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2013年湖北省重点高中自主招生考试数学试卷


湖北省重点高中自主招生考试数学试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分. ) . 1. (3 分)若不等式组 A.m>3 B.m≥3 的解集是 x>3,则 m 的取值范围是( C.m≤3 ) ) D.m<3

2. (3 分)如图,在△ ABC 中.∠ACB=90°,∠ABC=15°,BC=1,则 AC=(

A.

B.

C.0.3

D.

3. (3 分) (2011?南漳县模拟)如图,AB 为⊙O 的一固定直径,它把⊙O 分成上,下两个半圆,自上半圆上一点 C 作弦 CD⊥AB,∠OCD 的平分线交⊙O 于点 P,当点 C 在上半圆(不包括 A,B 两点)上移动时,点 P( )

A.到 CD 的距离保持不变 C. 等分

B. 位置不变 D.随 C 点移动而移动

4. (3 分)已知 y= A.2 ﹣1

+

(x,y 均为实数) ,则 y 的最大值与最小值的差为( B.4﹣2 C.3﹣2 D.2

) ﹣2

5. (3 分) (2010?泸州)已知 O 为圆锥的顶点,M 为圆锥底面上一点,点 P 在 OM 上.一只蜗牛从 P 点出发,绕圆 锥侧面爬行,回到 P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示.若沿 OM 将圆锥侧面剪开并展开,所得侧面展开图是 ( )

A.

B.

C.

D.

6. (3 分)已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍,当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三 边做无滑动的旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了( )

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A.6 圈
2

B.6.5 圈

C .7 圈

D.8 圈

7. (3 分)二次函数 y=ax +bx+c 的图象如下图,则以下结论正确的有:①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0; ④2c<3b;⑤a+b>m(am+b) (m≠1,m 为实数) ( )

A.2 个

B.3 个

C .4 个

D.5 个

8. (3 分)如图,正△ ABC 中,P 为正三角形内任意一点,过 P 作 PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC 连结 AP、BP、CP, 如果 ,那么△ ABC 的内切圆半径为( )

A.1

B.

C .2

D.

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 9. (3 分) 与 是相反数,计算 = _________ .

10. (3 分)若[x]表示不超过 x 的最大整数,

,则[A]=

_________ .

11. (3 分) 如图, M、 N 分别为△ ABC 两边 AC、 BC 的中点, AN 与 BM 交于点 O, 则

=

_________ .

12. (3 分)如图,已知圆 O 的面积为 3π,AB 为直径,弧 AC 的度数为 80°,弧 BD 的度数为 20°,点 P 为直径 AB 上任一点,则 PC+PD 的最小值为 _________ .

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13. (3 分)从 1,2,3,5,7,8 中任取两数相加,在不同的和数中,是 2 的倍数的个数为 a,是 3 的倍数的个数 为 b,则样本 6、a、b、9 的中位数是 _________ . 14. (3 分)由直线 y=kx+2k﹣1 和直线 y=(k+1)x+2k+1(k 是正整数)与 x 轴及 y 轴所围成的图形面积为 S,则 S 的最小值是 _________ . 15. (3 分) (2010?随州)如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB=5cm,BC=10cm,CD 上有一点 E,ED=2cm,AD 上有 一点 P,PD=3cm,过 P 作 PF⊥AD 交 BC 于 F,将纸片折叠,使 P 点与 E 点重合,折痕与 PF 交于 Q 点,则 PQ 的 长是 _________ cm.

16. (3 分) (2010?随州)将半径为 4cm 的半圆围成一个圆锥,在圆锥内接一个圆柱(如图示) ,当圆柱的侧面的面 积最大时,圆柱的底面半径是 _________ cm.

三、解答题(72) 2 17. (14 分)已知抛物线 y=﹣x +bx+c(c>0)过点 C(﹣1,0) ,且与直线 y=7﹣2x 只有一个交点. (1)求抛物线的解析式; (2)若直线 y=﹣x+3 与抛物线相交于两点 A、B, 则在抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使△ ABQ 是等腰三角形? 若存在,求出 Q 点坐标;若不存在,说明理由.

18. (14 分)有一河堤坝 BCDF 为梯形,斜坡 BC 坡度

,坝高为 5m,坝顶 CD=6m,现有一工程车需从距

B 点 50m 的 A 处前方取土,然后经过 B﹣C﹣D 放土,为了安全起见,工程车轮只能停在离 A、D 处 1m 的地方即 M、N 处工作,已知车轮半经为 1m,求车轮从取土处到放土处圆心从 M 到 N 所经过的路径长.

