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济南市2012年高一下学期期末考试试题


付国教案

高一数学期末考试试题
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题: 项是符合题目要求的. 项是符合题目要求的. 1.若 sin ( π + θ ) = A.第一、二象限

4 ,则 θ 角的终边在 5
B.第二、三象限 C.第一、四象限

( D.第三、四象限 ( D. 8 + k ( D. 2a > 2b



2.若 a = (1, 2) , b = (4, k ) , c = 0 ,则 ( a ? b)c =

r

r

r

r

r r r



r
A. 0 B. 0

C. 4 + 2k

3.已知 a, b 为非零实数,且 a > b ,则下列不等式一定成立的是 A. a > b
2 2



B.

1 1 < a b

C. | a |>| b |

r r r r r (a ? a)b r r r r r r 4.若向量 a 与 b 不共线, a ? b ≠ 0 ,且 c = a ? r r ,则向量 a 与 c 的夹角为 ( a ?b
A.



π 2

B.

π 6

C.

π 3

D.0

5.若 a ≥ 0, b ≥ 0 ,且 a + b = 2 ,则下列不等式一定成立的是





A. ab ≤

2 2

B. ab ≥

1 2

C. a + b ≤ 2
2 2

D. a + b ≥ 2
2 2

6.设 m, x ∈ R, M = x 2 + 2m 2 , N = mx + m 2 ? 1 ,则 M , N 的关系为 A. M > N B. M < N C. M ≥ N D. M ≤ N





7.函数 y = 2sin ω x cos ω x (ω > 0) 的最小正周期为 π ,则函数 f ( x) = 2 sin(ω x + 单调增区间是 A. [ ? , ] ( B. [ ,π]

π
2

) 的一个



π π 2 2

π 2

C. [ π, ]

3π 2

D. [0, ]

π 2

8.已知函数 f ( x) = tan(2 x ? bπ ) 的图象的一个对称中心为 ( 解析式为 A. tan(2 x + C. tan(2 x +

π
3

, 0) ,若 | b |<

1 ,则 f ( x) 的 2
( )

π π
3

)

B. tan(2 x ?

π π
6

)

) 或 tan(2 x ? ) 6 3

π

D. tan(2 x ?
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) 或 tan(2 x + ) 6 3

π

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9.已知偶函数 f ( x ) 满足: f ( x ) = f ( x + 2) ,且当 x ∈ [0,1] 时, f ( x ) = sin x ,其图象与直线

y=

uuuu uuuu r r 1 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P , P2 L ,则 P P ? P2 P4 等于( 1 1 3 2
B. 4 C. 8 D. 16



A. 2

10.设 S 是 ?ABC 的面积, A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2 S sin A < ( BA ? BC ) sin B , 则 A. ?ABC 是钝角三角形 C. ?ABC 可能为钝角三角形,也可能为锐角三角形 ( B. ?ABC 是锐角三角形 D.无法判断 )

uuu uuu r r

小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 填空题: 11.在平行四边形 ABCD 中,若 AB = (2, 4) , AC = (1, 3) ,则 AD = ____.(用坐标表示) 12.已知三点 A(1, 2), B (2, ?1), C (2, 2) ,若 E , F 为线段 BC 的三等分点,则 AE ? AF = . 13.函数 f ( x ) =

uuu r

uuur

uuur

uuu uuur r

x ( x ≥ 1) 的最大值为________. x + 2x + 4
2

14.已知关于 x 的方程 sin x + cos x = a 的解集是空集,则实数 a 的取值范围是___________. 15.已知实数 a 、 、 满足条件 ab + bc + ca = 1 ,给出下列不等式: b c ① a b + b c + c a ≥ 1 ;②
2 2 2 2 2 2

1 ≥ 2 3 ;③ (a + b + c)2 > 2 ; abc

④ a bc + ab c + abc ≤
2 2 2

1 ; 3

其中一定成立的式子有_________.

