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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第七章 第4讲 直线、平面平行的判定与性质


第 4 讲 直线、平面平行的判定与性质

1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 判 定 定 理 性 质 定 理 平面外一条直线与这个平面内的一 条直线平行,则该直线与此平面平 行(线线平行?线面平行) 一条直线与一个平面平行,则过这 条直线的任一平面与此平面的交线 与该直线平行(简记为“线面平行 ?线线平行”) 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平 判定定理 行,则这两个平面平行 (简记为“线面平行? 面面平行”) 性质定理 如果两个平行平面同时 和第三个平面相交,那 么它们的交线平行

符号语言 ∵l∥a,a?α l?α ,∴l∥α

∵l∥α ,l?β ,α ∩β =b,∴l∥b

符号语言 ∵a∥β ,b∥β , a∩b=P,a?α ,b ?α ,∴α ∥β ∵α ∥β , α ∩γ =a β ∩γ =b, ∴a∥b

[做一做] 1.a、b、c 为三条不重合的直线,α 、β、γ 为三个不重合的平面,现给出四个命题: ? ? α ∥c? α ∥γ ? ??α ∥β ??α ∥β ① ② β ∥c? β ∥γ ? ? ? α ∥c? a∥γ ? ? ? ??a∥α ??a∥α ④ ? ? a∥c ? α ∥γ ? 其中正确的命题是( ) A.①②③ B.①④ C.② D.①③④ 解析:选 C.②正确.①错在 α 与 β 可能相交.③④错在 a 可能在 α 内. ③ 1.辨明两个易误点 (1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件. (2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件. 2.判断线面平行的两种常用方法 面面平行判定的落脚点是线面平行, 因此掌握线面平行的判定方法是必要的, 判定线面 平行的两种方法: (1)利用线面平行的判定定理; (2)利用面面平行的性质定理,即当两平面平行时,其中一平面内的任一直线平行于另 一平面. [做一做] 2.对于直线 m,n 和平面 α,若 n?α ,则“m∥n”是“m∥α”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:D 3.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点,则 BD1 与平面 ACE 的位置关系为 ________. 解析:如图,连接 AC,BD 交于 O 点,连接 OE,因为 OE∥BD1,而 OE?平面 ACE, BD1?平面 ACE,所以 BD1∥平面 ACE.

答案:平行

考点一__线面平行的判定及性质(高频考点)_______ 平行关系是空间几何中的一种重要关系,包括线线平行、线面平行、面面平行,其中线 面平行在高考试题中出现的频率很高,一般出现在解答题中. 高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下三个命题角度: (1)判断线面的位置关系; (2)线面平行的证明; (3)线面平行性质的应用. 1 如图,在四棱锥 PABCD 中,CD∥AB,DC= AB,若 PM=MB,求证:CM∥ 2 平面 PAD.

直线与平面平行的性质 [证明] 法一:取 AP 的中点 F,连接 FM,DF, 1 则 FM∥AB,FM= AB. 2 1 ∵CD∥AB,CD= AB, 2 ∴FM∥CD,FM=CD. ∴四边形 CDFM 为平行四边形. ∴CM∥DF. ∵DF?平面 PAD,CM?平面 PAD, ∴CM∥平面 PAD. 法二:在四边形 ABCD 中,设 BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 Q,连接 PQ,AC. ∵CD∥AB, ∴∠QCD=∠QBA. ∵∠CQD=∠BQA, ∴△CQD∽△BQA. QC CD 1 ∴ = = . QB AB 2

∴C 为 BQ 的中点. ∵M 为 BP 的中点, ∴CM∥PQ. ∵PQ?平面 PAD,CM?平面 PAD, ∴CM∥平面 PAD. [规律方法] (1)证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平 行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行. (2)应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平 面来确定交线. 1. (1)(2015· 秦皇岛模拟)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点, M 是 PC 的中点, 在 DM 上取一点 G, 过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.

求证:AP∥GH. (2)(2015· 浙江六市六校联盟模拟)如图所示,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB⊥BC,D 为 AC 的中点,AA1=AB=2.

