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高中数学课时作业20同角三角函数的基本关系北师大版必修4

高中数学课时作业 20 同角三角函数的基本关系北师大版必修 4

|基础巩固|(25 分钟,60 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

1.已知 α 是第二象限角,且 cosα =-,则 tanα 的值是( )

A.

B.-1123

C.

D.-152

解析:∵α 为第二象限角,∴sinα ===,∴tanα ===-.

答案:D

2.下列结论中成立的是( )

A.sinα =且 cosα =12

B.tanα =2 且=13

C.tanα

=1



cosα

=±

2 2

D.sinα =1 且 tanα ·cosα =1

解析:A 中,sin2α +cos2α =≠1,故不成立;B 中,=,即

tanα =3,与 tanα =2 矛盾,故不成立;D 中,sinα =1 时,角 α

的终边落在 y 轴的非负半轴上,此时 tanα 无意义,故不成立.

答案:C

3.已知 tanα =2,则=( )

A.-3 B.-1

C.1 D.3

解析:=,把 tanα =2 代入,

得原式=3.

答案:D

4.cos2x=( )

1/4

A.tanx B.sinx

C.cosx D.ta1nx

解析:cos2x=·cos2x=cos2x=.

答案:D

5.已知 sinα -cosα =,α ∈(0,π ),则 tanα =( )

A.-1

B.-

2 2

C. D.1

解析:由 sinα -cosα = ①,两边平方得 1-2sinα cosα =2,

即 2sinα cosα =-1,故(sinα +cosα )2=1+2sinα cosα =0,即

sinα +cosα =0 ②,联立①②得 sinα =,cosα =-,故 tanα =

=-1,故选 A.

答案:A

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

6.若 sinθ =-,tanθ >0,则 cosθ =________.

解析:由已知得 θ 是第三象限角,

所以 cosθ =-=- =-.

答案:-35

7.已知 sinα cosα =,则 sinα -cosα =________.

解析:因为(sinα -cosα )2=1-2sinα cosα =1-2×=0,所

以 sinα -cosα =0.

答案:0

8.已知=2,则 sinα cosα 的值为________.

解析:由=2,得=2,∴tanα =3,∴sinα cosα ===.

答案:130

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)

9.已知 tanα =3,求下列各式的值:

(1);

(2);

(3)sin2α +cos2α .

解析:(1)∵tanα =3,∴cosα ≠0.

原式的分子、分母同除以 cosα ,得

原式===.

(2)原式的分子、分母同除以 cos2α ,得

2/4

原式===-. (3)原式====. 10.证明:·=1. 证明:·c1o+sαcotasαnα =·co1s+α · coscsαionsαα =·1+sicnoαsα ===1.

|能力提升|(20 分钟,40 分)

11.设 A 是△ABC 的一个内角,且 sinA+cosA=,则这个三角形

是( )

A.锐角三角形 B.钝角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

解析:将 sinA+cosA=两边平方得 sin2A+2sinAcosA+cos2A=,

又 sin2A+cos2A=1,故 sinAcosA=-.因为 0<A<π ,所以 sinA>0,

则 cosA<0,即 A 是钝角.

答案:B

12.化简 sin2β +cos4β +sin2β cos2β 的结果是________.

解析:原式=sin2β +cos2β (cos2β +sin2β )

=sin2β +cos2β =1.

答案:1

13.化简:-(α 为第二象限角).

解析:∵α 是第二象限角,

∴cosα <0.

则原式=- =·-1|+cossiαnα|

+sinα 1-sin2α

=+=-1+co1+ sαsinα

==tanα .

14.已知-<x<0,sinx+cosx=,求下列各式的值.

3/4

(1)sinx-cosx; (2). 解析:(1)∵sinx+cosx=, ∴(sinx+cosx)2=2,即 1+2sinxcosx=, ∴2sinxcosx=-. ∵(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1 +=, 又-<x<0,∴sinx<0,cosx>0, ∴sinx-cosx<0, ∴sinx-cosx=-. (2)由已知条件及(1),可知, 解得, ∴==.
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