小题, 解答应写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 解答题: 16. (本小题满分 12 分)解不等式: log 1 ( x ? 4 x + 3) < log 1 ( ? x + 1) .
2 2 2

第 2 页 共 10 页

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17.本小题满分 12 分) ( 若将函数 f ( x ) = sin x 的图象按向量 a = ( ?π , ?2) 平移后得到函数 g ( x ) 的图象. (Ⅰ)求函数 g ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求函数 F ( x) = f ( x) ?

r

1 的最小值. g ( x)

18. (本小题满分 12 分)已知向量 OA = (3, ?4), OB = (6, ?3), OC = (5 ? x, ?3 ? y ) . (Ⅰ)若点 A, B, C 能构成三角形,求 x, y 应满足的条件; (Ⅱ)若 ?ABC 为等腰直角三角形,且 ∠B 为直角,求 x, y 的值.

uuu r

uuu r

uuur

19. (本小题满分 12 分)在 △ ABC 中, tan A = (Ⅰ)求角 C 的大小;

1 3 , tan B = . 4 5

(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

第 3 页 共 10 页

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20. (本小题满分 13 分) 5 ?12 ”汶川大地震中,受灾面积大,伤亡惨重,医疗队到达后,都 “ 会选择一个合理的位置,使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇,分别位于一个矩 形 ABCD 的两个顶点 A, B 及 CD 的中点 P 处, AB = 10km , BC = 5km ,现要在该矩形的区 域内(含边界) ,且与 A, B 等距离的一点 O 处建造一个医 疗站,记 O 点到三个乡镇的距离之和为 y . (Ⅰ)设 ∠BAO = θ ( rad ) ,将 y 表示为 θ 的函数; (Ⅱ)试利用(Ⅰ)的函数关系式确定医疗站的位置,使 A 三个乡镇到医疗站的距离之和最短. O B

D

P

C

21. (本小题满分 14 分)已知 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . (Ⅰ)证明:

a+b c > ; 2a + b a + c
2 2

(Ⅱ)证明:不论 x 取何值总有 b x + (b 2 + c 2 ? a 2 ) x + c 2 > 0 ; (Ⅲ)若 a > c ≥ 2 ,证明:

1 1 1 ? < . a + c + 1 (c + 1)(a + 1) 6

第 4 页 共 10 页

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高一数学期末考试试题( 高一数学期末考试试题(文) 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题: 项是符合题目要求的. 项是符合题目要求的. 1.若 sin ( π + θ ) = A.第一、二象限 [提示]:Q sin θ = ?

4 ,则 θ 角的终边在( D ) 5
B.第二、三象限 C.第一、四象限 D.第三、四象限

4 < 0 ,∴ θ 角的终边在第三、四象限. 5 r r r r r r r 2.若 a = (1, 2) , b = (4, k ) , c = 0 ,则 ( a ? b)c = ( B )

r
A. 0 B. 0 [提示]:Q ( a ? b)c = 0 .

C. 4 + 2k

D. 8 + k

r r r

r

3.已知 a, b 为非零实数,且 a > b ,则下列不等式成立的是( D ) A. a > b
2 2

B.

1 1 < a b

C. | a |>| b |

D. 2a > 2b

[提示]:不知 a, b 的正负,A ,B ,C 都不能确定,而函数 y = 2 x 单调递增.

r r r r r (a ? a)b r r r r r r 4.若向量 a 与 b 不共线, a ? b ≠ 0 ,且 c = a ? r r ,则向量 a 与 c 的夹角为( A ) a ?b
A.

r r r r ? r (a ? a)b ? a ? ?a ? r r ? r r r r r r r r a ?b ? a ? a ? a ? a a?c r = ? r r [提示]:设向量 a 与 c 的夹角为 θ , cos θ = r = r r = 0. | a |?| c | | a |?| c | | a |?| c |
5.若 a ≥ 0, b ≥ 0 ,且 a + b = 2 ,则下列不等式一定成立的是(D) A. ab ≤

π 2

B.

π 6

C.

π 3

D.0

2 2

B. ab ≥

1 2

C. a + b ≤ 2
2 2

D. a + b ≥ 2
2 2

[提示]:Q ab ≤

a+b a 2 + b2 2 2 ≤ ,∴ a + b ≥ 2 . 2 2
( A )

6.设 m, x ∈ R, M = x 2 + 2m 2 , N = mx + m 2 ? 1 ,则 M , N 的关系为 A. M > N B. M < N
2 2

C. M ≥ N

D. M ≤ N

[提示]:Q M ? N = x ? mx + m + 1 = ( x ?

m 2 3 2 ) + m +1 > 0 . 2 4

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7.函数 y = 2sin ω x cos ω x (ω > 0) 的最小正周期为 π ,则函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + 单调增区间是(C) A. [ ? , ]

