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2013年全国高中数学联赛一试试题


2013 年全国高中数学联赛一试试题
一.填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分。
2 1.设集合 A ? ?2,0,1,3?,集合 B ? x ? x ? A,2 ? x ? A ,则集合 B 中所有元素的和为

?

?

2.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A、B 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,满足 OA? OB ? ?4 ,F 是抛物 线的焦点,则 S?OFA ? S?OFB = 3.在 ?ABC 中,已知 sin A ? 10sin B ? sin C, cos A ? 10cos B ? cosC ,则 tan A 的值为 4.已知正三棱锥 P ? ABC 的底面边长为 1,高为 2 ,则其内切球半径为 5.设 a、b 为实数,函数 f ( x) ? ax ? b 满足:对任意 x ? [0,1] ,有 f ( x) ? 1 ,则 ab 的最大 值为 6.从 1,2,? ? ?,20 中任取 5 个不同的数,其中至少有 2 个是相邻数的概率为 7.若实数 x,y 满足 x ? 4 y ? 2 x ? y ,则 x 的取值范围是

1,2,? ? ?,8?均有 8.已知数列 ?an ?共有 9 项,其中 a1 ?a9 ? 1 ,且对每个 i ? ?

ai ?1 ? 1? ? ?2,1,? ? , ai ? 2?

则这样的数列的个数为 二.解答题:本大题共 3 小题,共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.(本题满分 16 分)给定正数数列 ?xn ? 满足 Sn ? 2Sn?1 , n ? 2,3,? ? ?, 这里 Sn ? x1 ? ? ? ? ? xn . 证明:存在常数 C ? 0 ,使得

xn ? C ? 2n , n ? 1,2,? ? ?
10.(本题满分 20 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

A1 , A2 分别为椭圆的左、 右顶点,F1 , F2 分别为椭圆的左右焦点,P 为椭圆上不同于 A1 和 A2
的任意一点.若平面中有两个点 Q, R 满足 QA 1 ? PA 1 , QA 2 ? PA 2 , RF 1 ? PF 1 , RF 2 ? PF 2 , 试确定线段 QR 的长度与 b 的大小关系,并给出证明。 11. (本题满分 20 分) 设函数 f ( x) ? ax ? b , 求所有的正实数对 ( a, b) , 使得对任意实数 x , y
2

均有 f ( xy) ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y)

2013 年全国高中数学联合竞赛加试试题
一.(本题满分 40 分)如图,AB 是圆 ? 的一条弦,P 为弧 AB 内一点,E、F 为线段 AB 上 两点,满足 AE=EF=FB.连接 PE、PF 并延长,与圆 ? 分别项交于点 C、D.求证:

EF ? CD ? AC ? BD
(解题时请将图画在答卷纸上)

二.(本题满分 40 分)给定正整数 u、v.数列 ?an ?的定义如下:a1 ? u ? v ,对整数 m ? 1 ,

?a2 m ? am ? u, ? ?a2 m?1 ? am ? v.
记 Sm ? a1 ?a 2 ? ? ? ? ?am (m ? 1,2,? ? ?) .证明:数列 ?Sn ? 中有无穷多项是完全平方数。 三.(本题满分 50 分)一次考试共有 m 道试题,n 个学生参加,其中 m, n ? 2 为给定的整 数.每道题的得分规则是:若该题恰有 x 个学生没有答对,则每个答对盖提的学生得 x 分, 未答对的学生得 0 分.每个学生的总分为其 m 道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低排 列为 p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ,求 p1 ? p 2 的最大可能值。 四.(本题满分 50 分)设 n, k 为大于 1 的整数, n ? 2 .证明:存在 2k 个不被 n 整除的整
k

数,若将他们任意分成两组,则总有一组有若干个数的和被 n 整除。

2013 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准
说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分;其他各题的评阅,请严格按照 本标准评分档次给给分,不要增加其他中间档次。 2.如果考生的解答和本解答的不同,只要给合理的思路、步骤正确,在评卷时可参考本评分 标准适当划分档次评分,解答题中第 9 题 4 分为一个档次.第 10、11 小题 5 分为一个档次, 不要增加其他中间档次. 一.填空题:本大题共 8 小题,没小题 8 分,共 64 分. 1.答案:-5 【解答】易知 B ? ?? 2,0,?1,?3?.当 x ? ?2,?3 时, 2 ? x 2 ? ?2,?7 ,有 2 ? x 2 ? A ;
2 而当 x ? 0,?1 时, 2 ? x 2 ? 2,1 ,有 2 ? x ? A .因此,根据 B 的定义可知 B ? ?? 2,?3?.