①求证:AB1∥平面 BC1D; ②若 BC=3,求三棱锥 DBC1C 的体积. 解:(1)证明:连接 AC 交 BD 于点 O,连接 MO, ∵PM=MC,AO=OC, ∴PA∥MO, ∵PA?平面 MBD,MO?平面 MBD, ∴PA∥平面 MBD. ∵平面 PAG∩平面 MBD=GH, ∴AP∥GH. (2)①证明:连接 B1C,设 B1C 与 BC1 相交于点 O,连接 OD. ∵四边形 BCC1B1 是平行四边形. ∴点 O 为 B1C 的中点. ∵D 为 AC 的中点,∴OD 为△AB1C 的中位线,∴OD∥AB1. ∵OD?平面 BC1D,AB1?平面 BC1D, ∴AB1∥平面 BC1D. ②在三棱柱 ABCA1B1C1 中, 侧棱 CC1∥AA1. 又∵AA1⊥平面 ABC, ∴侧棱 CC1⊥平面 ABC, 故 CC1 为三棱锥 C1?BCD 的高,A1A=CC1=2,

1 11 3 ∵S△BCD= S△ABC= ( BC·AB)= , 2 22 2 1 ∴VD?BCC1=VC1?BCD= CC1·S△BCD 3 1 3 = ×2× =1. 3 2 考点二__面面平行的判定与性质______________ 如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点,求证:

(1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. [证明] (1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线,∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC, ∴B,C,H,G 四点共面. (2)∵E,F 分别为 AB,AC 的中点,∴EF∥BC, ∵EF?平面 BCHG,BC?平面 BCHG, ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G 綊 EB, ∴四边形 A1EBG 是平行四边形,∴A1E∥GB. ∵A1E?平面 BCHG,GB?平面 BCHG, ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面 EFA1∥平面 BCHG. 在本例条件下,线段 BC1 上是否存在一点 M 使得 EM∥平面 A1ACC1? 解:存在.当 M 为 BC1 的中点时成立. 证明如下:连接 EM(图略),在△ABC1 中, E,M 分别为 AB,BC1 的中点, 1 ∴EM 綊 AC1,又 EM?平面 A1ACC1, 2 AC1?平面 A1ACC1,∴EM∥平面 A1ACC1. [规律方法] 判定面面平行的方法: (1)利用定义:即证两个平面没有公共点(不常用); (2)利用面面平行的判定定理(主要方法); (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用); (4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(客 观题可用). 2.(2013· 高考陕西卷) 如图, 四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方 形,O 是底面中心,A1O⊥底面 ABCD,AB=AA1= 2.

(1)证明:底面 A1BD∥平面 CD1B1; (2)求三棱柱 ABDA1B1D1 的体积. 解:(1)证明:由题设知,BB1 綊 DD1, ∴四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴BD∥B1D1. 又 BD?平面 CD1B1,∴BD∥平面 CD1B1. ∵A1D1 綊 B1C1 綊 BC,∴四边形 A1BCD1 是平行四边形, ∴A1B∥D1C. 又 A1B?平面 CD1B1, ∴A1B∥平面 CD1B1. 又 BD∩A1B=B, ∴平面 A1BD∥平面 CD1B1. (2)∵A1O⊥平面 ABCD, ∴A1O 是三棱柱 ABDA1B1D1 的高. 1 2 又 AO= AC=1,AA1= 2,∴A1O= AA2 1-OA =1. 2 1 又 S△ABD= × 2× 2=1, 2 ∴V 三棱柱 ABDA1B1D1=S△ABD·A1O=1. 考点三__平行关系的综合应用________________ (2015· 河南洛阳月考)如图,ABCD 与 ADEF 为平行四边形,M,N,G 分别是 AB,AD,EF 的中点.

(1)求证:BE∥平面 DMF; (2)求证:平面 BDE∥平面 MNG. [证明] (1)如图, 连接 AE, 则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O,连接 MO,则 MO 为△ABE 的中位线,所以 BE∥MO, 又 BE?平面 DMF,MO?平面 DMF, 所以 BE∥平面 DMF. (2)因为 N,G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD,EF 的 中点,所以 DE∥GN, 又 DE?平面 MNG,GN?平面 MNG, 所以 DE∥平面 MNG. 又 M 为 AB 中点,所以 MN 为△ABD 的中位线,所以 BD∥MN, 又 BD?平面 MNG,MN?平面 MNG, 所以 BD∥平面 MNG, 又 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线,所以平面 BDE∥平面 MNG.

[规律方法] 在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定 要注意定理成立的条件, 严格按照定理成立的条件规范书写步骤, 如把线面平行转化为线线 平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行. 3. 如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,S 是 B1D1 的中点,E、F、G 分别 是 BC、DC、SC 的中点,求证:

(1)直线 EG∥平面 BDD1B1; (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1. 证明:(1)如图,连接 SB, ∵E、G 分别是 BC、SC 的中点, ∴EG∥SB. 又∵SB?平面 BDD1B1, EG?平面 BDD1B1, ∴直线 EG∥平面 BDD1B1. (2)连接 SD, ∵F、G 分别是 DC、SC 的中点, ∴FG∥SD. 又∵SD?平面 BDD1B1,FG?平面 BDD1B1, ∴FG∥平面 BDD1B1,且 EG?平面 EFG, FG?平面 EFG,EG∩FG=G, ∴平面 EFG∥平面 BDD1B1.