π
2

) 的一个

π π 2 2

B. [ ,π]

π 2

C. [ π, ]

3π 2

D. [0, ]

π 2

[提示]:Q y = 2sin ω x cos ω x = sin 2ω x, (ω > 0) .∴ ω = 1, f ( x ) = 2sin( x + 在 [ π, ] 上单调递增. 8.已知函数 f ( x ) = tan(2 x ? bπ ) 的图象的一个对称中心为 ( 解析式为(D) A. tan(2 x + C. tan(2 x +

π
2

) = 2 cos x ,

3π 2

π
3

, 0) ,若 | b |<

1 ,则 f ( x ) 的 2

π π
3

)

B. tan(2 x ?

π π
6

)

) 或 tan(2 x ? ) D. tan(2 x ? ) 或 tan(2 x + ) 6 3 6 3 π kπ 2 k 1 1 1 [提示]:Q 2 ? ? bπ = , ∴ b = ? , (k ∈ Z ) ,又 | b |< ,∴ k = 1, 2 , b = ? 或 . 3 2 3 2 2 3 6
9.已知偶函数 f ( x ) 满足: f ( x ) = f ( x + 2) ,且当 x ∈ [0,1] 时, f ( x ) = sin x ,其图象与直线

π

π

y=

uuuu uuuu r r 1 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P , P2 L ,则 P P ? P2 P4 等于( B ) 1 1 3 2
B. 4 C. 8 D. 16

A. 2

uuuu r uuuu r uuuu r

uuuu r uuuu uuuu r r

[提示]:依题意 P , P2 , P , P4 四点共线, P P3 与 P2 P4 同向,且 P 与 P3 , P2 与 P4 的横坐标都相 1 3 1 1 差一个周期,所以 | P P |= 2 , | P2 P4 |= 2 , P P ? P2 P4 =| P P || P2 P4 |= 4 . 1 3 1 3 1 3 10.设 S 是 ?ABC 的面积, A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2 S sin A < ( BA ? BC ) sin B , 则 (A) A. ?ABC 是钝角三角形 C. ?ABC 可能为钝角三角形,也可能为锐角三角形 B. ?ABC 是锐角三角形 D.无法判断

uuuu uuuu r r

uuu uuu r r

[提示]:Q 2 S sin A < ( BA ? BC ) sin B ,∴ 2a ? bc sin A < b ? ca cos B ,∴ sin A < cos B , ∴ ∠B 为锐角, sin A < cos B = sin( 角三角形,若 ∠A 为锐角,则 A <

uuu uuu r r

π
2

1 2

? B ) ,若 ∠A 为钝角,且满足上式,则 ?ABC 是钝

π
2

? B,∴ A + B <

π
2

,C >

π
2

, ?ABC 是钝角三角形.

小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 填空题:

第 6 页 共 10 页

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11.在平行四边形 ABCD 中,若 AB = (2, 4) , AC = (1, 3) ,则 AD = ____.(用坐标表示) [提示]:Q AB = DC = (2, 4) ,∴ AD = AC ? DC = (1, 3) ? (2, 4) = ( ?1, ?1) . 12.已知三点 A(1, 2), B (2, ?1), C (2, 2) ,若 E , F 为线段 BC 的三等分点,则 AE ? AF = [提示]:Q B (2, ?1), C (2, 2) , E , F 为线段 BC 的三等分点,∴ E (2, 0), F (2,1) ,

uuu r

uuur

uuur

uuu r

uuur

uuur

uuur uuur

uuu uuur r

3.

uuu uuu r r uuu r uuur AE = (1, ?2), AF = (1, ?1) ,∴ AE ? AF = 1 + 2 = 3 .
1 x , ( x ≥ 1) 的最大值为____ _____. 6 x + 2x + 4 1 1 1 x [提示]:Q f ( x ) = 2 = ≤ = ,当且仅当 x = 2 时取等号. x + 2x + 4 x + 4 + 2 2 4 + 2 6 x
13.函数 f ( x ) =
2

14. 已 知 关 于 x 的 方 程 sin x + cos x = a 的 解 集 是 空 集 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 _______ ( ?∞ ? 2) U ( 2, +∞ ) _______. [提示]:Q a = sin x + cos x =

2 sin( x + ) ∈ [? 2, 2] ,又其解集为空集,∴ a ∈ (?∞, 4

π

? 2) U ( 2, +∞) .
15.已知实数 a 、 、 满足条件 ab + bc + ca = 1 ,给出下列不等式: b c ① a b + b c + c a ≥ 1 ;②
2 2 2 2 2 2