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19. (14 分)如图,过正方形 ABCD 的顶点 C 在形外引一条直线分别交 AB、AD 延长线于点 M、N,DM 与 BN 交 于点 H,DM 与 BC 交于点 E,BN△ AEF 与 DC 交于点 F. (1)猜想:CE 与 DF 的大小关系?并证明你的猜想. (2)猜想:H 是△ AEF 的什么心?并证明你的猜想.

20. (15 分)如图,已知菱形 ABCD 边长为 ,∠ABC=120°,点 P 在线段 BC 延长线上,半径为 r1 的圆 O1 与 DC、CP、DP 分别相切于点 H、F、N,半径为 r2 的圆 O2 与 PD 延长线、CB 延长线和 BD 分别相切于点 M、E、G. (1)求菱形的面积; (2)求证:EF=MN; (3)求 r1+r2 的值.

21. (15 分) (2012?黄冈)如图,已知抛物线的方程 C1:y=﹣ (x+2) (x﹣m) (m>0)与 x 轴相交于点 B、C, 与 y 轴相交于点 E,且点 B 在点 C 的左侧. (1)若抛物线 C1 过点 M(2,2) ,求实数 m 的值; (2)在(1)的条件下,求△ BCE 的面积; (3)在(1)条件下,在抛物线的对称轴上找一点 H,使 BH+EH 最小,并求出点 H 的坐标; (4)在第四象限内,抛物线 C1 上是否存在点 F,使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与△ BCE 相似?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由.

2013 年湖北省重点高中自主招生考试数学试卷
参考答案与试题解析

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一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分. ) . 1. (3 分)若不等式组 A.m>3 B.m≥3 的解集是 x>3,则 m 的取值范围是( C.m≤3 ) D.m<3

解答: 解:由 x+7<4x﹣2 移项整理得: ﹣3x<﹣9, ∴x>3, ∵x>m, 又∵不等式组 的解集是 x>3,∴m≤3.故选 C.

2. (3 分)如图,在△ ABC 中.∠ACB=90°,∠ABC=15°,BC=1,则 AC=(



A.

B.

C.0.3

D.

解答: 解:过 A 作 AD 交 BC 于 D,使∠BAD=15°, ∵△ABC 中.∠ACB=90°,∠ABC=15°, ∴∠BAC=75°, ∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°, ∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°, ∴AC= AD, 又∵∠ABC=∠BAD=15° ∴BD=AD, ∵BC=1, ∴AD+DC=1, 设 CD=x,则 AD=1﹣x,AC= (1﹣x) , ∴AD =AC +CD ,即(1﹣x) = (1﹣x) +x , 解得:x=﹣3+2 ∴AC= (4﹣2 =2﹣ 故选 B. , )
2 2 2 2 2 2

3. (3 分) (2011?南漳县模拟)如图,AB 为⊙O 的一固定直径,它把⊙O 分成上,下两个半圆,自上半圆上一点 C 作弦 CD⊥AB,∠OCD 的平分线交⊙O 于点 P,当点 C 在上半圆(不包括 A,B 两点)上移动时,点 P( )

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A.到 CD 的距离保持不变 C. 等分

B. 位置不变 D.随 C 点移动而移动

解答: 解:连 OP,如图, ∵CP 平分∠OCD, ∴∠1=∠2, 而 OC=OP,有∠1=∠3, ∴∠2=∠3, ∴OP∥CD, 又∵弦 CD⊥AB, ∴OP⊥AB, ∴OP 平分半圆 APB,即点 P 是半圆的中点. 故选 B.

4. (3 分)已知 y= A.2 ﹣1

+

(x,y 均为实数) ,则 y 的最大值与最小值的差为( B.4﹣2 C.3﹣2 D.2

) ﹣2

考点: 函数最值问题. 分析: 首先把 y= +
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两边平方,求出定义域,然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值,最

后求差. 解答: 解:∵y= ∴y =4+2
2

+

, =4+2× ,

∵1≤x≤5, 当 x=3 时,y 的最大值为 2 ,当 x=1 或 5 时,y 的最小值为 2, 故当 x=1 或 5 时,y 取得最小值 2, 当 x 取 1 与 5 中间值 3 时,y 取得最大值, 故 y 的最大值与最小值的差为 2 ﹣2, 故选 D.

