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高三数学一轮复习圆锥曲线的综合问题


第五节

圆锥曲线综合问题

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高考总复习 · 数学(理)

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最新考纲

了解圆锥曲线的初步应用 以解答题的形式考查圆锥曲线与其他 数学知识的交汇问题,考查学生的逻 辑思维能力、运算能力,考查学生综 合运用数学知识解决问题的能力.

高考热点

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1.解决圆锥曲线综合问题的基本思想和方法 2.解答圆锥曲线综合问题,应根据曲线的几何特征,

熟练运用圆锥曲线的知识,将曲线的几何特征转化为数量关
系(如方程、不等式、函数等),再结合代数知识解答,要重 视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合 思想等的应用.

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解决圆锥曲线综合问题的思路

1.对于圆锥曲线的综合问题,在对题目内涵进行深刻
挖掘的基础上,应用整体思想,构建转化的“框架”,然后 综合利用代数手段解题. 2.圆锥曲线的定义是解决综合题的基础.定义在本质 上揭示了平面上的动点与定点(或定直线)的距离满足某种特

殊关系,用数形结合思想去理解圆锥曲线中的参数(a,b,c,
e,p等)的几何意义以及这些参数之间的相互关系,进而通过 它们之间的关系组成题设条件的转化.

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3.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置关系, 因此要树立将直线与圆锥曲线方程联立,应用判别式、根与

系数的关系的意识.
4.圆锥曲线应用问题的解题关键是建立适当坐标系, 合理建立曲线模型,然后转化为相应的函数问题作出定理或 定性的分析与判断.

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定点定值问题 ①从特殊点入手,求出定点(定值),再 证明这个点(值)与变量无关; 思维提示 ②直接推理计算,并在计算过程中消 去变量,从而得到定点、定值. 例1 设F1、F2分别为椭圆C: =1(a>b>0)的左、

题型一

右两个焦点.若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点

P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为
kPM、kPN时. 求证:kPM·kPN是与点P位置无关的定值.

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[分析]

设出M点的坐标,利用已知条件得到N的坐标,

将kPM·kPN的值计算出来为定值即可.

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x2-m2 y2-n2 y2-n2 b2 ①-②得 + 2 =0, 2 =- 2, a2 b a x -m2 b2 ∴kPM·PN=- 2. k a 故 kPM·PN 与 P 的位置无关. k

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[规律总结]

在解决圆锥曲线的定点和定值问题时,应

灵活应用已知条件,巧设变量,在变形过程中应注意各变量

之间的关系,善于捕捉题目的信息,注意消元思想在解题中
的应用.

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备考例题1

如图所示,M是抛物线y2=x上的一定点,

动弦ME,MF分别交x轴于A、B两点,且MA=MB.

证明:直线EF的斜率为定值.

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消去 x 得 ky2-y+y0(1-ky0)=0, 1-ky0 (1-ky0)2 解得 yE= ,∴xE= , k k2 1+ky0 (1+ky0)2 同理可得 yF= ,xF= , k2 -k 1-ky0 1+ky0 - k yE-yF -k ∴kEF= = xE-xF (1-ky0)2 (1+ky0)2 - 2 k k2 2 k 1 = =- (定值), 2y0 -4ky0 k2 所以直线 EF 的斜率为定值.

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最值与范围问题 ①正确理解圆锥曲线的定义、标准方程; 思维提示 ②联立方程组,对有关参数进行讨论.

题型二

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例 2 已知 M(-2,0),N(2,0)两点,动点 P 在 y 轴上的射影为 → PH → PN → → H, 且使PH· 与PM· 分别是公比为 2 的等比数列的第三、四项.

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知过点 N 的直线 l 交轨迹 C 于 x 轴下方两个不同的点 A、 B,设 R 为 AB 的中点,若过点 R 与定点 Q(0,-2)的直线交 x 轴于 点 D(x0,0),求 x0 的取值范围.