1 1 ≥ 2 3 ;③ (a + b + c)2 > 2 ;④ a 2bc + ab 2 c + abc 2 ≤ ; abc 3

其中一定成立的式子有__③④_______. [提示]: a = b = c =

3 时排除①; a = 2 , b = 3 , c = ?1 时排除②;而 (a + b + c ) 2 3

= a 2 + b 2 + c 2 + 2( ab + bc + ca ) ≥ 3( ab + bc + ca ) = 3 > 2 ,∴③成立; (ab + bc + ca ) 2

≥ 3[(ab)(bc ) + (bc )(ca ) + (ca )(ab)] = 3(a 2bc + ab 2 c + abc 2 ) ,∴④成立.
小题, 解答应写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 解答题: 16. (本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式: log 1 ( x ? 4 x + 3) < log 1 ( ? x + 1) .
2 2 2

[解答]: x 2 ? 4 x + 3 > 0, ? x + 1 > 0 , x < 1 , 由 得 所以依对数的性质有:x 2 ? 4 x + 3 > ? x + 1, ∴

x 2 ? 3 x + 2 > 0, ∴ x > 2 或 x < 1 ,又 x < 1 ,∴ x < 1 ,不等式的解集为 { x | x < 1} .
17.本小题满分 12 分) ( 若将函数 f ( x ) = sin x 的图象按向量 a = ( ?π , ?2) 平移后得到函数 g ( x )
第 7 页 共 10 页

r

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的图象. (Ⅰ)求函数 g ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求函数 F ( x) = f ( x) ?

1 的最小值. g ( x)
r

[解答]: (Ⅰ)设 P ( x, y ) 是函数 f ( x) = sin x 的图象上任意一点,按向量 a = ( ?π , ?2) 平移后 在函数 g ( x ) 的图象上的对应点为 P ( x , y ) ,则: ?
' ' '

? x' = x ? π ? x = x' + π ? ? ,∴ ? ,即 ' ' ?y = y ? 2 ?y = y + 2 ? ?

y ' + 2 = sin( x + π ) ,所以函数 g ( x) = ? sin x ? 2 ;
(Ⅱ)Q F ( x ) = f ( x) ?

1 1 1 = sin x + = sin x + 2 + ?2 ≥ g ( x) sin x + 2 sin x + 2

2 (sin x + 2) ?

1 1 ?2 = 0 ,当 sin x + 2 = , 即 sin x = ?1 时, F ( x)min = 0 . sin x + 2 sin x + 2
uuu r uuu r uuur

18. (本小题满分 12 分)已知向量 OA = (3, ?4), OB = (6, ?3), OC = (5 ? x, ?3 ? y ) . (Ⅰ)若点 A, B, C 能构成三角形,求 x, y 应满足的条件; (Ⅱ)若 ?ABC 为等腰直角三角形,且 ∠B 为直角,求 x, y 的值. [解答]: (Ⅰ) 若点 A, B, C 能构成三角形,则这三点不共线,Q AB = (3,1),

uuu r

uuur AC = (2 ? x,1 ? y ), ∴ 3(1 ? y ) ≠ 2 ? x ,∴ x, y 满足的条件为 3 y ? x ≠ 1(若根据点 A, B, C 能
构成三角形,必须 | AB | + | BC |>| AC | ,相应给分) ; (Ⅱ)Q AB = (3,1), BC = ( ? x ? 1, ? y ) ,若 ∠B 为直角,则 AB ⊥ BC ,∴ 3( ? x ? 1) ? y = 0 , 又 | AB |=| BC | ,∴ ( x + 1) 2 + y 2 = 10 ,再由 y = 3(? x ? 1) ,解得 ? 19. (本小题满分 12 分)在 △ ABC 中, tan A = (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长. [解答]: (Ⅰ)Q C = π ? ( A + B ) ,Q tan A =

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

?x = 0 ? x = ?2 或? . ? y = ?3 ? y = 3

1 3 , tan B = . 4 5

1 ∴ tan C = ? tan( A + B ) = 4

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1 3 + 3 ? 4 5 = ?1 .又Q 0 < C < π ,∴ C = π ; 1 3 4 1? × 4 5
(Ⅱ)Q C =

3 ? π? π ,∴ AB 边最大,即 AB = 17 .又Q tan A < tan B,A,B ∈ ? 0, ? , 4 ? 2?