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点评: 本题主要考查函数最值问题的知识点,解答本题的关键是把函数两边平方,此题难度不大. 5. (3 分) (2010?泸州)已知 O 为圆锥的顶点,M 为圆锥底面上一点,点 P 在 OM 上.一只蜗牛从 P 点出发,绕圆 锥侧面爬行,回到 P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示.若沿 OM 将圆锥侧面剪开并展开,所得侧面展开图是 ( )

A.

B.

C.

D.

考点: 线段的性质:两点之间线段最短;几何体的展开图. 专题: 压轴题;动点型. 分析: 此题运用圆锥的性质,同时此题为数学知识的应用,由题意蜗牛从 P 点出发,绕圆锥侧面爬行,回到 P 点 时所爬过的最短,就用到两点间线段最短定理. 解答: 解:蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段,因此选项 A 和 B 错误,又因为蜗牛从 p 点出发,绕 圆锥侧面爬行后,又回到起始点 P 处,那么如果将选项 C、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后,位于母线 OM 上的点 P 应该能够与母线 OM′上的点(P′)重合,而选项 C 还原后两个点不能够重合. 故选 D. 点评: 本题考核立意相对较新,考核了学生的空间想象能力.
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6. (3 分)已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍,当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三 边做无滑动的旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了( )

A.6 圈

B.6.5 圈

C .7 圈

D.8 圈

考点: 直线与圆的位置关系. 分析: 根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时,圆心要绕其三角形的顶点旋转 120°,则圆绕三个顶 点共旋转了 360°,即它转了一圈,再加上在三边作无滑动滚动时要转 6 圈,这样得到它回到原出发位置时 共转了 7 圈. 解答: 解:圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转, ∵等边三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍, ∴圆转了 6 圈, 而圆从一边转到另一边时,圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数, 圆心要绕其三角形的顶点旋转 120°, ∴圆绕三个顶点共旋转了 360°,即它转了一圈, ∴圆回到原出发位置时,共转了 6+1=7 圈. 故选 C. 点评: 本题考查了直线与圆的位置关系,弧长公式:l= (n 为圆心角,R 为半径) ;也考查了旋转的性质.
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7. (3 分)二次函数 y=ax +bx+c 的图象如下图,则以下结论正确的有:①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0; ④2c<3b;⑤a+b>m(am+b) (m≠1,m 为实数) ( )
2

A.2 个

B.3 个

C .4 个

D.5 个

考点: 二次函数图象与系数的关系. 专题: 图表型. 分析: 由抛物线的开口方向判断 a 的符号,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号,然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 解答: 解:①由图象可知:a<0,b>0,c>0,abc<0,错误; ②当 x=﹣1 时,y=a﹣b+c<0,即 b>a+c,错误; ③由对称知,当 x=2 时,函数值大于 0,即 y=4a+2b+c>0,正确;
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④当 x=3 时函数值小于 0,y=9a+3b+c<0,且 x=﹣

=1,

即 a=﹣ ,代入得 9(﹣ )+3b+c<0,得 2c<3b,正确; ⑤当 x=1 时,y 的值最大.此时,y=a+b+c, 2 而当 x=m 时,y=am +bm+c, 2 所以 a+b+c>am +bm+c, 2 故 a+b>am +bm,即 a+b>m(am+b) ,正确. ③④⑤正确. 故选 B. 点评: 考查二次函数 y=ax +bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交 点的个数确定. 8. (3 分)如图,正△ ABC 中,P 为正三角形内任意一点,过 P 作 PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC 连结 AP、BP、CP, 如果 ,那么△ ABC 的内切圆半径为( )
2

A.1

B.

C .2

D.

考点: 三角形的内切圆与内心;等边三角形的性质. 分析: 过 P 点作正△ ABC 的三边的平行线,可得△ MPN,△ OPQ,△ RSP 都是正三角形,四边形 ASPM,四边形 NCOP,四边形 PQBR 是平行四边形,故可知黑色部分的面积=白色部分的面积,于是求出三角形 ABC 的 面积,进而求出等边三角形的边长和高,再根据等边三角形的内切圆的半径等于高的三分之一即可求出半 径的长度. 解答: 解:如图,过 P 点作正△ ABC 的三边的平行线,则△ MPN,△ OPQ,△ RSP 都是正三角形,四边形 ASPM,
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四边形 NCOP,四边形 PQBR 是平行四边形, 故可知黑色部分的面积=白色部分的面积, 又知 S△ AFP+S△ PCD+S△ BPE= S△ ABC= AB sin60°=3 故 AB=2
2

,故知 S△ ABC=3





,三角形 ABC 的高 h=3,

△ ABC 的内切圆半径 r= h=1. 故选 A.

