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两条直线的交点坐标


全国名校高中数学优质学案汇编(附详解) 3.3.1 两条直线 的交点坐标 引入 二元一次方程组的解有三种不同 情况(唯一解,无解,无穷多解),同 时在直角坐标系中两条直线的位置关 系也有三种情况(相交,平行,重 合),下面我们通过二元一次方程组 解的情况来讨论直角坐标系中两直线 的位置关系. 新课 ①两条直线的交点: 如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0 相交,由于交点同时在两条直线上,交点坐标一定 是它们的方程组成的方程组 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 的解;反之,如果方程组 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 只有一个解,那么以这个解为坐标的点就是直 线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点. 举例 例1:求下列两条直线的交点:l1:3x+4y -2=0;l2:2x+y+2=0. 解:解方程组 3x+4y-2 =0 得 2x+y+2 = 0 x= -2 y=2 ∴l1与l2的交点是M(- 2,2) 举例 例2:求经过原点且经过以下两条直线的 交点的直线方程: l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0. 解:解方程组 x-2y+2=0 得 2x-y-2=0 x= 2 y=2 ∴l1与l2的交点是(2,2) 设经过原点的直线方程为 y=k x 把(2,2)代入方程,得k=1,所求方程为 y= x. ②利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系 已知方程组 ? ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 (1) (2) 当A1,A2,B1,B2全不为零时 (1)×B2-(2)×B1得(A1B2-A2B1)x=B1C2-B2C1 讨论:⒈当A1B2-A2B1≠0时,方程组有唯一解 B1C2 ? B2C1 x? A1 B2 ? A2 B1 C1 A2 ? C2 A1 y? A1 B2 ? A2 B1 ⒉当A1B2-A2B1=0, B1C2-B2C1≠0 时,方程组无解 ⒊当A1B2-A2B1=0,B1C2-B2C1=0 时,方程组有无穷 多解. 上述方程组的解的各种情况分别对 应的两条直线的什么位置关系? 当 A1 B1 ? A2 B2 时,两条直线相交,交点坐标为 C1 A2 ? C 2 A1 ? ? A1 B2 ? A2 B1 ? ? B1C 2 ? B2C1 , ? ? A1 B2 ? A2 B1 当 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2 时,两直线平行; 当 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2 时,两条直线重合. 举例 例3、判断下列各对直线的位置关系,如 果相交,求出交点的坐标: (1)l1:x-y=0, l2:3x+3y-10=0; (2)l1:3x-y+4=0, (3)l1:3x+4y-5=0, l2:6x-2y=0; l2:6x+8y-10=0; 举例 例4:求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y -7=0的交点,且垂直于直线x+3y-5=0 的直线方程. x=3 x +2 y - 1=0 , 得 解法一:解方程组 y= - 1 2x-y-7=0 ∴这两条直线的交点坐标为(3,-1) 又∵直线x+2y-5=0的斜率是-1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3(x-3)即 3x-y-10=0 举例 例4:求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y -7=0的交点,且垂直于直线x+3y-5=0 的

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