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(北师大版)高中数学必修2课件:2.1.3两条直线的位置关系


数 学 必修2

第二章

解析几何初步
自主学习· 新知突破 合作探究· 课堂互动 高效测评· 知能提升

1.3 两条直线的位置关系

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自主学习· 新知突破

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在平面几何中,两条直线平行,同位角相等. [问题 1] 在平面直角坐标系中,若 l1∥l2,那么它们的倾斜角有什么关系?

斜率有什么关系?

[提示] 倾斜角相等,斜率相等或不存在. [问题2] 若l1,l2的斜率相等,l1与l2一定平行吗?

[提示] 平行.

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1.理解两条直线平行或垂直的判断条件. 2.会利用斜率来判断两条直线平行或垂直. 3.能够利用直线的斜率来判断含字母参数的两直线的平行或垂直.

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两条直线平行、垂直的判断 l1∥l2 l1、l2 的倾斜角 α1、α2 间的关系 α1____ = α2 l1⊥l2

90° |α2-α1|=____

图示

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斜率间的关系(若 l1、l2 的斜率都存 在,设 l1:y=k1x +b1,l2:y=k2x +b2)

若 l1、l2 的斜率都存在,则 l1∥l2 若 l1、l2 的斜率都存在,则 l1

k1=k2,且b1≠b2 (如图① ?__________________
所示) 若 l1、l2 的斜率都不存在,则

k1· k2=-1 (如图 ⊥l2?______________
③所示) 若 l1、l2 有一条直线的斜率不 存在,则 l1⊥l2?另一条直线

l1∥l2 (如图②所示)或 l1 与 ______

重合 l2_____

为0 (如图④所示) 的斜率______

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[强化拓展] 如果已知两直线的一般式方程,可以利用方程系数间的关系来判断两直线的 平行或垂直. 设两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 则 l1∥l2?A1B2-A2B1=0 且 A1C2-A2C1≠0; l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.

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[自主练习] 1.已知 A(0,-4),B(5,-4),则直线 AB 与直线 x=0 的位置关系是( A.平行 C.重合 B.垂直 D.非以上情况 )

解析:

∵点A,B的纵坐标相等,

∴kAB=0,直线AB与x=0垂直.

答案:

B

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2.下列说法正确的有(

)

①若不重合的两直线斜率相等,则它们平行; ②若 l1∥l2,则 k1=k2; ③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 0,则两直线 垂直; ④若 l1 与 l2 的斜率都不存在,则 l1∥l2. A. 4 个 C. 2 个 B.3 个 D. 1 个

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解析: ①正确;②不正确,l1∥l2 时,两条直线的斜率可能不存在;③正确; ④不正确,两条直线可能重合.

答案:

C

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3 3.已知直线 l1 的斜率为 k1=4,直线 l2 经过点 A(3a,-2),B(0,a2+1),且 l1⊥l2,则实数 a=________.
解析: k2=-1, 因为 l1⊥l2,所以 k1·

2 3 a +1-?-2? 即4× 0-3a =-1,

解得 a=1 或 a=3, 所以当 a=1 或 a=3 时,l1⊥l2.

答案:

1或3

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4.如图在?OABC 中,O 为坐标原点,点 C(1,3). (1)求 OC 所在直线的斜率; (2)过 C 作 CD⊥AB 于 D,求直线 CD 的斜率.
解析: (1)∵点 O(0,0),C(1,3),

3-0 ∴OC 所在直线的斜率 kOC=1-0=3.

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(2)在?OABC 中,AB∥OC, ∵CD⊥AB, ∴CD⊥OC, -1 1 kCD=-1,kCD= kOC =-3. ∴kOC· 1 故直线 CD 的斜率为-3.

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合作探究· 课堂互动

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两直线平行的判定 判断下列各小题中的直线 l1,l2 是否平行: (1)l1 经过点 A(-1,-2),B(2,1),l2 经过点 M(3,4),N(-1,-1); (2)l1 经过点 A(-3,2),B(-3,10),l2 经过点 M(5,-2),N(5,5); (3)l1 的倾斜角为 60° ,l2 经过点 A(1, 3),B(-2,-2 3).