点评: 本题主要考查等边三角形的性质,面积及等积变换,解答本题的关键是过 P 点作三角形三边的平行线,证 明黑色部分的面积与白色部分的面积相等,此题有一定难度. 二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 9. (3 分) 与 是相反数,计算 = .

考点: 二次根式有意义的条件;非负数的性质:绝对值. 专题: 计算题. 分析: 根据互为相反数的和等于 0 列式,再根据非负数的性质列式求出 a+ 的值,再配方开平方即可得解.
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解答:

解:∵ ∴

与|3﹣a﹣ |互为相反数, +|3﹣a﹣ |=0,

∴3﹣a﹣ =0, 解得 a+ =3, ∴a+2+ =3+2, 根据题意,a>0, ∴( ∴ + + = ) =5, . .
2

故答案为: 点评:

本题考查了二次根式有意义的条件,非负数的性质,求出 a+ =3 后根据乘积二倍项不含字母,配方是解题 的关键.

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10. (3 分)若[x]表示不超过 x 的最大整数, ,则[A]= ﹣2 .

考点: 取整计算. 专题: 计算题. 分析: 先根据零指数幂和分母有理化得到 A=﹣ ﹣2. 解答: 解:∵A= +
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, 而

≈1.732, 然后根据[x]表示不超过 x 的最大整数得到, [A]=

+1

= =

+ +1

+1

=

+1

=﹣1﹣ +1 =﹣ , ∴[A]=[﹣ ]=﹣2. 故答案为﹣2. 点评: 本题考查了取整计算:[x]表示不超过 x 的最大整数.也考查了分母有理化和零指数幂. 11. (3 分)如图,M、N 分别为△ ABC 两边 AC、BC 的中点,AN 与 BM 交于点 O,则 = .

考点: 相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理. 专题: 计算题;证明题. 分析: 连接 MN,设△ MON 的面积是 s,由于 M、N 分别为△ ABC 两边 AC、BC 的中点,易知 MN 是△ ABC 的
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中位线, 那么 MN∥AB, MN= AB, 根据平行线分线段成比例定理可得△ MON∽△BOA, 于是 OM: OB=MN: AB=1:2,易求△ BON 的面积是 2s,进而可知△ BMN 的面积是 3s,再根据中点性质,可求△ BCM 的面积 等于 6s,同理可求△ ABC 的面积是 12s,从而可求 S△ BON:S△ ABC. 解答: 解:连接 MN,设△ MON 的面积是 s, ∵M、N 分别为△ ABC 两边 AC、BC 的中点, ∴MN 是△ ABC 的中位线, ∴MN∥AB,MN= AB, ∴△MON∽△BOA, ∴OM:OB=MN:AB=1:2, ∴△BON 的面积=2s,

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∴△BMN 的面积=3s, ∵N 是 BC 的中点, ∴△BCM 的面积=6s, 同理可知△ ABC 的面积=12s, ∴S△ BON:S△ ABC=2s:12s=1:6, 故答案是 .

点评: 本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理,解题的关键是连接 MN,构造相似三角形. 12. (3 分)如图,已知圆 O 的面积为 3π,AB 为直径,弧 AC 的度数为 80°,弧 BD 的度数为 20°,点 P 为直径 AB 上任一点,则 PC+PD 的最小值为 3 .

考点: 轴对称-最短路线问题;勾股定理;垂径定理;圆心角、弧、弦的关系. 专题: 探究型. 分析: 先设圆 O 的半径为 r,由圆 O 的面积为 3π 求出 R 的值,再作点 C 关于 AB 的对称点 C′,连接 OD,OC′,
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DC′, 则 DC′的长即为 PC+PD 的最小值, 由圆心角、 弧、 弦的关系可知 可知

=

=80°, 故 BC′=100°, 由

=20°

=120°,由 OC′=OD 可求出∠ODC′的度数,进而可得出结论.

解答: 解:设圆 O 的半径为 r, ∵⊙O 的面积为 3π, 2 ∴3π=πR ,即 R= . 作点 C 关于 AB 的对称点 C′,连接 OD,OC′,DC′,则 DC′的长即为 PC+PD 的最小值, ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 的度数为 80°, = =80°, =100°, =20°, = + =100°+20°=120°,

∵OC′=OD, ∴∠ODC′=30°

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∴DC′=2OD?cos30°=2 故答案为:3. × =3,即 PC+PD 的最小值为 3.