方法思想——转化与化归思想解决平行关系中的探索性问题 如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点.

(1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由. [解] (1)证明:因为 D,E 分别是 AP,AC 的中点, 所以 DE∥PC. 又因为 DE?平面 BCP,PC?平面 BCP,所以 DE∥平面 BCP. (2)证明:因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点, 所以 DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF.

所以四边形 DEFG 为平行四边形. 又因为 PC⊥AB,所以 DE⊥DG. 所以四边形 DEFG 为矩形. (3)存在点 Q 满足条件,理由如下: 连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点, 1 由(2)知,DF∩EG=Q,且 QD=QE=QF=QG= EG. 2 分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN. 与(2)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线交点为 EG 的中 1 点 Q,且 QM=QN= EG, 2 所以 Q 为满足条件的点. [名师点评] (1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究,对条件和结 论不完备的开放性问题的探究, 解决这类问题一般根据探索性问题的设问, 假设其存在并探 索出结论,然后在这个假设下进行推理论证,若得到合乎情理的结论就肯定假设,若得到矛 盾就否定假设. (2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤:从结论出发 “要使??成立”, “只需使??成立”. 如图所示,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,D 是棱 CC1 的中点,问在棱 AB 上是否存在一点 E,使 DE∥平面 AB1C1?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在,请说明 理由.

解:点 E 为 AB 的中点时 DE∥平面 AB1C1,证明如下: 法一:取 AB1 的中点 F,连接 DE、EF、FC1, ∵E、F 分别为 AB、AB1 的中点, 1 ∴EF∥BB1 且 EF= BB1. 2 在三棱柱 ABCA1B1C1 中, 1 DC1∥BB1 且 DC1= BB1, 2 ∴EF 綊 DC1,四边形 EFC1D 为平行四边形,∴ED∥FC1. 又 ED?平面 AB1C1,FC1?平面 AB1C1, ∴ED∥平面 AB1C1. 法二:取 BB1 的中点 H,连接 EH,DH, ∴E,H 分别是 AB,BB1 的中点, 则 EH∥AB1. 又 EH?平面 AB1C1, AB1?平面 AB1C1, ∴EH∥平面 AB1C1, 又 HD∥B1C1,同理可得 HD∥平面 AB1C1, 又 EH∩HD=H, ∴平面 EHD∥平面 AB1C1,

∵ED?平面 EHD, ∴ED∥平面 AB1C1.

1.(2015· 惠州模拟)已知两条不同的直线 l,m,两个不同的平面 α,β ,则下列条件能 推出 α∥β 的是( ) A.l?α ,m?α ,且 l∥β,m∥β B.l?α ,m?β ,且 l∥m C.l⊥α ,m⊥β ,且 l∥m D.l∥α ,m∥β ,且 l∥m 解析:选 C.借助正方体模型进行判断.易排除选项 A,B,D,故选 C. 2.(2015· 济南模拟)平面 α∥平面 β 的一个充分条件是( ) A.存在一条直线 a,a∥α ,a∥β B.存在一条直线 a,a?α ,a∥β C.存在两条平行直线 a,b,a?α ,b?β ,a∥β ,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a?α ,b?β ,a∥β ,b∥α 解析:选 D.若 α∩β=l,a∥l,a?α,a?β,则 a∥α,a∥β,故排除 A.若 α∩β=l,a ?α,a∥l,则 a∥β,故排除 B.若 α∩β=l,a?α,a∥l,b?β,b∥l,则 a∥β,b∥α, 故排除 C.故选 D. 3.(2015· 大连市双基测试)在空间中,a,b 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平 面,则真命题是( ) A.若 a∥α,b∥α ,则 a∥b B.若 a?α ,b?β ,α ⊥β ,则 a⊥b C.若 a∥α,a∥b,则 b∥α D.若 α∥β,a?α ,则 a∥β 解析:选 D.对于 A,平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异 面,因此选项 A 不正确;对于 B,分别位于两个相互垂直的平面内的两条直线可能是平行 的或异面的或相交的,因此选项 B 不正确;对于 C,直线 b 可能位于平面 α 内,此时结论 不正确;对于 D,直线 a 与平面 β 没有公共点,因此 a∥β,选项 D 正确. 4. 如图, 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, E, F 分别为棱 AB, CC1 的中点, 在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线( )