[思路探究] 1.若两直线斜率相等,能否判定这两直线就一定平行? 2.判断两直线平行的关键点是什么?

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[边听边记]

1-?-2? (1)直线 l1 的斜率 k1=2-?-1?=1,

- 1- 4 5 直线 l2 的斜率 k2=-1-3=4, 因为 k1≠k2,所以 l1 与 l2 不平行. (2)因为 l1,l2 都与 x 轴垂直且 l1,l2 不重合, 故 l1∥l2. (3)由题意可知直线 l1 的斜率 k1=tan 60° = 3, - 2 3- 3 直线 l2 的斜率 k2= -2-1 = 3, 因为 k1=k2,所以 l1∥l2 或 l1,l2 重合.

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[规律方法]

判断两条直线是否平行的步骤

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1.判断下列各小题中的直线 l1 与 l2 是否平行: (1)l1 经过点 A(1,2),B(2,1),l2 经过点 M(3,4),N(-1,5). (2)l1 经过点 A(-3,2),B(-3,1),l2 经过点 M(-1,4),N(-1,5). (3)l1 经过点 A(-1,2),B(-3,1),l2 经过点 M(-1,4),N(1,5).

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解析:

1-2 5-4 1 (1)kl1=2-1=-1,kl2=-1-3=-4,kl1≠kl2,

所以 l1 与 l2 不平行. (2)直线 l1 与 l2 均与 x 轴垂直,且横坐标不同, 所以 l1 与 l2 平行. 1-2 5-4 1 1 (3)kl1=-3-?-1?=2,kl2=1-?-1?=2, kl1=kl2,数形结合知 l1 与 l2 平行.

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两直线垂直的判定 (1)判断下列各小题中的两直线是否垂直: ①直线 l1 的斜率为-10,直线 l2 经过 A(10,2),B(20,3); ②直线 l1 经过点 A(3,4),B(3,100),直线 l2 经过点 M(-1,40),N(1,40). (2)已知三点 A(5,-1),B(1,1),C(2,3),求证:△ABC 是直角三角形.

[思路探究]

1.判断两直线垂直的依据是什么?

2.如何确定三角形的两条边垂直 ?

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解析:

3-2 1 (1)①k1=-10,k2=20-10=10,

k2=-1,两直线垂直. 所以 k1· B(3,100), ②直线 l1 经过点 A(3,4), 故其斜率不存在, 直线 l2 经过点 M(-1,40), N(1,40),斜率为 0,所以两直线垂直. -1-1 1 (2)由斜率公式得:kAB= 5-1 =-2, 3-1 -1-3 4 kBC=2-1=2,kAC= 5-2 =-3. 1 kBC=-2×2=-1, 因为 kAB· 所以 AB⊥BC,所以△ABC 是直角三角形.

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[规律方法]

利用斜率公式来判定两直线垂直的方法

(1)一看: 就是看所给两点的横坐标是否相等, 若相等, 则直线的斜率不存在, 只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等,若相等,则垂直,若不相等,则进 行第二步. (2)二代:就是将点的坐标代入斜率公式. (3)求值:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜 率公式要对参数进行讨论.

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2.判断下列各小题中 l1 与 l2 是否垂直: (1)l1 经过点 A(-1,-2),B(1,2),l2 经过点 M(-2,-1),N(2,1); (2)l1 的斜率为-6,l2 经过点 A(3,-1),B(9,0); (3)l1 经过点 A(3,4),B(3,10),l2 经过点 M(-10,40),N(10,40).

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解析:

2-?-2? (1)k1=1-?-1?=2,

1-?-1? 1 k2=2-?-2?=2,k1k2=1, ∴l1 与 l2 不垂直. - 1- 0 1 (2)k1=-6,k2= 3-9 =6,k1k2=-1, ∴l1⊥l2. (3)l1 的倾斜角为 90° ,则 l1⊥x 轴, 40-40 k2=10-?-10?=0,则 l2∥x 轴,∴l1⊥l2.