点评: 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及垂径定理,圆心角、弧、弦的关系,根据题意作出点 C 关于直线 AB 的对称点是解答此题的关键. 13. (3 分)从 1,2,3,5,7,8 中任取两数相加,在不同的和数中,是 2 的倍数的个数为 a,是 3 的倍数的个数 为 b,则样本 6、a、b、9 的中位数是 5.5 . 考点: 中位数. 分析: 首先列举出所有数据的和,进而利用已知求出 a,b 的值,再利用中位数是一组数据重新排序后之间的一个 数或之间两个数的平均数,由此即可求解. 解答: 解:根据从 1,2,3,5,7,8 中任取两数相加,可以得出所有可能: 1+2=3,1+3=4, 1+5=6, 1+7=8,1+8=9, 2+3=5,2+5=7,2+7=9,2+8=10,3+5=8,3+7=10, 3+8=11,5+7=12, 5+8=13,7+8=15, 它们和中所有不同数据为:3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15, 故是 2 的倍数的个数为 a=5,是 3 的倍数的个数为 b=5, 则样本 6、5、5、9 按大小排列为:5,5,6,9,
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则这组数据的中位数是:

=5.5,

故答案为:5.5. 点评: 此题考查了列举法求所有可能以及中位数的定义,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列 后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数) ,叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好, 不把数据按要求重新排列,就会出错. 14. (3 分)由直线 y=kx+2k﹣1 和直线 y=(k+1)x+2k+1(k 是正整数)与 x 轴及 y 轴所围成的图形面积为 S,则 S 的最小值是 .

考点: 两条直线相交或平行问题. 分析: 首先用 k 表示出两条直线与坐标轴的交点坐标, 然后表示出围成的面积 S, 根据得到的函数的取值范围确定 其最值即可. 解答: 解:y=kx+2k﹣1 恒过(﹣2,﹣1) , y=(k+1)x+2k+1 也恒过(﹣2,﹣1) , k 为正整数,那么,k≥1,且 k∈Z 如图,
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直线 y=kx+2k﹣1 与 X 轴的交点是 A( 直线 y=(k+1)x+2k+1 与 X 轴的交点是 C( 那么,S 四边形 ABDC=S△ COD﹣S△ AOB,

,0) ,与 y 轴的交点是 B(0,2k﹣1) ,0) ,与 y 轴的交点是 D(0,2k+1) ,

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= (OC?OD﹣OA?OB) ,

= [ = (4﹣ =2﹣

﹣ ) ,

],

又,k≥1,且 k∈Z, 那么,2﹣ 在定义域 k≥1 上是增函数,

因此,当 k=1 时,四边形 ABDC 的面积最小, 最小值 S=2﹣ = .

点评: 本题考查了两条指向相交或平行问题,解题的关键是用 k 表示出直线与坐标轴的交点坐标并用 k 表示出围 成的三角形的面积,从而得到函数关系式,利用函数的知识其最值问题. 15. (3 分) (2010?随州)如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB=5cm,BC=10cm,CD 上有一点 E,ED=2cm,AD 上有 一点 P,PD=3cm,过 P 作 PF⊥AD 交 BC 于 F,将纸片折叠,使 P 点与 E 点重合,折痕与 PF 交于 Q 点,则 PQ 的 长是 cm.

考点: 翻折变换(折叠问题) . 专题: 压轴题. 分析: 过 Q 点作 QG⊥CD, 垂足为 G 点, 连接 QE, 设 PQ=x, 根据折叠及矩形的性质, 用含 x 的式子表示 Rt△ EGQ 的三边,再用勾股定理列方程求 x 即可. 解答: 解:过 Q 点作 QG⊥CD,垂足为 G 点,连接 QE, 设 PQ=x,由折叠及矩形的性质可知, EQ=PQ=x,QG=PD=3,EG=x﹣2, 在 Rt△ EGQ 中,由勾股定理得 2 2 2 2 2 2 EG +GQ =EQ ,即: (x﹣2) +3 =x ,
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解得:x=

,即 PQ=



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点评: 本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质, 折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后对应线段相等. 16. (3 分) (2010?随州)将半径为 4cm 的半圆围成一个圆锥,在圆锥内接一个圆柱(如图示) ,当圆柱的侧面的面 积最大时,圆柱的底面半径是 1 cm.

