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高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第6讲数学归纳法知能训练轻松闯关理北师大版

第 6 讲 数学归纳法 1.凸 n 多边形有 f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数 f(n+1)为( ) A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 解析:选 C.边数增加 1,顶点也相应增加 1 个,它与和它不相邻的 n-2 个顶点连接成对角 线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加 n-1 条. n n 2.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,x +y 能被 x+y 整除”的第二步是( ) * A.假设 n=2k+1 时正确,再推 n=2k+3 时正确(其中 k∈N ) * B.假设 n=2k-1 时正确,再推 n=2k+1 时正确(其中 k∈N ) * C.假设 n=k 时正确,再推 n=k+1 时正确(其中 k∈N ) * D.假设 n=k 时正确,再推 n=k+2 时正确(其中 k∈N ) * 解析:选 B.因为 n 为正奇数,所以 n=2k-1(k∈N ). 1 1 1 * 3.用数学归纳法证明:“1+ + +?+ n <n(n∈N ,n>1)”时,由 n=k(k>1)不等式成 2 3 2 -1 立,推理 n=k+1 时,左边应增加的项数是________. 1 1 1 解析:当 n=k 时,要证的式子为 1+ + +?+ k <k;当 n=k+1 时,要证的式子为 1 2 3 2 -1 1 1 1 1 1 1 k + + +?+ k + k+ k +?+ k+1 <k+1.左边增加了 2 项. 2 3 2 -1 2 2 +1 2 -1 k 答案:2 1 1 1 5 * 4.(2016·九江模拟)已知 f(n)=1+ + +?+ (n∈N ),经计算得 f(4)>2,f(8)> , 2 3 n 2 7 f(16)>3,f(32)> ,则其一般结论为________. 2 4 5 6 7 n+2 2 3 4 5 n 解析:因为 f(2 )> ,f(2 )> ,f(2 )> ,f(2 )> ,所以当 n≥2 时,有 f(2 )> . 2 2 2 2 2 n+2 n * 答案:f(2 )> (n≥2,n∈N ) 2 n * 5.求证:(n+1)(n+2)·?·(n+n)=2 ·1·3·5·?·(2n-1)(n∈N ). 证明:(1)当 n=1 时,等式左边=2,右边=2,故等式成立; * (2)假设当 n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立, 即(k+1)(k+2)·?·(k+k) k =2 ·1·3·5·?·(2k-1), 那么当 n=k+1 时, 左边=(k+1+1)(k+1+2)·?·(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)?(k+k)(2k+1)(2k+2) k =2 ·1·3·5·?·(2k-1)(2k+1)·2 k+1 =2 ·1·3·5·?·(2k-1)(2k+1). 这就是说当 n=k+1 时等式也成立. * 由(1)(2)可知,对所有 n∈N 等式成立. 2 * 6.(2014·高考广东卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2nan+1-3n -4n,n∈N ,且 S3=15. (1)求 a1,a2,a3 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)由题意知 S2=4a3-20,所以 S3=S2+a3=5a3-20. 又 S3=15,所以 a3=7,S2=4a3-20=8. 又 S2=S1+a2=(2a2-7)+a2=3a2-7, 所以 a2=5,a1=S1=2a2-7=3. 综上知,a1=3,a2=5,a3=7. (2)由(1)猜想 an=2n+1,下面用数学归纳法证明. ①当 n=1 时,结论显然成立; ②假设当 n=k(k≥1)时,ak=2k+1, k[3+(2k+1)] 则 Sk=3+5+7+?+(2k+1)= 2 =k(k+2). 2 又 Sk=2kak+1-3k -4k, 2 所以 k(k+2)=2kak+1-3k -4k,解得 2ak+1=4k+6, 所以 ak+1=2(k+1)+1, 即当 n=k+1 时,结论成立. * 由①②知,对于? n∈N ,an=2n+1.

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