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高中数学复习专题一___函数图象问题

专题一

函数图象

数形结合是中学数学的重要的数学思想方法,尤其是函数的图象更是历年高考的热点 .函数图 象是函数的一种表达形式,形象的显示了函数的性质,为研究数量关系提供了“形”的直观性,它 是探求解题途径,获得问题的结果的重要工具. 一、知识方法 1.函数图象作图方法 (1)描点法:列表、描点(注意关键点:如图象与 x 、 y 轴的交点,端点,极值点等) ) 、连线(注 意关键线:如;对称轴,渐近线等) (2)利用基本函数图象变换。 2.图象变换(由一个图象得到另一个图象) :平移变换、对称变换和伸缩变换等。 (1)平移变换 ① 水平平移:函数 y ? f ( x ? a) 的图象可以把函数 y ? f ( x) 的图象沿 x 轴方向向左 (a ? 0) 或 向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到; ② 竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图象可以把函数 y ? f ( x) 的图象沿 y 轴方向向上 (a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到. (2)对称变换 ① 函数 y ? f (? x) 的图象可以将函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称即可得到; ② 函数 y ? ? f ( x) 的图象可以将函数 y ? f ( x) 的图象关于 x 轴对称即可得到; ③ 函数 y ? ? f (? x) 的图象可以将函数 y ? f ( x) 的图象关于原点对称即可得到; (3)翻折变换 ① 函数 y ?| f ( x) | 的图象可以将函数 y ? f ( x) 的图象的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方, 去掉 原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到; ② 函数 y ? f (| x |) 的图象可以将函数 y ? f ( x) 的图象右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左边 部分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到. (4)伸缩变换 ① 函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图象可以将函数 y ? f ( x) 的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1)为原来的 a 倍得到; ② 函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图象可以将函数 y ? f ( x) 的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 ( 0 ? a ? 1)或压缩 (a ? 1) 为原来的
1 倍得到. a

3.函数图象的对称性:对于函数 y ? f ( x) ,若对定义域内的任意 x 都有 ① f (a ? x) ? f (a ? x) (或 f ( x) ? f (2a ? x)) ,则 f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称; ② f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b (或 f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b) , ,则 f ( x) 的图象关于点 P(a, b) 对称. 4、熟练掌握基本初等函数(如正、反比例函数,一次、二次函数,指数、对数函数,幂函数,三 角函数)的图象 5、作函数图象的一般步骤: (1)求出函数的定义域; (2)化简函数式; (3)讨论函数的性质(如奇偶性、周期性、单调 性)以及图像上的特殊点、线(如极值点、渐近线、对称轴等) ; (4)利用基本函数的图像(5)利

用描点法或图象变换作图 6.判断函数图象的方法 判断函数图象是高考中经常出现的内容,大多属于简单题,值得重视。常用方法有: (1)取点(描点) (2)考虑函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、变化趋势、对称性等方面 (3)利用平移 (4)利用基本形状 4.应用:利用函数图象解决有关问题,即“数形结合”思想解答问题或帮助分析问题。 二、题型演练 题型一、作函数的图像 例 1、作出下列函数的图象.? (1)y= 1 (lgx+|lgx|);?(2)y= 2 x ? 1 ;?(3)y= ( 1 ) |x|.?
2 x ?1 2

解 (1)化简解析式得 y= ? (2)由 y= 2 x ? 1 ,得 y=
x ?1 1 x ?1

?0 (0 ? x ? 1). 利用对数函数的图像即得图(1) ?lg x ( x ? 1).

+2.?作出 y= 1 的图象,将 y= 1 的图象向右平移一个单位,再向上平
x x

移 2 个单位得 y=

1 +2 x ?1
2

的图象如图(2).?
2 2

(3)作出 y=( 1 )x 的图象,保留 y=( 1 )x 图象中 x≥0 的部分,加上 y=( 1 )x 的图象中 x>0 的部分关于 y 轴的对称部分,即得 y=( 1 )|x|?的图象.如图(3)?
2

(1) 例 2、作出 y ?| log2(x ? 1) | ?2 的图象. [分析]利用图象变换作图(如图)

(2)

(3)

解:第一步:作出 y ? log2 x 的图象(图①).第二步:将 y ? log2 x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单 位得 y ? log x(x ? 1) 的图象(图②).第三步:将 y ? log2(x ? 1) 的图象在 x 轴下方的图象,以 x 轴为对 称轴对称到 x 轴的上方得 y ?| log2(x ? 1) | 的图象) (图③).第四步:将 y ?| log2(x ? 1) | 的图象沿 y 轴方 向向上平移 2 个单位,得到 y ?| log2(x ? 1) | ?2 的图象(图④).

