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空间向量与立体几何测试题

空间向量与立体几何测试题 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 若 a ? ?a1 , a2 , a3 ?, b ? ?b1 , b2 , b3 ?, 则 a1 a2 a3 ? ? 是 a // b 的 b1 b2 b3 C.充要条件 则a ? C. 7 ( ) A.充分不必要条件 2. 若 a ? 2,?3,1 , A. 4 ? ? b ? ?2,0,3?, c ? ?0,2,2 ? , B. 15 B.必要不充分条件 ?b ? c ?= D.既不充分又不必要条件 ( ) ) D. 3 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) → → → 11.在空间四边形 ABCD 中,AB=a-2c,CD=5a+6b-8c,对角线 AC、BD 的中点分别为 P、Q,则PQ= ________. 12.到正方体 ABCDA1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线的距离相等的点:①有且只有 1 个;②有且只有 2 个;③有且只有 3 个;④有无数个.其中正确答案的序号是________. 13. 如图,正方体的棱长为 1,C、D 分别是两条棱的中点, A、B、M 是顶点,那么点 M 到截面 ABCD 的 距离是 . D C 14. 向量 ( a ? 3b) ? 7 a ? 5b , a ? 4b ? 7 a ? 2b ,则 a 和 b 所夹角是 ? ? ? ? ? ? 3. 已知 a , b , 均为单位向量,它们的夹角为 60?,那么 a ? 3b 等于( A. 7 B. 10 C. 13 D.4 4.下列结论恒成立的是 ( ) ①若平面α 内两条直线与平面 ? 内两条直线分别平行,则α ∥ ? ②过直线外一点能作一条直线与已知直线平行 ③如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么,这两个角相等 ④若 AB ? BC ? AC ,则 A,B,C 三点共线。 A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 5. 已知 A、B、C 三点不共线,点 O 为平面 ABC 外的一点,则下列条件中, 能得到 M∈平面 ABC 的充分条件是 ( ) (A) OM ? → → → → → → 15.已知 ABCDA1B1C1D1 为正方体,①A1A+A1D1+A1B1= A1C ;②A1C·(A1B1-A1A)=0;③向 → → → → → 量AD1与向量A1B的夹角是 60°;④正方体 ABCDA1B1C1D1 的体积为|AB·AA1·AD|.其中正 确命题的序号是________. 三、解答题(本题共 6 小题,共 75 分) A B M 16.设向量 a ? ?3,5,-4? , b ? ?2,1,8?, 计算 3a ? 2b , a ? b 并确定 ? , ? 的关系,使 ? a ? ? b 与 z 轴垂直 ) (第 6 题) 1 1 1 1 1 OA ? OB ? OC ; (B) OM ? OA ? OB ? OC ; 2 2 2 3 3 (D) OM ? 2OA ? OB ? OC 2a ,则 MN 与平 3 17. 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2.E、F 分别是线段 AB、BC 上的点, 且 EB= FB=1. (1)求二面角 C-DE-C1 的正切值; (2)求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值. D1 A1 B1 D C E B F C1 (C) OM ? OA ? OB ? OC ; 6.如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN= 面 BB1C1C 的位置关( ). A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 7.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为( ) 6 2 6 15 10 A. B. C. D. 3 5 5 5 8.已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦等于( ) 6 10 2 3 B. C. D. 4 4 2 2 9.过正方形 ABCD 的顶点 A,引 PA⊥平面 ABCD.若 PA=BA,则平面 ABP 和平面 CDP 所成 的二面角的大小是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 10.如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上 2 有两个动点 E, F 且 EF= , 则下列结论中错误的是( ) 2 A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 ABEF 的体积为定值 D.异面直线 AE,BF 所成的角为定值 A. 第 10 题 A 第9题 18.如图,四面体 ABCS 中,SA,SB,SC 两两垂直,∠SBA=45°,∠SBC=60°,M 为 AB 的中点,求: (1)BC 与平面 SAB 所成的角; (2)SC 与平面 ABC 所成角的正弦值。 20.如图所示,已知在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a(a>0) ,PA⊥平面 AC,且 PA=1. (1)试建立适当的坐标系,并写出点 P、B、D 的坐标; (2)问当实数 a 在什么范围时,BC 边上能存在点 Q,使得 PQ⊥QD? (3)当 BC 边上有且仅有一个点 Q 使得 PQ⊥QD 时,求二面角 Q-PD-A 的大小. C H P S M A B A D B Q C 19. 如图,三棱锥 P—ABC 中, PC ? 平面 ABC,PC=AC=2,AB=BC,D 是 PB 上一点,且 CD ? 平面 PAB. (1) 求证:AB ? 平面 PCB; (2) 求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小; (3)求二面角 C-PA-B 的大小的余弦值. 21.如图,在四棱锥 PABCD 中,PC⊥

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