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[解]

(1)设动点 P 的坐标为(x,y),x≠0,所以 H(0,y),

→ PH=(-x,0). ∵M(-2,0),N(2,0), → → ∴PM=(-2-x,-y),PN=(2-x,-y). → PH → → PN → ∴PH· =x2,PM· =-(4-x2)+y2. 由条件,得 y2-x2=4(x≠0), 所以,所求动点的轨迹方程为 y2-x2=4(x≠0).

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(2)设直线 l 的方程为 y=k(x-2), A(x1,y1),B(x2,y2),
?y=k(x-2) ? 联立方程组得? 2 2 ?y -x =4 ?



1 2 4 ∴(1- 2)y - y-8=0, k k 4k 8k2 ∴y1+y2= 2 ,y1·2=- 2 , y k -1 k -1 ? 4k ?k2-1<0 ? 8k2 ∴? - >0 ? k2-1 ? ?Δ>0

2 ,结合已知条件有 2 <k<1,

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k2+k-1 2k2 2k R( 2 , 2 ),kRQ= , k2 k -1 k -1 k2+k-1 直线 RQ 的方程为 y+2= x, k2 2k2 2 ∴x0= 2 = , 1 12 5 k +k-1 -( -2) +4 k ∴2<x0<2+2 2.

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[规律总结]

求范围的方法同求最值及函数值域的方法

类似.常见的解法有两种:几何法和代数法.若题目的条件

和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来
解决,这就是几何法.若题目的条件和结论能体现一种明确 的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最 值,这就是代数法.求函数最值常用的代数法有配方法、判 别式法、均值不等式法及函数的单调性、有界性法.

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已知 O 为坐标原点, E、 的坐标分 点 F → → 别为(-1,0)、(1,0),动点 A、M、N 满足|AE|=m|EF|(m>1), → · =0,ON=1(OA+OF),AM∥ME. → → → → → → MN AF 2 (1)求点 M 的轨迹 W 的方程; m (2)点 P( ,y0)在轨迹 W 上,直线 PF 交轨迹 W 于点 Q, 2 → → 且PF=λFQ,若 1≤λ≤2,求实数 m 的范围.

备考例题 2

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→ · =0,ON=1(OA+OF), → → → → 解:(1)MN AF 2 ∴MN 垂直平分 AF. → → 又AM∥ME,∴点 M 在 AE 上, → → → → ∴|AM|+|ME|=|AE|=m|EF|=2m, → → 又|MA|=|MF|,

→ → → ∴|ME|+|MF|=2m>|EF|, ∴点 M 的轨迹 W 是以 E、F 为焦点的椭圆,且半长轴 a=m, 半焦距 c=1, ∴b2=a2-c2=m2-1, x2 y2 ∴点 M 的轨迹 W 的方程是 2+ 2 =1(m>1). m m -1

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(2)设 Q(x1,y1), m → → ∵P( ,y0),PF=λFQ, 2 ? m ?1- =λ(x1-1) 2 ∴? , ?-y0=λy1 ? 1 m ? ?x1= λ (λ+1- 2 ) ∴? ?y1=-1y0 λ ? 由点 P、Q 均在椭圆 W 上,
2 y0 ?1 ? + 2 =1 4 m -1 ? ∴? 2 1 m2 y0 ? 2 2(λ+1- ) + =1 2 ?λ m λ2(m2-1) ?



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m2-m+1 消去 y0 并整理,得 λ= , 2 m -1 m2-m+1 由 1≤ ≤2 及 m>1, m2-1 -1+ 13 解得 ≤m≤2. 2

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题型三

探索性问题

①对归纳型问题,要通过观察、比较、 分析、抽象、概括、猜测来完成; 思维提示 ②对存在性问题,从适合条件的结论存 在入手,找出一个正确结论即可.

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x2 y2 y2 x2 例 3 已知半椭圆 2+ 2=1(x≥0)与半椭圆 2+ 2=1(x≤0) a b b c 组成的曲线称为“果圆”,其中 a2=b2+c2,a>0,b>c>0, F0、F1、F2 是对应的焦点,点 A1、A 和 B1、B 分别是“果圆” 与 x 轴和 y 轴的交点. (1)若三角形 F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形, 求“果圆” 的方程; b (2)若|A1A|>|B1B|,求 的取值范围; a (3)一条直线与果圆交于两点,两点间的线段称为“果圆” 的弦.是否存在平行于 x 轴的直线交“果圆”于两点,得到的 弦的中点轨迹方程为椭圆?

