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2015年全国高考数学试题及答案-江苏卷


2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(江苏卷)
一、填空题 1.已知集合 A ? ?1 ,, 2 3? , B ? ?2,, 4 5? ,则集合 A

B 中元素的个数为_______.

2.已知一组数据 4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________. 3.设复数 z 满足 z 2 ? 3 ? 4i (i 是虚数单位) ,则 z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为________.

5.袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球,从中一次随机摸 出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量 a =(2,1) , b =(1,-2) ,若 ma ?nb =(9,-8) (m,n ? R) ,则 m-n 的值为______. 7.不等式 2
x2 ? x

v

v

v

v

? 4 的解集为________.
1 ,则 tan ? 的值为_______. 7

8.已知 tan ? ? ?2 , tan ?? ? ? ? ?

9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个。若 将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新 的底面半径为 。 10.在平面直角坐标系 xOy 中,以点 (1,0) 为圆心且与直线 mx ? y ? 2m ? 1 ? 0(m ? R) 相切的 所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 。

* 11. 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 , 且 an?1 ? an ? n ? 1 ( n ? N ) ,则数列 {

1 } 前 10 项 的 和 an




2 2

12. 在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x ? y ? 1 右支上的一个动点。若点 P 到直线

x ? y ? 1 ? 0 的距离大于 c 恒成立,则是实数 c 的最大值为



-1-

13.已知函数 f ( x) ?| ln x | , g ( x) ? ? 为 。

? 0,0 ? x ? 1 ,则方程 | f ( x) ? g ( x) |? 1 实根的个数 2 ?| x ? 4 | ?2, x ? 1
12

14. 设 向 量 ak ? (cos 为 。

k? k? k? , sin ? cos )( k ? 0,1,2,? ,12) , 则 6 6 6

? (a
k ?0

k

? ak ?1 ) 的 值

15.在 V ABC 中,已知 AB ? 2, AC ? 3, A ? 60 .
o

(1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值。 16. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AC ? BC, BC ? CC1 . 设 AB1 的中点为 D ,

B1C ? BC1 ? E.
求证: (1) DE / /平面AACC 1 1 (2) BC1 ? AB1

17.(本小题满分 14 分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通 现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为 l 1, l2 , 山区边界曲线为 C, 计划修建的公路为 l, 如图所示, M, N 为 C 的两个端点, 测得点 M 到 l 1, l2

-2-

的距离分别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l 1, l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 l 1, l2 所在 的直线分别为 x,y 轴,建立平面直角坐标系 xOy,假设曲线 C 符合函数 y ? b 为常数)模型.

a (其中 a, x ?b
2

(I)求 a,b 的值; (II)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解析式 f ? t ? ,并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度.

18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 点 F 到左准线 l 的距离为 3.

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且右焦 2 a b 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C, 若 PC=2AB,求直线 AB 的方程.

19. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b(a, b ? R) 。
3 2

-3-

(1)试讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 b ? c ? a (实数 c 是与 a 无关的常数) ,当函数 f ( x) 有三个不同的零点时,a 的取值 范围恰好是 (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) ,求 c 的值。

3 2

3 2

20.设 a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d (d ? 0) 的等差数列 (1)证明: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次构成等比数列; (2)是否存在 a1 , d ,使得 a1 , a22 , a33 , a44 依次构成等比数列?并说明理由; (3)是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1n , a2n?k , a3n?3k , a4n?5k 依次构成等比数列?并说明理 由。 附加题 21、(选做题)本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的区域内作答, 若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A、 ? 选修 4-1:几何证明选讲
a a a a

? (本小题满分 10 分)

如图,在 ?ABC 中, AB ? AC , ?ABC 的外接圆 e O 的弦 AE 交 BC 于点 D 求证: ?ABD : ?AEB

B、 ? 选修 4-2:矩阵与变换 已知 x, y ? R ,向量 ? ? ? 以及它的另一个特征值。

? (本小题满分 10 分)

? x 1? ?1? 是矩阵 A ? ? ? ? 的属于特征值 ? 2 的一个特征向量,矩阵 A ? 1 y 0 ? ? ? ?

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程]

-4-

? 已知圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 2 2 ? sin(? ? ) ? 4 ? 0 ,求圆 C 的半径. 4 D.[选修 4-5:不等式选讲]
解不等式 x? | 2 x ? 3 |? 3
22.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? 平面 ABCD ,且四边形 ABCD 为直角梯形,

?ABC ? ?BAD ?

?
2

, PA ? AD ? 2, AB ? BC ? 1

(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值; (2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成角最小时,求线段 BQ 的长

23.已知集合 X ? {1, 2,3}, Yn ? {1, 2,3,....., n}(n ? N * ) ,设

Sn ? {(a, b) | a整除b或除a, a ? X , b ?Yn },令 f (n) 表示集合 Sn 所含元素的个数.
(1)写出 f (6) 的值; (2)当 n ? 6 时,写出 f (n) 的表达式,并用数学归纳法证明。

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