所以,集合 B 中所有元素的和为-5. 2.答案:2
2 y12 y2 , x2 ? 【解答】点 F 的坐标为(1,0).设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? ,故 4 4

? 4 ? OA? OB = x1 x2 ? y1 y2 ?


1 ( y1 y2 ) 2 ? y1 y2 16

1 ( y1 y2 ? 8) 2 ? 0 ,故 y1 y2 ? ?8 16 1 1 1 2 S ?OFA ? S ?OFB ? ( OF ? y1 ) ? ( OF ? y2 ) = OF ? y1 y2 =2 2 2 4

3.答案:11 【解答】由于 sin A ? cos A ? 10(sin B sin C ? cos B cosC ) ? ?10cos(B ? C ) ? 10cos A , 所以 sin A ? 11 cos A ,故 tan A ? 11

4.答案:

2 6

【解答】如图,设球心 O 在面 ABC 与面 ABP 内的摄影分别为 H 和 K,AB 中点为 M,内 切球半径为 r,则 P、K、M 共线, ?PHM ? ?PKO ? 且 OH ? OK ? r, PO ? PH ? OH ? 2 ? r , MH ?

?
2



3 3 AB ? 6 6

PM ? MH 2 ? PH 2 = 2 ?

1 5 3 r OK MH 1 ? ? sin ?KPO ? ? ? ,于是 PM 5 12 6 2 ? r PO

解得: r ?

2 6

5.答案:

1 4

【解答】易知 a ? f (1) ? f (0), b ? f (0) ,则

1 1 1 1 f (1)) 2 ? ( f (1)) 2 ? ( f (1)) 2 ? 2 4 4 4 1 1 1 当 2 f (0) ? f (1) ? ?1 即 a ? b ? ? 时, ab ? ,故 ab 的最大值为 2 4 4 ab ? f (0) ? ( f (1) ? f (0)) ? ?( f (0) ?
6.答案

232 323

【解答】设 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 取自 1,2,? ? ?,20 .若 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 互不相邻,则

1 ? a1 ? a2 ?1 ? a3 ? 2 ? a4 ? 3 ? a5 ? 4 ? 16
由此可知从 1,2,? ? ?,20 中取 5 个互不相邻的数的选法与从 1,2,? ? ?,16 中取 5 个不同的数的选法
5 相同,即 C16 种.所以从 1,2,? ? ?,20 中任取 5 个不同的数,其中至少有 2 个是相邻的概率为:

5 5 5 C20 ? C16 C16 232 ? 1 ? ? 5 5 C20 C20 323

7.答案: ?0?? [4,20] 【解答】令

y ? a, x ? y ? b(a, b ? 0) ,此时 x ? y ? ( x ? y) ? a 2 ? b2 ,且条件中等式化

2 2 2 2 为 a ? b ? 4a ? b ,从而 a , b 满足方程: (a ? 2) ? (b ?1) ? 5(a, b ? 0)

如图所示,在 aOb 平面内,点 ( a, b) 的轨迹是以 (1,2) 为圆心, 5 为半径的圆在 a, b ? 0 的 部分,即点 O 与弧 ACB 的并集,因此 a 2 ? b 2 ? ?0?? [2,2 5 ] ,从而

x ? a 2 ? b2 ??0?? [4,20]

8.答案:491. 【解答】 令 bi ?
8 8 a a ai ?1 则对每个符合条件的数列 ?an ?, 有 ? bi ? ? i ?1 ? 9 ? 1 (1 ? i ? 8) , ai a1 i ?1 i ?1 ai

且 bi ? ?2,1,? ? ( 1 ? i ? 8 )① 反之,由符合条件①的 8 项数列 ?bn ?可能唯一确定一个符合题设条件的 9 项数列 ?an ?。 记符合条件①的数列 ?bn ?的个数为 N,显然 bi (1 ? i ? 8) 中有偶数个 ?