考点: 圆柱的计算;二次函数的最值;圆锥的计算. 专题: 压轴题. 分析: 易得扇形的弧长,除以 2π 也就得到了圆锥的底面半径,再加上母线长,利用勾股定理即可求得圆锥的高, 利用相似可求得圆柱的高与母线的关系,表示出侧面积,根据二次函数求出相应的最值时自变量的取值即 可. 解答: 解:扇形的弧长=4πcm, ∴圆锥的底面半径=4π÷2π=2cm,
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∴圆锥的高为

=2

cm,

设圆柱的底面半径为 rcm,高为 Rcm. = ,

解得:R=2 ﹣ r, ∴圆柱的侧面积=2π×r×(2 ∴当 r=



r)=﹣2

πr +4

2

πr(cm ) ,

2

=1cm 时,圆柱的侧面积有最大值.

点评: 用到的知识点为:圆锥的弧长等于底面周长;圆锥的高,母线长,底面半径组成直角三角形;相似三角形 的相似比相等及二次函数最值相应的自变量的求法等知识. 三、解答题(72) 2 17. (14 分)已知抛物线 y=﹣x +bx+c(c>0)过点 C(﹣1,0) ,且与直线 y=7﹣2x 只有一个交点. (1)求抛物线的解析式; (2)若直线 y=﹣x+3 与抛物线相交于两点 A、B, 则在抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使△ ABQ 是等腰三角形? 若存在,求出 Q 点坐标;若不存在,说明理由. 考点: 二次函数综合题. 2 2 分析: (1)将 C 点坐标代入 y=﹣x +bx+c 得 c=b+1,联立抛物线 y=﹣x +bx+b+1 与直线 y=7﹣2x,转化为关于 x 的二元一次方程,令△ =0 求 b 的值即可; (2)直线 y=﹣x+3 与(1)中抛物线求 A、B 两点坐标,根据抛物线解析式求对称轴,根据线段 AB 为等 腰三角形的腰或底,分别求 Q 点的坐标. 2 解答: 解: (1)把点 C(﹣1,0)代入 y=﹣x +bx+c 中,得﹣1﹣b+c=0,解得 c=b+1,
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联立 ,得 x ﹣(b+2)x+6﹣b=0,
2

∵抛物线与直线只有一个交点, 2 ∴△=(b+2) ﹣4(6﹣b)=0, 解得 b=﹣10 或 2, ∵c=b+1>0,∴b=2, 2 ∴抛物线解析式为 y=﹣x +2x+3; (2)存在满足题意的点 Q. 联立 ,

解得





则 A(0,3) ,B(3,0) , 由抛物线 y=﹣x +2x+3,可知抛物线对称轴为 x=1, 由勾股定理,得 AB=3 , 当 AB 为腰,∠A 为顶角时,Q(1,3+ )或(1,3﹣ ) ; 当 AB 为腰,∠B 为顶角时,Q(1, )或(1,﹣ ) ; 当 AB 为底时,Q(1,1) . 故满足题意的 Q 点坐标为: (1,3+ )或(1,3﹣ )或(1,
2

)或(1,﹣

)或(1,1) .

点评: 本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据题意求出抛物线解析式,根据等腰三角形的性质,分类求 Q 点的坐标.

18. (14 分)有一河堤坝 BCDF 为梯形,斜坡 BC 坡度

,坝高为 5m,坝顶 CD=6m,现有一工程车需从距

B 点 50m 的 A 处前方取土,然后经过 B﹣C﹣D 放土,为了安全起见,工程车轮只能停在离 A、D 处 1m 的地方即 M、N 处工作,已知车轮半经为 1m,求车轮从取土处到放土处圆心从 M 到 N 所经过的路径长.

考点: 解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 分析: 作出圆与 BA,BC 相切时圆心的位置 G,与 CD 相切时圆心的位置 P,与 CD 相切时圆心的位置 I,分别求 得各段的路径的长,然后求和即可. 解答: 解:当圆心移动到 G 的位置时,作 GR⊥AB,GL⊥BC 分别于点 R,L.
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∵ ,

∴∠CBF=30°, ∴∠RGB=15°, ∵直角△ RGB 中,tan∠RGB= ,

∴BR=GR?tan∠RGB=2﹣ ,则 BL=BR=2﹣ , 则从 M 移动到 G 的路长是:AB﹣BR﹣1=50﹣(2﹣ )﹣1=47+ m, BC=2×5=10m, 则从 G 移动到 P 的位置 (P 是圆心在 C, 且与 BC 相切时圆心的位置) , GP=10﹣BL=10﹣ (2﹣ 圆心从 P 到 I(I 是圆心在 C,且与 CD 相切时圆心的位置) ,移动的路径是弧,弧长是: 圆心从 I 到 N 移动的距离是:6﹣1=5m, 则圆心移动的距离是: (47+ )+(8+ )+5+ =60+2 + (m) .

