理 16】 [ x ] 为不超过实数 x 的最大整数, 记 例如,[2] ? 2 ,[1.5] ? 1 ,

xn ? [
[?0.3] ? ?1。设 a 为正整数,数列 {xn } 满足 x1 ? a , xn ?1 ? [
命题: ①当 a ? 5 时,数列 {xn } 的前 3 项依次为 5,3,2; ②对数列 {xn } 都存在正整数 k ,当 n ? k 时总有 xn ? xk ; ③当 n ? 1 时, xn ? a ?1 ; ④对某个正整数 k ,若 xk ?1 ? xk ,则 xn ? [ a ] 。 其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的编号)

a ] xn

2

](n ? N ? ) ,现有下列

13.【2012 高考真题新课标理 16】数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 {a n } 的前 60 项 和为 14. 2012 高考真题辽宁理 14】 【 已知等比数列 an} { 为递增数列, a5 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 , 且 2 则数列{an}的通项公式 an =______________。 15.【2012 高考真题江西理 12】设数列{an},{bn}都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7 ,a3 ? b3 ? 21, 则 a5 ? b5 ? __________。 16.【2012 高考真题北京理 10】已知 {an } 等差数列 Sn 为其前 n 项和。若 a1 ? 则 a2 =_______。 17. 【2012 高考真题广东理 11】 已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,a3 ? a2 ? 4 , an=____. 则
2

1 , S2 ? a3 , 2

18.【2012 高考真题重庆理 12】 lim
n ??

1 n 2 ? 5n ? n
爱心

?

.

用心

专心

-2-

19.【2012 高考真题上海理 6】有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、 体积分别记为 V1,V2, ,Vn, ,则 lim(V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ? ? ?
n ??

1 为公比的等比数列, 2


20. 2012 福建理 14】 【 数列{an}的通项公式

, n 项和为 Sn, S2012=___________. 前 则

三、解答题 21【2012 高考江苏 20】 (16 分)已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足:

a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

,n? N *,

(1)设 bn ?1

?? b ? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? an ? ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn?1 ? 公比 q =1 。

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

22.【2012 高考真题湖北理 18】 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ)求等差数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a 2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和.

用心

爱心

专心

-3-

23.【2012 高考真题广东理 19】 (本小题满分 14 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1,n∈N ,且 a1,a2+5,a3 成等差数列.


(1) 求 a1 的值; (2) 求数列{an}的通项公式. (3) 证明:对一切正整数 n,有

1 1 1 3 ? ??? ? . a1 a2 an 2

24.【2012 高考真题陕西理 17】 (本小题满分 12 分) 设 ?an ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 a5 , a3 , a4 成等差数列。 (1)求数列 ?an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列。

25.【2012 高考真题四川理 20】(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且

a2 an ? S2 ? Sn 对一切正整数 n 都成立。
(Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)设 a1 ? 0 ,数列 {lg 值。

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时,Tn 最大?并求出 Tn 的最大 an

用心

爱心

专心

-4-

26.【2012 高考真题四川理 22】(本小题满分 14 分) 已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x ?
2

an 与 x 轴正半轴相交于点 A ,设 f ( n) 2

为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

f (n) ? 1 n3 成立的 a 的最小值; ? 3 f (n) ? 1 n ? 1

27.【2012 高考真题广东理 19】 (本小题满分 14 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1,n∈N ,且 a1,a2+5,a3 成等差数列.


(1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式. (3)证明:对一切正整数 n,有

1 1 1 3 ? ??? ? . a1 a2 an 2

用心

爱心

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-5-

28.【2012 高考真题上海理 23】 (4+6+8=18 分)对于数集 X ? {?1 x1,x2, ,xn } ,其中 , ?

0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 , 定 义 向 量 集 Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X } , 若 对 任 意

a1 ? Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X 具有性质 P .例如 {?1,1,2} 具有性质 P .
(1)若 x ? 2 ,且 {?1,1,2, x} 具有性质 P ,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P ,求证: 1 ? X ,且当 xn ? 1 时, x1 ? 1 ; (3)若 X 具有性质 P ,且 x1 ? 1 、 x2 ? q ( q 为常数) ,求有穷数列 x1,x2, ,xn 的通项 ? 公式.

29.【2012 高考真题重庆理 21】 (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分.) 设数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? a2 Sn ? a1 ,其中 a2 ? 0 . (I)求证: an 是首项为 1 的等比数列; (II)若 a2 ? ?1,求证: S n ?

n (a1 ? a2 ) ,并给出等号成立的充要条件. 2

30.【2012 高考真题江西理 17】 (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ? (1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 {

1 2 n ? kn , k ? N * ,且 Sn 的最大值为 8. 2

9 ? 2a n } 的前 n 项和 Tn。 2n

用心

爱心

专心

-6-

31.【2012 高考真题安徽理 21】 (本小题满分 13 分)
2 数列 {xn } 满足: x1 ? 0, xn?1 ? ? xn ? xn ? c(n ? N * )

(I)证明:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 ; (II)求 c 的取值范围,使数列 {xn } 是单调递增数, ,

, 32.【2012 高考真题天津理 18】 (本小题满分 13 分) 已知 {an } 是等差数列, 其前 n 项和为 Sn, bn } 是等比数列, a1 ? b1 ? 2, a4 ? b4 ? 27 , 且 {

S 4 ? b4 ? 10 .
(Ⅰ)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式;

n (Ⅱ) Tn ? an b1 ? an?1b2 ? ? ? a1bn , ? N , 记 证明 Tn ? 12 ? ?2an ? 10bn n ? N ) ( .
* *

33.【2012 高考真题湖南理 19】 (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的各项均为正数, A n) a1+a2+??+an, n) a2+a3+??+an+1, n) a3+a4+?? 记( = B ( = C ( = +an+2,n=1,2,?? (1) 若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N﹡,三个数 A(n) B(n) C(n)组成等差数列,求数 , , 列{ an }的通项公式. (2) 证明:数列{ an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ,三个数
?

A(n) B(n) C(n)组成公比为 q 的等比数列. , ,

用心

爱心

专心

-7-

34.【2012 高考真题山东理 20】本小题满分 12 分) 在等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84, a9 ? 73 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N * ,将数列 ?an ? 中落入区间 (9m ,92 m ) 内的项的个数记为 bm ,求数列 ?bm ? 的前 m 项和 Sm .

35.【2012 高考真题全国卷理 22】 (本小题满分 12 分) (注意:在试卷上作答无效) ........ 函数 f(x)=x -2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1 是过两点 P(4,5) n(xn,f(xn))的直 、Q 线 PQn 与 x 轴交点的横坐标. (Ⅰ)证明:2 ? xn<xn+1<3; (Ⅱ)求数列{xn}的通项公式.
2

用心

爱心

专心

-8-


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