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方程中含参数的直线的平行与垂直 已知直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与 l2:mx+3y-2=0. (1)若 l1∥l2,求 m 的值; (2)若 l1⊥l2,求 m 的值.

[思路探究]

利用两直线平行或垂直的条件建立关于m的方程即可求解.

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解析:

? ?A1B2-A2B1=0, (1)法一:∵l1∥l2,∴? ? ?B1C2-B2C1≠0.

∵A1=2,B1=m+1,C1=4,A2=m,B2=3,C2=-2,
? ?2×3-m?m+1?=0, ? ∴? ??m+1?×?-2?-3×4≠0,
2 ? ?m +m-6=0, ? 即? ?m≠-7,

? ?m=-3或m=2, ? 解得? ?m≠-7,

∴m=-3 或 m=2.

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2 4 法二: 当 m≠-1 时, 直线 l1 的斜率 k1=-m+1, 在 y 轴上的截距 b1=-m+1; m 2 直线 l2 的斜率 k2=- 3 ,在 y 轴上的截距 b2=3. 2 m 4 2 ∵l1∥l2,∴-m+1=- 3 且-m+1≠3,解得 m=-3 或 m=2. 1 当 m=-1 时,直线 l1 的斜率不存在,直线 l2 的斜率 k2=3,显然不平行. 综上可知,当 m=-3 或 m=2 时,直线 l1 与 l2 平行. (2)若 l1⊥l2,则有 2×m+(m+1)×3=0, 3 即 5m+3=0,解得 m=-5.

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[规律方法]

在应用两条直线平行或垂直求直线方程中的参数时,若能直观

判断两条直线的斜率存在,则可直接利用平行或垂直时斜率满足的条件列式求参 数;若不能直观判断两条直线的斜率是否存在,运用斜率解题时要分情况讨论, 若用一般式的系数解题则无需讨论.

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3. (1)若直线 2ay-1=0 与直线(3a-1)x+y-1=0 平行, 则实数 a 等于( 1 A.2 1 C.3 1 B.-2 1 D.-3

)

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(2)经过点(m,3)和(2,m)的直线 l 与斜率为-4 的直线互相垂直,则 m 的值是 ________.
解析: 1 (1)因为两直线平行,所以 3a-1=0,即 a=3.

m- 3 14 (2)由已知得2-m×(-4)=-1,解得 m= 5 .
答案: (1)C 14 (2) 5

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◎已知直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0, 当 l1∥l2 时,求 m 的值.

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【错解】

m-2 ∵l2 的斜率 k2=- 3 ,

由 l1∥l2,∴l1 的斜率 k1 也一定存在, 1 由 l1 的方程得 k1=-m, m- 2 1 由 k1=k2,得- 3 =-m, 解得 m=3 或 m=-1. ∴m 的值为 3 或-1.

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【错因】

本题出错的主要原因在于没有全面领会两直线平行的条件.两直

线平行时,若斜率存在则相等,不存在时则它们的斜率都不存在;当两直线的斜 率相等时,可能平行也可能重合.本题的错解仅求出了 k1=k2 时 m 满足的条件, 而没有考虑重合的情况.

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【正解一】 由题设 l2 的方程可化为 m- 2 2 y=- 3 x-3m, m- 2 2 ∴其斜率 k2=- 3 ,纵截距 b2=-3m. ∵l1∥l2,∴l1 的斜率一定存在即 m≠0. 1 6 ∴l1 的方程为 y=-mx-m. ? m- 2 1 ?- 3 =-m 由 l1∥l2 得? 2 6 ? ?-3m≠-m ∴m 的值为-1.

解得 m=-1.

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【正解二】

令 1×3=m(m-2),即由 m2-2m-3=0

解得 m=3 或 m=-1. 当 m=-1 时,l1 的方程为 x-y+6=0,l2 的方程为-3x+3y-2=0, 2 即 x-y+3=0,∴l1∥l2. 当 m=3 时,l1 的方程为 x+3y+6=0,l2 的方程为 x+3y+6=0.l1 与 l2 重合,不合题意. ∴m 的值为-1.

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