∴ 角 A 最小, BC 边为最小边.Q cos A =

4 17 17 AB BC ,∴ sin A = .由 = 得: 17 17 sin C sin A

BC = AB ?

sin A = 2 ,所以,最小边 BC = 2 . sin C

20. (本小题满分 13 分) 5 ?12 ”汶川大地震中,受灾面积大,伤亡惨重,医疗队到达后,都 “ 会选择一个合理的位置,使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇,分别位于一个矩 形 ABCD 的两个顶点 A, B 及 CD 的中点 P 处, AB = 10km , BC = 5km ,现要在该矩形的区 域内(含边界) ,且与 A, B 等距离的一点 O 处建造一个医 疗站,记 O 点到三个乡镇的距离之和为 y . (Ⅰ)设 ∠BAO = θ ( rad ) ,将 y 表示为 θ 的函数; (Ⅱ)试利用(Ⅰ)的函数关系式确定医疗站的位置,使 A 三个乡镇到医疗站的距离之和最短. [解答]: (Ⅰ)如图,延长 PO 交 AB 于点 Q ,由题设可知 BQ = AQ = O B

D

P

C

1 AB = 5 , AO = BO , 2

PO = 5 ? OQ ,在 Rt ?ABC 中, AO = ∴ y = AO + BO + PO = ∴y =

10 π ? 5 tan θ + 5, (0 ≤ θ ≤ ) ; cos θ 4 10 2 ? sin θ 2 ? sin θ π (Ⅱ)Q y = ? 5 tan θ + 5 = 5 ? + 5 ,令 u = , 0 ≤ θ ≤ ,则 cos θ cos θ cos θ 4 u cos θ + sin θ = 2,∴ u 2 + 1sin(θ + ? ) = 2, (tan ? = u ) ,∴ sin(θ + ? ) = ∴ u ≥ 3 或 u ≤ ? 3 (舍) u = 3 时,? = ,当
位置 O 满足 θ =

10 π + 5 ? 5 tan θ ,又Q 0 ≤ θ ≤ , cos θ 4

5 , OQ = 5 tan θ , cos θ

2 u2 +1

≤ 1,

π
3

,θ =

π

∈ [0, ] ,所以 y 最小,即医疗站的 6 4

π

π
6

, AO = BO =

10 3 5 3 km, PO = 5 ? km , 可使得三个乡镇到医疗站的距离 3 3

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之和最短. 21. (本小题满分 14 分)已知 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . (Ⅰ)证明:

a+b c > ; 2a + b a + c
2 2

(Ⅱ)证明:不论 x 取何值总有 b x + (b + c ? a ) x + c > 0 ;
2 2 2 2

(Ⅲ)若 a > c ≥ 2 ,证明:

1 1 1 ? < . a + c + 1 (c + 1)(a + 1) 6

[解答]: (Ⅰ)Q a, b, c > 0 ,∴要证

a+b c > ,即证 (a + b)( a + c) > (2a + b)c ,整理得: 2a + b a + c

a 2 + ab > ac ,即证 a + b > c ,而 a + b > c 在三角形中显然成立,则原不等式成立;
(Ⅱ)令 y = b 2 x 2 + (b 2 + c 2 ? a 2 ) x + c 2 ,由余弦定理 b + c ? a = 2bc cos A ,
2 2 2

∴ ? = (b 2 + c 2 ? a 2 ) 2 ? 4b 2 c 2 = 4b 2 c 2 cos 2 A ? 4b 2 c 2 = 4b 2 c 2 (cos 2 A ? 1) ,在三角形中
cos 2 A < 1 ,∴? < 0 ,再由 b 2 > 0 得:不论 x 取何值总有 b 2 x 2 + (b 2 + c 2 ? a 2 ) x + c 2 > 0 ;
(Ⅲ)Q a ? c > 0 ,∴

1 1 1 ? c +1 1 ? ? = ? a + c + 1 ? a + 1? a + c + 1 (c + 1)(a + 1) c + 1 ? ? = 1 a2 1 1 1 1 ? 2 = ? < ? ≤ c + 1 2a + 3a + 1 c + 1 2 + ( 3 + 1 ) c + 1 2 a a2

<

1 ? c + a ? c +1 1 ? ? ? ? c +1? a + c + a ? c +1 a +1 ?

1 1 1 ? = ,即原不等式成立. 2 +1 2 6

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