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[分析]

(1)根据△F0F1F2中的|F0F1|、|F1F2|的值,解出a、

b、c的值,得出“果圆”的方程.

(2)根据|A1A|>|B1B|得a、b、c的不等式,再利用c2 =a2
-b2,将c用a、b代换,转化为关于a、b的不等式,求出的范 围. (3)假设存在直线,设为y=t,与“果圆”方程联立,求 出弦中点的轨迹方程,判断是否为椭圆方程.

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[解] (1)∵F0(c,0),F1(0, b2-c2),F2(0,- b2-c2), ∴|F0F1 |= (b2-c2)+c2=b=1, 2 2 2 3 |F1F2 |=2 b -c =1?c = , 4 2 2 2 7 于是 a =b +c = , 4 ?4 2 2 ?7x +y =1 (x≥0) 所求“果圆”的方程为? . ?y2+4x2=1 (x≤0) 3 ?

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(2)由题意得 a+c>2b,即 a2-b2>2b-a. ∵(2b)2>b2+c2=a2, b 4 2 2 2 ∴2b>a,∴a -b >(2b-a) ,得 <5. a b2 1 b 2 4 2 2 2 2 又 b >c =a -b ,∴ 2> ,∴ ∈( , ). 2 5 a 2 a

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x2 y2 (3)设直线 y=t(-b≤t≤b)与半椭圆 2+ 2=1(x≥0)的交 a b t2 y2 x2 点是 P(a 1- 2, 与半椭圆 2+ 2=1(x≤0)的交点是 Q(- t), b b c t2 c 1- 2,t). b ? a-c t2 ?x= 1- 2 2 b , ∴P、Q 的中点 M(x,y)满足? ?y=t ? x2 y2 消去参数可得 + 2=1.∵b+c>a,∴a-(b+c)< a-c 2 b ( ) 2 0,∴a-(b+c)-b<0,即 a-c-2b<0. 又∵a-c>0,∴a-c+2b>0,

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a-c 2 2 a-c-2b a-c+2b ∴( ) -b = · ≠0, 2 2 2 x2 y2 ∴ + 2=1 为椭圆. a-c 2 b ( ) 2 即存在平行于 x 轴的直线符合题意.

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[规律总结]

(1)探索性试题常见的题型有两类:一是

给出问题对象的一些特殊关系,要求解题者探索出一般规律,

并能论证所得规律的正确性,通常要求对已知关系进行观察、
比较、分析,然后概括出一般规律.二是只给出条件,要求 解题者论证在此条件下,会不会出现某个结论.这类题型常 以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在” 等语句表述.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在

的假设,然后由此肯定的假设出发,结合已知条件进行推理
论证,若导致合理的结论,则存在性也随之解决;若导致矛 盾,则否定了存在性.

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(2)解决探索性问题应注意以下几点: ①存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若

结论正确则存在,若结论不正确则不存在.
②当条件和结论不唯一时要分类讨论. ③当给出结论而要推导出存在的条件时先假设成立,再 推出条件. ④当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,思维

开放,采用另外的途径.

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x2 y2 备考例题 3 已知 F1,F2 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 a b 右焦点,A 是椭圆上位于第一象限内的一点,点 B 也在椭圆上, → → → F1F 且满足OA+OB=0(O 为坐标原点),且AF2·→ 2=0,若椭圆的离 2 心率等于 . 2 (1)求直线 AB 的方程; (2)若△ABF2 的面积为 4 2,求椭圆的方程; (3)在(2)的条件下,椭圆上是否存在点 M,使得△MAB 的面 积为 8 3.