A.不存在 B.有 1 条 C.有 2 条 D.有无数条 解析:选 D.由题设知平面 ADD1A1 与平面 D1EF 有公共点 D1,由平面的基本性质中的 公理知必有过该点的公共直线 l,在平面 ADD1A1 内与 l 平行的线有无数条,且它们都不在 平面 D1EF 内,由线面平行的判定定理知它们都与平面 D1EF 平行. 5. 如图所示,在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为边 AB,AD 上的点,且 AE∶EB= AF∶FD=1∶4,又 H,G 分别为 BC,CD 的中点,则( )

A.BD∥平面 EFGH,且四边形 EFGH 是矩形 B.EF∥平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形 C.HG∥平面 ABD,且四边形 EFGH 是菱形 D.EH∥平面 ADC,且四边形 EFGH 是平行四边形 1 解析:选 B.由 AE∶EB=AF∶FD=1∶4 知 EF 綊 BD,∴EF∥平面 BCD.又 H,G 分别 5 1 为 BC,CD 的中点,∴HG 綊 BD,∴EF∥HG 且 EF≠HG.∴四边形 EFGH 是梯形. 2 AM AN 6. 如图,在空间四边形 ABCD 中,M∈AB,N∈AD,若 = ,则直线 MN 与平面 MB ND BDC 的位置关系是__________.

AM AN 解析:在平面 ABD 中, = , MB ND ∴MN∥BD. 又 MN?平面 BCD,BD?平面 BCD, ∴MN∥平面 BCD. 答案:平行 7.(2015· 汕头质检)若 m,n 为两条不重合的直线,α ,β 为两个不重合的平面,则下 列命题中真命题的序号是________. ①若 m,n 都平行于平面 α,则 m,n 一定不是相交直线; ②若 m,n 都垂直于平面 α,则 m,n 一定是平行直线; ③已知 α,β 互相平行,m,n 互相平行,若 m∥α,则 n∥β; ④若 m,n 在平面 α 内的射影互相平行,则 m,n 互相平行. 解析:①为假命题;②为真命题;在③中,n 可以平行于 β,也可以在 β 内,故是假命 题;在④中,m,n 也可能异面,故为假命题. 答案:② 8.(2015· 湖南长沙一中高考模拟)如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a,点 P a 是棱 AD 上一点,且 AP= ,过 B1、D1、P 的平面交底面 ABCD 于 PQ,Q 在直线 CD 上, 3 则 PQ=________.

解析:∵平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD,而平面 B1D1P∩平面 ABCD=PQ,平面 B1D1P ∩平面 A1B1C1D1=B1D1,∴B1D1∥PQ.

又∵B1D1∥BD,∴BD∥PQ, 设 PQ∩AB=M,∵AB∥CD, ∴△APM∽△DPQ. PQ PD ∴ = =2,即 PQ=2PM. PM AP 又知△APM∽△ADB, PM AP 1 ∴ = = , BD AD 3 1 2 2 ∴PM= BD,又 BD= 2a,∴PQ= a. 3 3 2 2 答案: a 3 9. 如图, 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中, E, H 分别为棱 A1B1, D1C1 上的点, 且 EH∥A1D1, 过 EH 的平面与棱 BB1,CC1 相交,交点分别为 F,G,求证:FG∥平面 ADD1A1.

证明:因为 EH∥A1D1,A1D1∥B1C1, EH?平面 BCC1B1,B1C1?平面 BCC1B1, 所以 EH∥平面 BCC1B1. 又平面 FGHE∩平面 BCC1B1=FG, 所以 EH∥FG,即 FG∥A1D1. 又 FG?平面 ADD1A1,A1D1?平面 ADD1A1, 所以 FG∥平面 ADD1A1. 10. 如图,已知四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形,AB∥CD,∠DAB=90°,PA⊥底 1 面 ABCD,且 PA=AD=DC= AB=1,M 是 PB 的中点. 2

(1)求证:AM=CM; (2)若 N 是 PC 的中点,求证:DN∥平面 AMC. 1 证明:(1)在直角梯形 ABCD 中,AD=DC= AB=1, 2 ∴AC= 2,BC= 2,∴BC⊥AC. 又 PA⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD, ∴BC⊥PA,∴BC⊥平面 PAC,∴BC⊥PC. 1 在 Rt△PAB 中,M 为 PB 的中点,则 AM= PB, 2 1 在 Rt△PBC 中,M 为 PB 的中点,则 CM= PB, 2 ∴AM=CM. (2)连接 DB 交 AC 于点 F, 1 1 ∵DC 綊 AB,∴DF= FB. 2 2

