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三角函数高考题精选

风雨同行
三角函数高考题精选 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分. 以下给出的四个备选答案中,只有一个正确) 1. (08 陕西) sin 330? 等于( A. ? )

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2


D.

3 2
D. 第四象限角

2. (08 全国Ⅱ)若 sin ? A.第一象限角

? 0 且 tan ? ? 0 是,则 ? 是(
B. 第二象限角

C. 第三象限角 )=( ) D. )

3.(09 全国Ⅰ)已知 tan a =4,cot ? = A.

1 ,则 tan(a+ ? 3
C.

7 11

B. ?

7 11

7 13

?

7 13

4.(10 陕西)函数

f ( x) ? 2sin x cos x 是最小正周期为(

A. 最小正周期为 2π 的奇函数 C. 最小正周期为 ? 的奇函数 5.(08 宁夏)函数 A. -3,1

B. 最小正周期为 2π 的偶函数 D. 最小正周期为 ? 的偶函数

) f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为( 3 3 B. -2,2 C. -3, D. -2, 2 2

6.(09 辽宁)已知 tan ? A.

? 2 ,则 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos2 ? ? (
B.



?

4 3

5 4

C. ?

3 4

D.

4 5


7.(09 福建)已知锐角 ?ABC 的面积为 3 A. 75° 8.(09 湖北)“sin ? = B. 60°

3 , BC ? 4, CA ? 3 ,则角 C 的大小为(
C. 45° ) C.充分必要条件 D.30°

1 1 ”是“ cos 2? ? ”的( 2 2
B.必要而不充分条件

A.充分而不必要条件

D.既不充分也不必要条件 )

9.(10 重庆)下列函数中,周期为 ? ,且在 [ A.

? ?

y ? sin(2 x ? ) 2

?

, ] 上为减函数的是( 4 2

B.

y ? cos( x ? ) 2
10. (10 上海)若△ ABC 的三个内角满足 sin A.一定是锐角三角形. C.一定是钝角三角形. 11. (08 天津)把函数

?

y ? cos(2 x ? ) 2

?

C.

y ? sin( x ?

?
2

)

D.

A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC (
B.一定是直角三角形. D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.



y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动
1 2

? 个单位长度,再把所得图 3


象上所有点的横坐标缩短到原来的

倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是(

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A.

?? ? y ? sin ? 2 x ? ?,x ? R 3? ?
? ? ? 3?

B. y ? sin ?

x ?? ? ? ?,x ? R ?2 6?

C. y ? sin ? 2 x ? ? ?,x ? R 12.(09 四川)已知函数

D. y ? sin ? 2 x ? ?? ?,x ? R ? ? 3 ? ?

f ( x) ? sin( x ? )( x ? R ) ,下面结论错误的是( 2
B. 函数

?



A.函数

f ( x) 的最小正周期为 2? f ( x) 的图像关于直线 x ? 0 对称

? ?? f ( x) 在区间 ?0, ? 上是增函数 ? 2?
f ( x) 是奇函数

C. 函数

D. 函数

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上) 13.(08 北京)若角 a 的终边经过点 P(1,-2),则 tan 2a 的值为 14. (09 北京)若 sin ? . .

4 ? ? , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? 5

15.(09 辽宁)已知函数

f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0)
.

的图象如图所示,则 ? = 16.(10 北京)在 ?ABC 中.若 b

? 1 , c ? 3 , ?c ?

2? 3

,则 a=

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分, 天津 17) 06 已知 tan ? 的值.

? cot ? ?

5 π ?π π? ,? ? ? , ? . c s2 ? 和 sin(2? ? ) 求 o 2 4 ?4 2?

18. ( 本题满分 12 分,05 福建 17) 已知 ?

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

1 . 5
的值.

(Ⅰ)求 sin

x ? cos x 的值;

(Ⅱ)求

sin 2 x ? 2 sin 2 x 1 ? tan x

19. (本题满分 12 分,08 陕西 17)已知函数 (Ⅰ)求函数

x x x f ( x) ? 2sin cos ? 3 cos . 4 4 2

f ( x) 的最小正周期及最值;

(Ⅱ)令 g ( x)

π? ? ? f ? x ? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3? ?

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20 .( 本 题 满 分 12 分 , 09 陕 西 17 ) 已 知 函 数

f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R

(其中

A ? 0 , ? 0 ,?0? ? ?

?
2



的周期为 ? ,且图象上一个最低点为 M ( (Ⅰ)求

2? , ?2) . 3
(Ⅱ)当 x ? [0,

f ( x) 的解析式;

?
12

] ,求 f ( x) 的最值.

21. (本题满分 12 分,08 全国Ⅱ17)在 △ ABC 中, cos (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)设 BC

A??

5 3 , cos B ? . 13 5

? 5 ,求 △ ABC 的面积.

22.(本题满分 12 分,10 全国Ⅰ18)已知△ABC 的内角 A , B 及其对边 a , b 满足

a ? b ? a cot A ? b cot B ,求内角 C .