? ?

1? 2?

1 1 ,即 2 k 个 ? ;继 2 2

8 ? 4k 个 1.当给定 k 时, 而有 2 k 个 2, 易见 k 的可能值只有: ?bn ?的取法有 C82k C82?k2k 种, 0,1,2
2 2 4 4 所以 N ? 1 ? C8 C6 ? C8 C4 ? 1 ? 28?15? 70?1 ? 491

因此,根据对应原理,符合条件的数列 ?an ?的个数为 491. 二.解答题:本大题共 3 小题,共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.【解答】当 n ? 2 时, Sn ? 2Sn?1 等价于 对常数 C ?

xn ? x1 ? ? ? ? ? xn?1

1 x1 ,用数学归纳法证明: xn ? C ? 2n , n ? 1,2,? ? ? 4

n ? 1 时结论显然成立.又 x2 ? x1 ? C ? 22
对 n ? 3 ,假设 xk ? C ? 2k , k ? 1,2,? ? ?, n ?1,则由式①可知

xn ? x1 ? ( x2 ? ? ? ? ? xn?1 ) ? x1 ? (C ? 22 ? ? ? ? ? C ? 2n?1 ) = C ? 2 n
所以,由归纳法可知上式成立。

10.【解答】令 c ? a ? b ,则 A1 (?a,0) , A2 (a,0) , F1 (?c,0) , F2 (c,0) .设 P( x0 , y0 ) ,
2 2

Q( x1 , y1 ), R( x2 , y2 ) ,其中

2 2 x0 y0 ? ? 1 , y0 ? 0 .由 QA ? PA 1 , QA 2 ? PA 2 可知: a 2 b2

A1Q ? A1P ? ( x1 ? a)(x0 ? a) ? y1 y0 ? 0 ① A2Q ? A2 P ? ( x1 ? a)(x0 ? a) ? y1 y0 ? 0


2 将①、②相减得: 2a( x1 ? x0 ) ? 0 ,即 x1 ? ? x0 ,将其代入①可得: ? x0 ? a2 ? y1 y ? 0

故 y1 ?

2 x0 ? a2 x2 ? a2 ,于是 Q(? x0 , 0 ) y0 y0 2 x0 ? c2 ) y0

根据 RF 1 ? PF 1 , RF 2 ? PF 2 ,同理可得 R(? x0 ,
2 2 x0 ? a 2 x0 ? c2 b2 因此 QR ? ? ? y0 y0 y0

由于 y0 ? (0, b] ,故 QR ? b (其中等号成立的充分必要条件是 y0 ? b ,即点 P 的坐标是

(0,?b) )
11.【解答】已知条件可以转化为:对任意实数 x , y ,有

(ax2 y 2 ? b) ? (a( x ? y)2 ? b) ? (ax2 ? b)(ay2 ? b) ①
先寻求 a、b 所满足的必要条件,在①中令 y ? 0 得: b ? (ax ? b) ? (ax ? b)b
2 2

即对任意的实数 x,有: (1 ? b)ax ? b(2 ? b) ? 0
2
2 由于 a ? 0 ,故 ax 可以取到任意大的值,因此必有 1 ? b ? 0 ,即: 0 ? b ? 1

4 2 2 在①式中再令 y ? ? x ,得: (ax ? b) ? b ? (ax ? b) ,即对任意实数 x,有

(a ? a 2 ) x 4 ? 2abx2 ? (2b ? b2 ) ? 0 ②
2 将 ② 式 的 左 边 记 作 为 g ( x) , 显 然 a ? a ? 0 ( 否 则 , 由 a ? 0 可 知 a ? 1 , 此 时