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→ → 解:(1)由OA+OB=0 知,直线 AB 经过原点, →2·→ 2=0,则 AF2⊥F1F2,又 e= 2, 又AF F1F 2 2 1 2 2 ∴c= a,b = a ,故椭圆方程为 x2+2y2=a2. 2 2 → F1F 设 A(x,y),由AF2·→ 2=0 知 x=c, 1 ∴A(c,y),代入椭圆方程得 y=2a, 2 1 2 2 ∴A( 2 a,2a),故 kAB= 2 ,AB 方程为 y= 2 x.

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(2)连结 AF1,BF1,AF2,BF2,由椭圆的 对称性可知 S△ABF2=S△ABF1=S△AF1F2. 1 1 ∴2×2c×2a=4 2. 2 又由 c= a, 解得 a2=16, 2=16-8=8, b 2 x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 16 8

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(3)由(2)可求得|AB|=2|OB|=2 (2 2)2+22=4 3, 假设在椭圆上存在点 M 使得三角形 MAB 的面积为 8 3,设点 M 到直线 AB 的距离为 d,则应为 1 ×4 3×d=8 3,∴d=4, 2 设 P(4cosθ,2 2sinθ)为椭圆上任意一点, 2 则 P 到直线 y= 2 x 的距离为 |2 2cosθ-2 2sinθ| 4 π 4 = 6|cos(θ+ )|≤ 6<4, 故 3 4 3 6 2 椭圆上不存在点 M 使△MAB 面积为 8 3.

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圆锥曲线与其他知识交汇的问题 ①圆锥曲线的定义、方程及几何性质; 思维提示 ②函数、不等式、数列及平面向量的有 关知识.

题型四

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例4

抛物线C的方程为y=ax2(a<0),过抛物线C上一

点P(x0 ,y0)(x0≠0)作斜率为k1 、k2 的两条直线分别交抛物线C
于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点(P、A、B三点互不相同),且满足 k1λ+k2=0(λ≠0且λ≠-1). (1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程; (2)设直线AB上一点M,满足 点在y轴上; (3)当λ=1时,若点P的坐标为(1,-1).求∠PAB为钝 角时点A的纵坐标y1的取值范围. =λ .证明线段PM的中

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[分析] (1)把抛物线转化为标准方程即可求得; (2)设出直线方程,与抛物线方程联立,利用根与系数

的关系求解;
(3)利用平面向量的数量积来求解.

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的解,将②式代入①式得 ax2-k1x+k1x0-y0=0, k1 k1 于是 x1+x0= ,故 x1= -x0③ a a 又点 P(x0,y0)和点 B(x2,y2)的坐标是方程组
?y-y =k (x-x ) ? 0 2 0 ? 2 ?y=ax ⑤ ?



的解,将⑤式代入④式得 ax2-k2x+k2x0-y0=0, k2 k2 于是 x2+x0= ,故 x2= -x0. a a 由已知得 k2=-λk1, λ 则 x2=- k1-x0⑥ a 设点 M 的坐标为(xM,yM),

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→ =λMA,则 xM=x2+λx1, → 由BM 1+λ 将③式和⑥式代入上式 -x0-λx0 得 xM= =-x0, 1+λ 即 xM+x0=0. 所以线段 PM 的中点在 y 轴上.

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(3)因为点 P(1,-1)在抛物线 y=ax2 上,所以 a=-1, 抛物线方程为 y=-x2. 由③式知 x1=-k1-1,代入 y=-x2, 得 y1=-(k1+1)2. 将 λ=1,a=-1 代入⑥式得 x2=k1-1, 代入 y=-x2 得 y2=-(k1-1)2. 因此,直线 PA、PB 分别与抛物线 C 的交点 A,B 的坐标 2 为 A(-k1-1,-k2-2k1-1),B(k1-1,-k1+2k1-1). 1 2 → → 于是AP=(k1+2,k1+2k1),AB=(2k1,4k1). → AB → AP· =2k1(k1+2)+4k1(k2+2k1) 1 =2k1(k1+2)(2k1+1).

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因∠PAB 为钝角且 P,A,B 三点互不相同, → AB → 故必有AP· <0,即 k1(k1+2)(2k1+1)<0. 1 解得 k1 的取值范围为 k1<-2 或-2<k1<0. 又点 A 的纵坐标 y1 满足 y1=-(k1+1)2, 故当 k1<-2 时,y1<-1; 1 1 当-2<k1<0 时,-1<y1<-4. 所以∠PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 y1 的取值范围为(-∞, 1 -1)∪(-1,-4).