参考答案: 一、选择题答题卡: 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 C 5 C 6 D 7 B 8 A 9 A 10 C 11 C 12 D

二、填空题

13.

4 3

.

14. ?

3 . 5

15.

3 2

.

16. 1.

三、解答题 17.解法一:由 tan ?

? cot ? ?

5 sin ? cos ? 5 ,得 ? ? ,则 2 cos ? sin ? 2

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2 5 4 ? ,sin 2? ? . sin ? 2 5
因为 ?

? ( , ), 所以 2? ? ( , ? ), 4 2 2 3 cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? , 5

? ?

?

sin(2? ? ) ? sin 2? .cos ? cos 2? .sin 4 4 4

?

?

?

?

4 2 3 2 2 ? ? ? ?. 5 2 5 2 10

18. 解法一: (Ⅰ)由 sin x ? cos 整理得 又? ? 故

?
2

1 1 x ? , 平方得 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ? , 5 25 24 49 2 sin x cos x ? ? . ? (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2 sin x cos x ? . 25 25 ? x ? 0,? sin x ? 0, cos x ? 0, sin x ? cos x ? 0,

7 sin x ? cos x ? ? . 5
? 24 1 ? 25 5 ? ? 24 . 7 175 5

2 (Ⅱ) sin 2 x ? 2 sin x ? 2 sin x(cos x ? sin x) ? 2 sin x cos x(cos x ? sin x) ? sin x 1 ? tan x cos x ? sin x 1? cos x

3 4 3 2 ? (? ) ? ? 2(? ) 2 sin 2 x ? 2 sin x 2 sin x cos x ? 2 sin x 5 5 5 ? ? 24 . (Ⅱ) ? ②? sin x 3 1 ? tan x 175 1? 1? cos x 4
2 2



19.解: (Ⅰ)?

x x ? x π? f (x) ? sin ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 2 ?2 3?

? f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? 4π . 1 2

当 sin ?

? x π? ? x π? ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ? 1 时, f ( x) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3? π? ? x π? ? f ( x) ? 2sin ? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ?2 3? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

x ?1 ? π ? π? ? x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 2 3 ? 3? ?2 2? ?2 ?

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∵ g (? x) ? 2cos ? ?

x ? x? ? ? 2cos ? g ( x) .? 函数 g ( x) 是偶函数. 2 ? 2?

20.解: (Ⅰ)由最低点为 M (

2? , ?2)得A ? 2 . 3 2? 2? ? ?2. 由 T ? ? 得? ? T ? 2? 4? 4? , ?2) 在图像上得 2sin( ? ? ) ? ?2 即 sin( ? ? ) ? ?1 . 由点 M ( 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? ? 2k? ? 即? ? 2k? ? ,k ? Z , 3 2 6
又 ? ? (0,

?

2

) ,? ? ?

?

6

.?

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . 6

?

(Ⅱ)? x ?

? ? ? ? ? ?? ?0, 12?,即0 ? x ? 12 ,? 6 ? 2 x ? 6 ? 3 . ? ?
?
6 ,即x ? 0时,f ( x)取得最小值1;

?当2x+ 当2x+

?
6 ?

?

?
6

?
3

, 即x ?

?
12

时,f ( x)取得最大值 3 .

5 12 ,得 sin A ? , 13 13 3 4 由 cos B ? ,得 sin B ? . 5 5
21.解: (Ⅰ)由 cos

A??

所以 sin C

? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

16 . 65

4 BC ? sin B 5 ? 13 . (Ⅱ)由正弦定理得 AC ? ? 12 sin A 3 13 1 1 13 16 8 ? ? . 所以 △ ABC 的面积 S ? ? BC ? AC ? sin C ? ? 5 ? 2 2 3 65 3 a b ? ? 2 R,? a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B. 22.解:? sin A sin B 5?
又? a ? b ? a cot 整理得: sin 即

A ? b cot B ,? 2 R sin A ? 2 R sin B ? 2 R sin A cot A ? 2 R sin B cot B .

A ? cos A ? cos B ? sin B .

2 sin( A ?

?
4

) ? 2 sin(

?
4 ?

- B) .

?A?

?
4

?

?
?
4

? B或 A?
,从而 C

?
?
4

?
4

? B ? ? (舍).

?A?B ?

2

?

2

. 补充练习:三角函数全章测试

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一、选择题(每题 5 分,共 60 分)

1.若角α 的终边落在直线 y=-x 上,则 A.0 C.-2

sin ? 1 ? sin 2 ?
B.2

?

1 ? cos 2 ? cos ?

的值等于(



D.2tgα )

2.设θ ∈(0,2π ) ,若 sinθ <0 且 cos2θ <0,则θ 的取值范围是( A. ? C.

3 ?? ? ? 2

B.

