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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-2课件:第4章 名师点拨:数的概念的扩展


数的概念扩充到实数集后,人们发现在实数范围内很多问 题还不能解决,如从解方程的角度看,像x2=-1这个方程在实 数范围内就无解,为了解决这个问题,需要把数的范围作进一

步的扩充,为此,人们引入一个新数i,叫虚数单位,且规定
(1)i2=-1;(2)i可与实数进行四则运算;且原有的加、乘运算律 仍成立,这样就产生了形如:z=a+bi(a,b∈R)的数,叫做复 数,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部,显然i是-1的 一个平方根,即i是方程x2=-1的一个解.

复数z=a+bi(a,b∈R)中注意 (1)a, b∈R,这是确定 z的实部、虚部的前提,并可进一步 判定z是实数、虚数,不是纯虚数.

(2)设复数z时,要注明a,b的范围.
如z是纯虚数,可设为z=bi(b∈R且b≠0),

z是虚数,可设为z=a+bi(a、b∈R且b≠0).
[特别提醒 ] 时才是纯虚数. 形如 bi的数不一定是纯虚数,只有 b∈R且b≠0

1.两个虚数不能比较大小. 2.若两个复数能比较大小,则这两个复数一定全是实 数, ?b=0 ? 即若 a+bi>c+di(a,b,c,d∈R),则?d=0 ? ?a>c

.

◎已知x2+(t2-t+2tx)i=0,x为纯虚数,求实数t的值.
【错解】
2 ? ?x =0, 根据复数相等的充要条件得? 2 ? ?t -t+2tx=0,

解得 t=0 或 t=1.

【错因】

没有仔细审题,而是直接将x,t都作为实数来用

了.其实t是实数,x为纯虚数,故t2-t+2tx不是实数,也就不
能作为复数的虚部.
【正解】 ∵x 是纯虚数,∴设 x=bi(b∈R 且 b≠0),

则(bi)2+(t2-t+2tbi)i=0, 即(-b2-2tb)+(t2-t)i=0,
2 ? ?-b -2tb=0, ∴? 2 ? ?t -t=0,

① ②

由②得t=0或t=1.
当t=0时,由①得b=0,与b≠0矛盾,故舍去.

当t=1时,由①得b=-2或b=0(舍去).
综上可知,实数t的值为1.


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