,于是 g ( x) ? ?2bx2 ? (2b ? b2 ) ,其中 b ? 0 ,故 g ( x) 可取到负值,矛盾)

g ( x) ? (a ? a 2 )(x 2 ?

ab 2 (ab) 2 ) ? ? 2b ? b 2 2 2 a?a a?a

2 2 = (a ? a )( x ?

b 2 b ) ? (2 ? 2a ? b) ? 0 对一切实数 x 成立,从而必有: a ? a 2 ? 0 , 1? a 1? a

即0 ? a ?1 进一步考虑到

b b b ? 0 ,再根据 g ( )? (2 ? 2a ? b) ? 0 ,可得: 2a ? b ? 2 1? a 1? a 1? a

至此,求得 a , b 满足的必要条件如下:

0 ? b ? 1,0 ? a ? 1,2a ? b ? 2 ③
下面证明,对满足 ③的任意实数对 ( a, b) 以及任意实数 x , y ,总有①成立,即:

h( x, y) ? (a ? a 2 ) x 2 y 2 ? a(1 ? b)(x 2 ? y 2 ) ? 2axy ? (2b ? b2 )
对任意 x , y 取非负值。
2 事实上,在③式成立时,有 a (1 ? b) ? 0, a ? a ? 0,

b ( 2 ? 2a ? b) ? 0 1? a

再结合 x 2 ? y 2 ? ?2xy ,可得:

h( x, y) ? (a ? a 2 ) x 2 y 2 ? a(1 ? b)(?2xy) ? 2axy ? (2b ? b2 )
= (a ? a 2 ) x 2 y 2 ? 2abxy? 2b ? b2
2 = (a ? a )( xy ?

b 2 b ) ? ( 2 ? 2a ? b) ? 0 1? a 1? a

综上所述,所求的正实数对 ( a, b) 全体为 (a, b) 0 ? b ? 1,0 ? a ? 1,2a ? b ? 2

?

?

2013 年全国高中数学联赛加试试题参考答案及评分标准
一.

【证明】连接 AD, BC, CF , DE .由于 AE ? EF ? FB ,从而

BC ? sin ?BCE BE ?2 = AC ? sin ?ACE AE
同理可得:



AD ? sin ?ADF AF ? ? 2② BD ? sin ?BDF BF
另一方面,由于

?BCE ? ?BCP ? ?BDP ? BDF ?ACE ? ?ACP ? ?ADP ? ?ADF
故将①②两式相乘可得:

BC ? AD ? 4 ,即 AC ? BD BC ? AD ? 4 AC ? BD
由托勒密定理



AD ? BC ? AC ? BD ? AB ? CD ④ 由 ③ ④得: AC ? CD ? 3 AC ? BD 即: EF ? CD ? AC ? BD
二.【证明】对正整数 n ,有

S2n?1 ?1 ? a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ? ? ? ? ? (a2n?1 ?2 ? a2n?1 ?1 )
= u ? v ? (a1 ? u ? a1 ? v) ? (a2 ? u ? a2 ? v) ? ? ? ? ? (a2n ?1 ? u ? a2n ?1 ? v) = 2 (u ? v) ? 2S2n ?1
n

所以 S2n ?1 ? 2

n?1

(u ? v) ? 2S2n?1 ?1 ? 2n?1 (u ? v) ? 2(2n?2 (u ? v) ? 2S2n?2 ?1 ) (u ? v) ? 22 S2n?2 ?1
n?1

= 2? 2

n?1

= (n ?1) ? 2

(u ? v) ? 2n?1 (u ? v)