) =8+ =

m; m;

点评: 本题考查了弧长的计算公式,正确确定圆心移动的路线是关键. 19. (14 分)如图,过正方形 ABCD 的顶点 C 在形外引一条直线分别交 AB、AD 延长线于点 M、N,DM 与 BN 交 于点 H,DM 与 BC 交于点 E,BN△ AEF 与 DC 交于点 F. (1)猜想:CE 与 DF 的大小关系?并证明你的猜想. (2)猜想:H 是△ AEF 的什么心?并证明你的猜想.

考点: 相似形综合题. 分析: (1) 利用正方形的性质得到 AD∥BC, DC∥AB, 利用平行线分线段成比例定理得到
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从而得到

,然后再利用 AB=BC 即可得到 CE=DF;

(2)首先证得△ ADF≌△DCE,从而得到∠DAF=∠FDE,再根据∠DAF+∠ADE=90°得到 AF⊥DE,同理 可得 FB⊥AE,进而得到 H 为△ AEF 的垂心. 解答: 解: (1)CE=DF; 证明:∵正方形 ABCD ∴AD∥BC,DC∥AB ∴ , (

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∴ ∴又 AB=BC ∴CE=DF; (2)垂心. 在△ ADF 与△ DCE 中, , ∴△ADF≌△DCE(SAS) , ∴∠DAF=∠FDE, ∵∠DAF+∠ADE=90°, ∴AF⊥DE, 同理 FB⊥AE. H 为△ AEF 的垂心. 点评: 本题考查了相似形的综合知识,本题是一道开放性问题,正确的猜想是进一步解题的方向和基础,非常重 要. 20. (15 分)如图,已知菱形 ABCD 边长为 ,∠ABC=120°,点 P 在线段 BC 延长线上,半径为 r1 的圆 O1 与 DC、CP、DP 分别相切于点 H、F、N,半径为 r2 的圆 O2 与 PD 延长线、CB 延长线和 BD 分别相切于点 M、E、G. (1)求菱形的面积; (2)求证:EF=MN; (3)求 r1+r2 的值.

考点: 圆的综合题. 专题: 综合题. 分析: (1)由于菱形 ABCD 边长为
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,∠ABC=120°,根据菱形的性质得到 ADC 和△ DBC 都是等边三角形, 倍即可得到菱形的面积=2S△ DBC=2× ×(6 ) =54
2

利用等边三角形的面积等于边长平方的



(2)由于 PM 与 PE 都是⊙O1 的切线,PN 与 PF 都是⊙O2 的切线,根据切线长定理得到 PM=PN,PN=PE, 则 PM﹣PN=PE﹣PB,即 EF=MN; (3)由于 BE 与 BG 都是⊙O1 的切线,根据切线的性质和切线长定理得到 BE=BG,∠O2BE=∠O2BG, O2E⊥BE,而∠EBG=180°﹣∠DBC=180°﹣60°=120°,于是有∠O2BE=60°,∠EO2B=30°,根据含 30°的直角 三角形三边的关系得到 BE= DN=DH=6 ﹣ O2E= r2,则 BG= ﹣ r2,DM=DG=6 ﹣ r2,同理可得 CF= r2+6 + r1=6 r1, +

r1, 则 MN=DM+DN=12

(r1+r2) , 而 EF=EB+BC+CF=

(r1+r2) ,利用 EF=MN 可得到关于(r1+r2)的方程,解方程即可. 解答: (1)解:∵菱形 ABCD 边长为 ,∠ABC=120°, ∴△ADC 和△ DBC 都是等边三角形,

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∴菱形的面积=2S△ DBC=2× ×(6 ) =54
2



(2)证明:∵PM 与 PE 都是⊙O2 的切线, ∴PM=PE, 又∵PN 与 PF 都是⊙O1 的切线, ∴PN=PF, ∴PM﹣PN=PE﹣PB,即 EF=MN; (3)解:∵BE 与 BG 都是⊙O2 的切线, ∴BE=BG,∠O2BE=∠O2BG,O2E⊥BE, 而∠EBG=180°﹣∠DBC=180°﹣60°=120°, ∴∠O2BE=60°,∠EO2B=30°, ∴BE= ∴BG= O2E= r2, ﹣ r2, ﹣ r1, r2,

∴DM=DG=6 同理可得 CF=

r1,DN=DH=6 ﹣ r2+6

∴MN=DM+DN=12 ∵EF=EB+BC+CF= 而 EF=MN, ∴6 +

(r1+r2) , + r1=6 + (r1+r2) ,

(r1+r2)=12



(r1+r2) ,

∴r1+r2=9.