[评注]运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线.要把点取在关 键处,要把线连在恰当处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概 的研究.而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点.用图象变换法 作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换.这也是个难点. 题型二、已知两个函数解析式,指出它们之间的变换或已知一个解析式和变换,求另一个解 析式。 例 3.说明由函数 y ? 2 x 的图像经过怎样的图像变换得到函数 y ? 2? x ?3 ? 1 的图像. 解:方法一: (1)将函数 y ? 2 x 的图像向右平移 3 个单位,得到函数 y ? 2 x ?3 的图像; (2)作出函数 y ? 2 x ?3 的图像关于 y 轴对称的图像,得到函数 y ? 2? x ?3 的图像; (3)把函数 y ? 2? x ?3 的图像向上平移 1 个单位,得到函数 y ? 2? x ?3 ? 1 的图像. 方法二: (1)作出函数 y ? 2 x 的图像关于 y 轴的对称图像,得到 y ? 2? x 的图像; (2)把函数 y ? 2? x 的图像向左平移 3 个单位,得到 y ? 2? x ?3 的图像; (3)把函数 y ? 2? x ?3 的图像向上平移 1 个单位,得到函数 y ? 2? x ?3 ? 1 的图像. 例 4、 已知函数 f(x)=log2(x+1), 将函数 y=f(x)的图象向左平移一个单位, 再将图象上所有点 的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),得到函数 y=g(x)的图象.求函数 y=g(x)的解析式. 解:由已知, 将函数 f(x)=log2(x+1)的图象向左平移一个单位,得到 y=log2(x+1+1)的图象, 再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),得到函数 y=g(x)=2log2(x+2)的图 象. 故 g(x)=2log2(x+2). 题型三、选择正确的函数图象 例 5.如图所示, f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x), f 4 ( x) 是定义在 [0,1] 上的四个函数,其中满足性质: “对 [0,1] 中 任意的 x1 和 x 2 , f (
x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 恒成立”的只有( 2 2



解: f (

x1 ? x2 x ? x2 , ) 的 自 变 量 为 x1 , x2 的 中 点 , f ( 1 ) 对应的函数值即“中点的纵坐标” 2 2

1 即 “纵坐标的中点” 。 再结合 f ( x) 函 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 为自变量 x1 , x2 对应的函数值所对应的点的中点, 2

数图象的凹凸性,可得到答案 A,这是函数凹凸性的基本应用。故选 A。 例 6、已知 a ? 0 ,且 a ? 1,函数 y ? a x 与 y ? loga (?x) 的图象只能是图中的( )

[分析]可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可利用函数的性质识别图象,特别注意底 数 a 对图象的影响。 解:解法一:首先,曲线 y ? a x 只可能在上半平面, y ? loga (?x) 只可能在左半平面上,从而排 除 A、C。 其次,从单调性着眼, y ? a x 与 y ? loga (?x) 的增减性正好相反,又可排除 D。 解法二:若 0 ? a ? 1,则曲线 y ? a x 下降且过点(0,1),而曲线 y ? loga (?x) 上升且过 (?1,0) ,以上 图象均不符合这些条件 . 若 a ? 1 时,则曲线 y ? a x 上升且过 (0,1) ,而曲线 y ? loga (?x) 下降且过
(?1,0) ,只有 B 满足条件。
lg 解法三: 如果注意到 y ? loga (?x) 的图象关于 y 轴的对称图象为 y ? loga x , 又 y ?o
a

x 与 y ? ax

互为反函数(图象关于直线 y ? x 对称) ,则可直接选定 B。 [答案]B 例 7 函数 y ? f ( x) 与函数 y ? g ( x) 的图象如 则函数 y ? f ( x) · g ( x) 的图象是( ) 右,

解:由图象可知, f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且 f ( x) 与 g ( x) 的公共定义域为 x ? 0 ,排除 C、D。令 F ( x) ? f ( x) · g ( x) ,则 F (? x) ? f (? x) ? g (? x) ? ? f ( x) · g ( x) ,所以 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 为奇函 数,其图象关于原点对称,排除 B。故选 A。 题型四、函数图象的应用 例 8、若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点,求 a 的取值范围. 解: (1)当 0<a<1 时,y=|ax-1|的图象如图(1)所示,