= (u ? v)n ? 2n?1 设 u ? v ? 2k ? q ,其中 k 是非负整数,q 是奇数.取 n ? q ? l 2 ,其中 l 为满足 l ? k ? 1(mod2)
2 2 k ?1? ql 的任意正整数,此时 S 2 n ?1 ? q l ? 2 ,注意到 q 是奇数,故:
2

k ?1 ? ql2 ? k ?1 ? l 2 ? k ?1 ? (k ?1)2 ? k (k ?1) ? 0(mod2)
所以, S2n ?1 是完全平方数.由于 l 有无穷多个,故数列 ?Sn ? 中有无穷多项是完全平方数。 三.【解答】 对任意的 k ? 1,2,? ? ?, m, 设第 k 题没有答对者有 xk 人,则第 k 答对者有 n ? xk 人,由得分规 则知,这 n ? xk 个人在第 k 题均得到 xk 分.设 n 个学生的得分和为 S,则有

?p
i ?1

n

i

2 ? S ? ? xk (n ? xk ) ? n? xk ? ? xk k ?1 k ?1 k ?1

m

m

m

因为每一个人在第 k 道题上至多得 xk 分,故

p1 ? ? xk
k ?1

m

由于 p2 ? ? ? ? ? pn ,故有 pn ?

p2 ? p3 ? ? ? ? ? pn S ? p1 ? ,所以 n ?1 n ?1

p1 ? pn ? p1 ?
m

m m S ? p1 n ? 2 S n?2 m 1 2 ? p1 ? ? ? ? xk ? ? (n? xk ? ? xk ) n ?1 n ?1 n ? 1 n ? 1 k ?1 n ? 1 k ?1 k ?1

=2

? xk ?
k ?1

1 m 2 ? ? xk n ? 1 k ?1

由柯西不等式可得:

? xk2 ?
k ?1 k

m

1 m (? xk ) 2 m k ?1

于是 p1 ? pm ? 2

?x
k ?1

m

?

m m 1 1 ? (? xk ) 2 = ? ? (? xk ? m(n ? 1))2 ? m(n ? 1) m(n ? 1) k ?1 m(n ? 1) k ?1

? m(n ? 1)
另一方面,若有一个学生全部答对,其他 n ? 1 个学生全部答错,则

p1 ? pn ? p1 ? ? (n ? 1) ? m(n ? 1)
k ?1

m

综上所述, p1 ? pn 的最大值为 m(n ? 1) 四. 【证明】
r ?1 先考虑 n 为 2 的幂的情形。设 n ? 2r ,则 r ? k .取 3 个 2 及 2k ? 3 个 1,显然这些数 r ?1 r

字均不被 n 整除.将 2k 个数任意分成两组,则总有一组中含有 2 个 2 n 整除。 现在设 n 不是 2 的幂,取 2k 个数为

,他们的和为 2 ,被

?1,?1,?2,?22 ,? ? ?,?2k ?2 ,1,2,22 ,? ? ?,2k ?1
因为 n 不是 2 的幂,故上述 2k 个数均不被 n 整除。 若可将这些分成两组, 使得每一组中任意若干个数的和均不能被 n 整除。 不妨设 1 在第 一组,由于-1+1=0,被 n 整除,故两个-1 必须在第二组;因为(-1)+(-1)+2=0,被 n 整 除,故 2 在第一组,进而推出-2 在第二组。 现在归纳假设 1,2,? ? ?,2l 均在第一组, 而 ? 1,?1,?2,? ? ?,?2l 均在第二组, 这里 1 ? l ? k ? 2 , 由于 (?1) ? (?1) ? (?2) ? ? ? ? ? (?2)l ? 2l ?1 ? 0 ,被 n 整除,故 2
l ?1

在第一组,从而 ? 2

l ?1



第二组,故由归纳法可知, 1,2,22 ,? ? ?,2k ?2 在第一组, ?1,?1,?2,?22 ,? ? ?,?2k ?2 在第二组。最 后,由于 (?1) ? (?1) ? (?2) ? ? ? ? ? (?2k ?2 ) ?2k ?1 ? 0 被 n 整除,故 2
k ?1

在第一组。因此

1,2,22 ,? ? ?2k ?1 中若干个数的和,特别地,因为 n ? 2k ? 1 ,故在第一组中有若干个数的和为
n,当然被 n 整除,矛盾! 因此,将前述 2k 个整数任意分成 2 组,则总有一组中有若干个数之和被 n 整除。


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