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2014高考数学综合训练:函数与方程、函数模型及其应用


2014 高考数学综合训练:函数与方程、函数模型及其应用

1 1.函数 f(x)=ln x- (x>1)的零点所在的区间为( ) x-1 3 3 1, ? B.? ,2? A.? ? 2? ?2 ? 5 ? ?5 ? C.? ?2,2? D.?2,3? 2.如图 X5-1 所示,图(1)反映的是某条公共汽车线路收支差额 y 与乘客量 x 之间关系的 图像.由于目前该条公交线路亏损,公司有关人员提出两种调整建议,如图(2)(3)所示. (注:收支差额=营业所得的票价收入-付出的成本)

图 X5-1 给出以下说法: ①图(2)的建议是:提高成本,并提高票价; ②图(2)的建议是:降低成本,并保持票价不变; ③图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变; ④图(3)的建议是:提高票价,并降低成本. 其中说法正确的序号是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 3.规定记号“ ”表示一种运算,即 a b=a2+2ab-b2.设函数 f(x)=x 2,且关于 x 的方程 f(x)=lg|x+2|(x≠-2)恰有四个互不相等的实数根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4 的值是( ) A.-4 B.4 C.8 D.-8 4. “m<0”是“函数 f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.函数 f(x)=|x-2|-ln x 在定义域内的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 - 6.函数 f(x)=-|x-5|+2x 1 的零点所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 7.某企业为了节能减排,决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的成本费(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例 1 系数约为 ,为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下, 2 安装后该企业每年消耗的电费 C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积 x(单位:平方 120 米)之间的函数关系是 C(x)= (x>0). 记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业 15 x+5
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年共将消耗的电费之和为 F(x)(万元),则 F(40)等于( ) A.80 B.60 2 C.40 D.40 3 8.若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=f(x-1),且 x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数 g(x) ? ?lg x(x>0), =? 1 则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为( ) - (x<0), ? ? x A.6 B.7 C.8 D.9 9.在 R 上定义运算 :x y=x(1-y).若对任意 x>2, 不等式(x-a) x≤a+2 都成立, 则实数 a 的取值范围是( ) A.[-1,7] B.(-∞,3] C.(-∞,7] D.(-∞,-1]∪[7,+∞) 10.若 x1,x2 是函数 f(x)=x2+mx-2(m∈R)的两个零点,且 x1<x2,则 x2-x1 的最小值 是________. 1 11.函数 f(x)=ln x- 在区间(k,k+1)(k∈N*)上存在零点,则 k 的值为________. x-1 12.某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤前的废气的污染指数量为 P0 mg/L,过滤过 - 程中废气的污染指数量 P mg/L 与时间 t h 间的关系为 P=P0e kt.如果在前 5 个小时消除了 10% 的污染物,则 10 小时后还剩________%的污染物. 13.某公司一年购买某种货物 600 吨,每次都购买 x 吨(x 为 600 的约数),运费为 3 万元/ 次,一年的总存储费用为 2x 万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购 买________吨. 14.对于二次函数 f(x)=ax2+bx+c,有下列命题: ①若 f(p)=q,f(q)=p(p≠q),则 f(p+q)=-(p+q); ②若 f(p)=f(q)(p≠q),则 f(p+q)=c; ③若 f(p+q)=c(p≠q),则 p+q=0 或 f(p)=f(q). 其中一定正确的命题是________(写出所有正确命题的序号). 15.某医药研究所开发一种新药,在试验药效时发现:如果成人按规定剂量服用,那么 ax (0<x<1), 2 x +1 服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 x(小时)之间满足 y= 其对 a·2x-1 (x≥1), 4x-1+1 1 16? 应曲线(如图 X5-2 所示)过点? ?2, 5 ?. (1)试求药量峰值(y 的最大值)与达峰时间(y 取最大值时对应的 x 值); (2)如果每毫升血液中含药量不少于 1 微克时治疗疾病有效,那么成人按规定剂量服用该 药后一次能维持多长的有效时间(精确到 0.01 小时)?

? ? ?

图 X5-2
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2 ? ?x -ax+1,x≥a, 16.已知函数 f(x)=? ?4x-4×2x-a,x<a. ?

(1)若 x<a 时,f(x)<1 恒成立,求 a 的取值范围; (2)若 a≥-4 时,函数 f(x)在实数集 R 上有最小值,求实数 a 的取值范围.

5? 5 2 5 2 5 2 2 ?5? 1.C [解析] f(2)=ln 2-1<0,f? ?2?=ln2-3,由 125>8e 得2>e3,所以 f?2?=ln2-3>0, 5? ? 5? 因此 f(2)f? ?2?<0,所以其中的一个零点区间为?2,2?. 2.C [解析] 设图(1)中函数为 y=kx-b,其中 k 为票价,b 为付出的成本,则图(2)是降 低成本,并保持票价不变;图(3)是提高票价,并保持成本不变. 3.D [解析] 函数 f(x)=x2+4x-4,由于函数 y=f(x),函数 y=lg|x+2|的图像均关于直 线 x=-2 对称,故四个根的和为-8. 4.A [解析] 函数 f(x)存在零点,则 m≤0,是充分不必要条件,故选 A. 5.C [解析] 分别画出函数 y=ln x(x>0)和 y=|x-2|(x>0)的图像,可得 2 个交点,故 f(x) 在定义域中零点个数为 2. 6.C [解析] f(2)· f(3)=(-3+2)(-2+4)<0,所以该函数的零点所在的区间是(2,3). 1 120 7.B [解析] F(x)= x+15× ,F(40)=60. 2 x+5 8.C [解析] 因为函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=f(x-1),所以函数 y=f(x)(x∈R)是周 期为 2 的周期函数,又因为 x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,所以作出函数 f(x)(x∈R)和 g(x)的图 像,如图所示.