点评: 本题考查了圆的综合题:圆的切线垂直于过切点的半径;从圆外一点引圆的两条切线,切线长相等,并且 这个点与圆心的连线平分两切线的夹角;掌握菱形的性质,记住等边三角形的面积等于边长平方的 及含 30°的直角三角形三边的关系. 21. (15 分) (2012?黄冈)如图,已知抛物线的方程 C1:y=﹣ (x+2) (x﹣m) (m>0)与 x 轴相交于点 B、C, 与 y 轴相交于点 E,且点 B 在点 C 的左侧. (1)若抛物线 C1 过点 M(2,2) ,求实数 m 的值; (2)在(1)的条件下,求△ BCE 的面积; (3)在(1)条件下,在抛物线的对称轴上找一点 H,使 BH+EH 最小,并求出点 H 的坐标; (4)在第四象限内,抛物线 C1 上是否存在点 F,使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与△ BCE 相似?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由. 倍以

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考点: 二次函数综合题. 专题: 代数几何综合题;压轴题. 分析: (1)将点(2,2)的坐标代入抛物线解析式,即可求得 m 的值; (2)求出 B、C、E 点的坐标,进而求得△ BCE 的面积; (3)根据轴对称以及两点之间线段最短的性质,可知点 B、C 关于对称轴 x=1 对称,连接 EC 与对称轴的 交点即为所求的 H 点,如答图 1 所示; (4)本问需分两种情况进行讨论: ①当△ BEC∽△BCF 时,如答图 2 所示.此时可求得 m= +2; ②当△ BEC∽△FCB 时,如答图 3 所示.此时可以得到矛盾的等式,故此种情形不存在. 解答: 解: (1)依题意,将 M(2,2)代入抛物线解析式得:
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2=﹣ (2+2) (2﹣m) ,解得 m=4.

(2)令 y=0,即

(x+2) (x﹣4)=0,解得 x1=﹣2,x2=4,

∴B(﹣2,0) ,C(4,0) 在 C1 中,令 x=0,得 y=2, ∴E(0,2) . ∴S△ BCE= BC?OE=6.

(3)当 m=4 时,易得对称轴为 x=1,又点 B、C 关于 x=1 对称. 如解答图 1,连接 EC,交 x=1 于 H 点,此时 BH+EH 最小(最小值为线段 CE 的长度) . 设直线 EC:y=kx+b,将 E(0,2) 、C(4,0)代入得:y= 当 x=1 时,y= ,∴H(1, ) . x+2,

(4)分两种情形讨论: ①当△ BEC∽△BCF 时,如解答图 2 所示. 则
2



∴BC =BE?BF. 由函数解析式可得:B(﹣2,0) ,E(0,2) ,即 OB=OE,∴∠EBC=45°, ∴∠CBF=45°, 作 FT⊥x 轴于点 T,则∠BFT=∠TBF=45°, ∴BT=TF. ∴可令 F(x,﹣x﹣2) (x>0) ,又点 F 在抛物线上, ∴﹣x﹣2=﹣ (x+2) (x﹣m) , ∵x+2>0,

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∵x>0, ∴x=2m,F(2m,﹣2m﹣2) . 此时 BF=
2

=2

(m+1) ,BE=

,BC=m+2,

又∵BC =BE?BF, 2 ∴(m+2) = ? (m+1) , ∴m=2± , ∵m>0, ∴m= +2. ②当△ BEC∽△FCB 时,如解答图 3 所示. 则
2



∴BC =EC?BF. ∵△BEC∽△FCB ∴∠CBF=∠ECO, ∵∠EOC=∠FTB=90°, ∴△BTF∽△COE, ∴ , (x+2) ) (x>0)

∴可令 F(x,

又∵点 F 在抛物线上, ∴ (x+2)=﹣ (x+2) (x﹣m) ,

∵x>0, ∴x+2>0, ∴x=m+2, ∴F(m+2,
2

(m+4) ) ,EC=

,BC=m+2,

又 BC =EC?BF, ∴(m+2) =
2

?

整理得:0=16,显然不成立. 综合①②得,在第四象限内,抛物线上存在点 F,使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与△ BCE 相似, m= +2.

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点评: 本题涉及二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称﹣最小路径问题等重要知识点,难度 较大.本题难点在于第(4)问,需要注意分两种情况进行讨论,避免漏解;而且在计算时注意利用题中条 件化简计算,避免运算出错.


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