取 PM 的中点 G,连接 DG,FM,则 DG∥FM. 又 DG?平面 AMC,FM?平面 AMC, ∴DG∥平面 AMC. 连接 GN,则 GN∥MC, ∴GN∥平面 AMC. 又 GN∩DG=G, ∴平面 DNG∥平面 AMC. ∵DN?平面 DNG, ∴DN∥平面 AMC. 1.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N 分别是对角 线 AB1,BC1 B1M C1N 上两点,且 = ,求证:MN∥平面 A1B1C1D1. MA NB 证明:如图所示,在平面 AA1B1B 内,作 MK∥A1B1 交 BB1 于点 K,因为 A1B1?平面 A1B1C1D1,MK?平面 A1B1C1D1, 所以 MK∥平面 A1B1C1D1 B1M B1K 连接 KN,由 MK∥A1B1 可知 = , MA KB B1M C1N B1K C1N 又 = ,所以 = ,所以 KN∥B1C1, MA NB KB NB 因为 B1C1?平面 A1B1C1D1,KN?平面 A1B1C1D1,所以 KN∥平面 A1B1C1D1. 又 MK,KN 是平面 MNK 内两条相交的直线,所以平面 MNK∥平面 A1B1C1D1, 因为 MN?平面 MNK,所以 MN∥平面 A1B1C1D1. 2. 如图,斜三棱柱 ABCA1B1C1 中,点 D,D1 分别为 AC,A1C1 上的点.

A 1D 1 (1)当 等于何值时,BC1∥平面 AB1D1? D1C1 AD (2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1,求 的值. DC A1D1 解:(1)如图,取 D1 为线段 A1C1 的中点,此时 =1. D1C1 连接 A1B 交 AB1 于点 O,连接 OD1. 由棱柱的性质,知四边形 A1ABB1 为平行四边形,∴点 O 为 A1B 的中点. 在△A1BC1 中,点 O,D1 分别为 A1B,A1C1 的中点, ∴OD1∥BC1. 又∵OD1?平面 AB1D1,BC1?平面 AB1D1, ∴BC1∥平面 AB1D1. A1D1 ∴ =1 时,BC1∥平面 AB1D1. D1C1 (2)由已知,平面 BC1D∥平面 AB1D1, 且平面 A1BC1∩平面 BDC1=BC1, 平面 A1BC1∩平面 AB1D1=D1O. 因此 BC1∥D1O,同理 AD1∥DC1. A1D1 A1O A1D1 DC ∴ = , = . D1C1 OB D1C1 AD

A 1O 又∵ =1, OB DC AD ∴ =1,即 =1. AD DC 3. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,如图.

(1)求证:平面 AB1D1∥平面 C1BD; (2)试找出体对角线 A1C 与平面 AB1D1 和平面 C1BD 的交点 E, F, 并证明 A1E=EF=FC. 解:(1)证明:因为在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, AD 綊 B1C1, 所以四边形 AB1C1D 是平行四边形,所以 AB1∥C1D. 又因为 C1D?平面 C1BD,AB1?平面 C1BD, 所以 AB1∥平面 C1BD. 同理 B1D1∥平面 C1BD. 又因为 AB1∩B1D1=B1, AB1?平面 AB1D1,B1D1?平面 AB1D1, 所以平面 AB1D1∥平面 C1BD. (2)如图,连接 A1C1,交 B1D1 于点 O1,连接 AO1,与 A1C 交于点 E. 又因为 AO1?平面 AB1D1, 所以点 E 也在平面 AB1D1 内, 所以点 E 就是 A1C 与平面 AB1D1 的交点. 连接 AC,交 BD 于点 O,连接 C1O,与 A1C 交于点 F, 则点 F 就是 A1C 与平面 C1BD 的交点. 下面证明 A1E=EF=FC. 因为平面 A1C1C∩平面 AB1D1=EO1, 平面 A1C1C∩平面 C1BD=C1F, 平面 AB1D1∥平面 C1BD,所以 EO1∥C1F. 在△A1C1F 中,O1 是 A1C1 的中点, 所以 E 是 A1F 的中点, 即 A1E=EF. 同理可证 OF∥AE,所以 F 是 CE 的中点,即 FC=EF, 所以 A1E=EF=FC.


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