1 由已知得 0<2a<1,∴0<a< . 2 (2)当 a>1 时,y=|ax-1|的图象如图(2)所示, 1 由已知可得 0<2a<1,∴0<a< ,但 a>1,故 a∈ ? . 2 1 综上可知,0<a< . 2 例 9、已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图,求 b 的范围。 解:解法一:观察 f(x)的图象,可知函数 f(x)的图象过原点, 即 f(0)=0,得 d=0, 又 f(x)的图象过(1,0), y ∴f(1)=a+b+c=0 ① 又有 f(-1)<0,即-a+b-c<0 ② o ①+②得 b<0,故 b 的范围是(-∞,0) 解法二:如图 f(x)=0 有三根 0,1,2, ∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax, ∴b=-3a, ∵当 x>2 时,f(x)>0,从而有 a>0, ∴b<0。 [评注]通过观察函数图像,变形函数解析式,得参数的取值范围。 1 例 10(1)试作出函数 y ? x ? 的图像; x

1

2

x

(2)对每一个实数 x ,三个数 ? x, x,1 ? x 2 中最大者记为 y ,试判断 y 是否是 x 的函数?若是,作出 其图像,讨论其性质(包括定义域、值域、单调性、最值) ;若不是,说明为什么? 1 1 解: (1) 令 f ( x) ? x ? , ∵ f (? x) ? ?( x ? ) ? ? f ( x) ∴ f ( x) 为奇函数, 从而可以先作出 x ? 0 时 f ( x) x x 的 图 像 , 再 利 用 f ( x) 的 图 像 关 于 原 点 对 称 可 得 x ? 0 时 f ( x) 的 图 像 。 又 ∵ x ? 0 时 ,
f ( x) ? x ? 1 1 ? 2 x? ? 2 x x

∴ x ? 1 时, f ( x) 的最小值为 2,图像最低点为 (1, 2) , 又∵ f ( x) 在 (0,1) 上为减函数,在 (1, ??) 上是增函数, 同时 f ( x) ? x ?
1 ? x( x ? 0) 即以 y ? x 为渐近线, x

于是 x ? 0 时,函数的图像应为下图①, f ( x) 图象为图②

y

y
O


y

O


x

O


x

x

(2) y 是 x 的函数,作出 g1 ( x) ? x, g2 ( x) ? ? x, g3 ( x) ? 1 ? x2 的图像可知, f ( x) 的图像是图③中实线 部分.定义域为 R ;值域为 [1, ??) ;单调增区间为 [?1, 0),[1, ??) ;单调减区间为 (??, ?1),[0,1) ;当

x ? ?1 时,函数有最小值 1;函数无最大值.
【评注】解决图像的应用问题,准确地做出图像是问题的关键。 小结: 函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合, 有效地揭示了各类函数和定义域、 值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形结合的特征与方法,为此,既要从定形、 定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形,又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称 变换等。注意:平移、伸缩变换的先后次序对变换的影响,?可结合具体问题阐述如何进行平移、 伸缩变换。 习题一 b 1.在下列图象中,二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y= ( ) x 的图象只可能是 a
y
1 -1

y
1

y
1

y
1
1

o1

A

x

-1

o

1

B

x

-1

o

C

x

-1

o

1

D

x

3x ? 1 的图象 ( ) x?2 A.关于点(?2,3)对称 B.关于点(2,?3)对称 C.关于直线 x= ?2 对称 D.关于直线 y= ?3 对称。 2 ? 3、 设函数 f ( x) ? ? x ? bx ? c, x ? 0, 若 f (?4) ? f (0), f (?2) ? ?2 则关于 x 的方程 f ( x) ? x 的解的个数 ? 2, x ? 0.

2.函数 y=

为(

) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

4、方程 2 x ? x 2 的实根的个数为( )A:0 B:1 C:2 D:3 1 1 5.为了得到函数 y ? 3 ? ( ) x 的图象,可以把函数 y ? ( ) x 的图象( ) 3 3 A.向左平移 3 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度 6 定义运算 a ? b ? ?
?a ?b (a ? b) (a ? b) , 则函数

B.向右平移 3 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度 f(x)= 1 ? 2 x 的图象是

7。要得到 y ? lg(3 ? x) 的图像,只需作 y ? lg x 关于_____轴对称的图像,再向____平移 3 个单 位而得到。 8。已知 f ( x) 是偶函数,则 f ( x ? 2) 的图像关于__________对称;已知 f ( x ? 2) 是偶函数,则 函数 f ( x) 的图像关于____________对称. 9、写出函数 y ? log 4 (1 ? 2 x ? x 2 ) 的图像经过怎样的变换可得到函数 y ? log 2 x 的图像。
x 10、 若 0 ? a ? 1,则方程 a ? log a x 有几个实根

11、 设曲线 C 的方程是 y ? x 3 ? x ,将 C 沿 x 轴,y 轴正方向分别平行移动 t,s 单位长度后得曲线 C1 。
?t s? (1)写出曲线 C1 的方程;(2)证明曲线 C 与 C1 关于点 A? , ? 对称。 ? 2 2?

12、试讨论方程 1 ? x ? kx 的实数根的个数。


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