由图知函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为 8. 9.C [解析] 由题意得(x-a) x=(x-a)(1-x), 故不等式(x-a) x≤a+2 化为(x-a)(1-x)≤a+2, 化简得 x2-(a+1)x+2a+2≥0, 故原题等价于 x2-(a+1)x+2a+2≥0 在(2,+∞)上恒成立. a+1 由二次函数 f(x)=x2-(a+1)x+2a+2 的图像,可知其对称轴为 x= . 2

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a+1 >2, ?a+1≤2 ? ? 2 2 讨论得? 或? 解得 a≤3 或 3<a≤7,综上可得 a≤7. ?a+1? ?f(2)≥0 ? ?≥0, ?f? ? 2 ? (x2+x1)2-4x2x1= m2+8≥2 2. 1 11. 0 或 2 [解析] 转化为两个函数 y=ln x 与 y= 的图像的交点问题. 依据图像可以 x-1 10.2 2 [解析] Δ=m2+8>0(m∈R),x2-x1= 判断零点存在的区间为(0,1),(2,3).因此 k=0 或 k=2. - × - - × 12.81 [解析] P0e k 5=P0×(1-10%),e 5k=0.9,所以 P0e k 10=P0×0.81,即 10 小时 后还剩 81%的污染物. 600 13 . 30 [ 解析 ] 设一年的总运费与总存储费用之和为 y 万元,则 y= × 3 + 2x≥2 x 1800 1800 ×2x=120,当且仅当 =2x,x=30 时,取得等号. x x 14.②③ [解析] ②③正确,对于①,由 f(p)=q,f(q)=p(p≠q),得(p-q)[a(p+q)+b+ 1]=0,所以 a(p+q)+b+1=0,a(p+q)2+b(p+q)+(p+q)=0,f(p+q)=-(p+q)+c. 1 a× 2 16 1 16 ? 15.解:(1)由曲线过点? ?2, 5 ?,可得1 = 5 ,故 a=8. +1 4 8x 8x 当 0<x<1 时,y= 2 < =4, x +1 2x 当 x≥1 时,设 2x 1=t,可知 t≥1,


y=

8×2x-1 4x-1+1

8t ≤ =4(当且仅当 t=1,即 x=1 时,等号成立). 2t

综上可知 ymax=4,且当 y 取最大值时,对应的 x 值为 1. 所以药量峰值为 4 微克,达峰时间为 1 小时. 8x (2)当 0<x<1 时,由 2 =1,可得 x2-8x+1=0, x +1 解得 x=4± 15,又 4+ 15>1,故 x=4- 15. - 当 x≥1 时,设 2x 1=t,则 t≥1, 8×2x-1 4x-1+1 8t =1,可得 2 =1,解得 t=4± 15, t +1


又 t≥1,故 t=4+ 15,所以 2x 1=4+ 15, 可得 x=log2(4+ 15)+1. 由图像知当 y≥1 时,对应的 x 的取值范围是[4- 15,log2(4+ 15)+1], log2(4+ 15)+1-(4- 15)≈3.85, 所以成人按规定剂量服用该药后一次能维持大约 3.85 小时的有效时间. - 16.解:(1)因为 x<a 时,f(x)=4x-4×2x a,所以令 t=2x,则有 0<t<2a. t 当 x<a 时 f(x)<1 恒成立,转化为 t2-4× a<1, 2 4 1 即 a>t- 在 t∈(0,2a)上恒成立. 2 t 1 1 1 令 p(t)=t- ,t∈(0,2a),则 p′(t)=1+ 2>0,所以 p(t)=t- 在(0,2a)上单调递增, t t t

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4 1 所以 a≥2a- a,所以 2a≤ 5,解得 a≤log2 2 2

5.

a 2 a2 x- ? +1- , (2)当 x≥a 时,f(x)=x2-ax+1,即 f(x)=? ? 2? 4 a 当 ≤a 时,即 a≥0 时,f(x)min=f(a)=1; 2 a? a a2 当 >a 时,即-4≤a<0,f(x)min=f? = 1 - . ?2? 2 4 2 2 4 4 - t- a? - a, 当 x<a 时,f(x)=4x-4×2x a,令 t=2x,t∈(0,2a),则 h(t)=t2- at=? ? 2? 4 2 2 2 a 1 4 ? 当 a<2 ,即 a> 时,h(t)min=h? ?2a?=-4a; 2 2 2 1 当 a≥2a,即 a≤ 时,h(t)在开区间 t∈(0,2a)上单调递减,h(t)∈(4a-4,0),无最小值. 2 2 1 4 4 综合 x≥a 与 x<a,所以当 a> 时,1>- a,函数 f(x)min=- a; 2 4 4 1 当 0≤a≤ 时,4a-4<0<1,函数 f(x)无最小值; 2 a2 当-4≤a<0 时,4a-4<-3≤1- ,函数 f(x)无最小值. 4 1 综上所述,当 a> 时,函数 f(x)有最小值. 2

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