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[规律总结]

本题主要考查抛物线的几何性质、直线的

方程、平面向量、直线与曲线相交、两条直线的夹角等解析

几何的基础知识、基本思想方法和综合解题能力,在解决此
类综合题时要根据具体问题灵活选用有关的数学知识,正确 地构造不等式或方程,利用数形结合,设而不求,对称方法 及根与系数的关系来解决.

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备考例题4

已知一列椭圆Cn:x2+

=1,0<bn<1,

n=1,2,?.若椭圆Cn上有一点Pn,使Pn到右准线ln的距离dn是

|PnFn|与|PnGn|的等差中项,其中Fn 、Gn 分别是Cn 的左、右焦
点.

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证明:(1)由题设及椭圆的几何性质有 2dn=|PnFn |+|PnGn|=2,故 dn=1. 设 cn= 1 2 1-b n,则右准线方程为 ln:x= . cn

1 1 因此,由题意 dn 应满足 -1≤dn≤ +1. cn cn ?1 ? -1≤1 1 1 cn 即? ,解得2≤cn<1,即2≤ 1-b2 <1,从而 n ?0<cn<1 ? 3 对任意 n≥1,bn≤ . 2

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(2)设点 Pn 的坐标为(xn,yn),则由 dn=1 及椭圆方程易 1 知 xn= -1, cn 1 2 2 2 2 yn=bn(1-xn)=(1-cn)[1-( -1)2] cn 1 3 = 2(-2cn+c2+2cn-1). n cn 因|FnGn|=2Cn,故△PnFnGn 的面积为 Sn=cn|yn |, 1 2 3 2 从而 Sn=-2cn+cn+2cn-1( ≤cn<1). 2 令 f(c)=-2c3+c2+2c-1, 1± 13 2 由 f′(c)=-6c +2c+2=0,得两根 6 .

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1+ 13 1 1+ 13 从而易知函数 f(c)在( , )内是增函数, 而在( , 2 6 6 1)内是减函数. 2n+3 现在由题设取 bn= , n+2 n+1 1 2 则 cn= 1-b n= =1- ,cn 是递增数列. n+2 n+2 3 1+ 13 4 又易知 c2= < < =c3. 4 6 5 故由前已证,知 S1<S2,且 Sn>Sn+1(n≥3).

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概念理解错误 例 直线l:y=k(x- )与双曲线x2-y2=1(x>0)相交 于A、B两点,则直线l的倾斜角的范围是______.

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[解题思路] 0.

?y=k(x- 2), ? ? 2 2 ?x -y =1(x>0) ?

得 x2 -k2(x- 2)2-1=

即(1-k2)x2+2 2k2x-2k2-1=0. ∵直线 l 与双曲线右支交于两点 A、B, ?Δ=8k4+4(2k2+1)(1-k2)>0?k2+1>0, ? 2 2k2 ?x +x = >0?k2-1>0?k>1或k<-1, 1 2 2 ? k -1 ∴? -2k2-1 2k2+1 ?x x = >0? 2 >0?k2-1>0 ?1 2 1-k2 k -1 ? ? ?k>1或k<-1. ∴k>1 或 k<-1. π π π 3 ∴l 的倾斜角范围( , )∪( , π). 4 2 2 4

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[错因分析]

误区一:在直接法中,题意是与右支交于两

?Δ>0, ? 点,因为双曲线自身有界限,|x|≥1,所以列式?x1+x2>2, ?x x >1. ? 1 2 ?Δ>0 ? 该不等式组在计算结果上与?x1+x2>0 ?x x >0 ? 1 2 相同,但在计算

量上远远大于后者,有些学生总是用前者做,增大了计算量, 提高了出错率. 误区二:得出 k>1 或 k<-1,因为 k 存在,倾斜角不包 π π 3 含2,但学生忽视了斜率不存在这一情况,错得出(4,4π).

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