3 ? ? ? ? 2? 2

5 7? ? ?? ? 4 4 ? 3 ?? ? ? D. 4 4


3.函数 A. [ k?

y ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 1 的定义域是(

5? 11 ? , k? ? ? ] (k∈Z)B. [ k? , k? ? ] (k∈Z) 12 12 3 ? ? ? ? C. [k? ? , k? ? ] (k∈Z)D. [ k? ? , k? ? ] (k∈Z) 6 2 12 4 2? 3? 2 ?x? ) 的值域是( 4.函数 y ? 1 ? 4 cos x ? 4 sin x ( ? 3 4 ?
A.[0,8] C. [?3,2 B.[-3,5]



2 ? 1]

D.[-4,5]

5.已知α ,β ∈ ( A.α +β <π C. ?

?
2

, ? ) ,cosα
B. ?

+sinβ >0,则(



?? ?

3? 2

3? 2 3? D. ? ? ? ? 2 ?? ?
且α ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根, B. , ∈ (? β

6. 已知 tanα , tanβ 是方程 x A.

2

? ?

? 3

C. ?

?
3

? 3

, ), 则α 2 2

+β 等于 (



或?

2 ? 3



2 ? 3

D. ?

2 ? 3 x x ? cot ④y=sin|x|,其中周期是π ,且 2 2

7.有四个函数:① 在 (0,

y ? sin 2 x ②y=|sinx|③ y ? tan
) B.2 D.4

?
2

) 上是增函数的函数个数是(

A.1 C.3 8.函数 A.π

x y ? sin x(1 ? tan x tan ) 的最小正周期是( 2
B.2π



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C.

? 2
? 2 2
是 tanx=1 成立的( )

D.

3? 2

9. sin x

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件

10.设 a

?

2 tan 13 ? 1 3 1 ? sin 40? ,c ? 则( cos6? ? sin 6? , b ? 2 1 ? tan 13 ? 2 2 2
B.a<c<b D.c<b<a



A.a<b<c C.b<c<a 11.把函数 小值是( ) B.

y ? cos x ? 3 sin x 的图象向左平移 m 个单位,所得的图象关于 y 轴对称,则 m 的最

? 6 2? C. 3
A. 12.已知函数 值是( A.5 C. )

? 3

D.π

y1 ? 3 sin( 2 x ? ) , y 2 ? 4 sin( 2 x ? ) ,那么函数 y ? y1 ? y2 的振幅 3 3
B.7

?

?

A 的

13

D.13

二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 13.函数

y ? tan( x ?

?
4

)?

1 的最小正周期是_____________。 cos 2 x
,α ,β ∈R,则
2 2 co s ? ? co s ?

14 . 已 知

3si n2 ? ? 2 si n2 ? ? 5 si n?

的取值范围是

_____________。 15.已知函数 y=Asin(ω x+ ? ) (A>0,ω >0,0≤ ? <2π )的图象如图 4-5 所示,则这个函数的 解析式为 y=_____________。

16.给出以下五个命题:①存在实数α ,使 sinα cosα =1;②存在实数α ,使 sin ?

? cos ? ?

3 ; 2

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③函数

y ? sin(

5? ? ? x) 是偶函数;④直线 x ? 2 8

是函数

y ? sin( 2 x ?

5? ) 的图象的一条对称轴;⑤ 4

若α ,β 都是第一象限角,且α >β ,则 tanα >tanβ ,其中正确的命题序号是_____________。 三、解答题(共 74 分)

17.若 sinα cosα <0,sinα tanα <0。化简:

1 ? sin 1 ? sin

? ?
2 ? 2

1 ? sin 1 ? sin

? ?
(10 分) 2 。

2

18.已知函数

f ( x) ? 2 cos x sin(x ?

?
3

) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 。

(1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最大值与最小值; (3)求 f(x)图象的对称轴; (4)求 f(x)的递增区间。 (12 分) 19.设 sin ?

? cos? ?

2 3



?
2

?? ??

。求:

(1) sin

3

? ? cos3 ? ;
?

(2)tanθ -cotθ 。 (12 分)

1 1 , tan ? ? ? 且α ∈(0,π ) ∈(0,π ) ,β ,求 2α -β 的值。 (12 分) 3 7 ? 3 ? 5 ? ? ( ? ? ? ? ,0 ? ? ? ) ,求 cos(α +β ) 21.已知 cos( ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? 2 5 2 13 2 2
20.已知 tan ? 的值。 (14 分) 22.已知奇函数 f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有意义,且在(0,+∞)上是增函数,f(1)=0, 又函数 g (? )

? 若集合 M={m|g (θ ? sin 2 ? ? m cos? ? 2m , m∈ [0, ] , 2

) <0=, 集合 N={m|f[g (θ ) ]

<0},求 M∩N。 (14 分) 参考答案 一、1.A 2.B 3.C 4.D 5.D6.D 7.C 8.A 9.D 10.B

11.C12.C 二、13. ? 14. [ 三、17.因为 sinα cosα <0 所以α 为第二象限角,即 2k? 即

5 11 ,2] ? {0} 15. 2 3 sin( 2 x ? ? ) 16.③④ 9 6
sinα tgα <0,

?

?
2

? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) ,故 k? ?

?
4

?

?
2

? k? ?

?
2



? 是第一或第三象限角, 2
原式 ?

(1 ? sin 1 ? sin

?
2
2

)2 2

?

?

(1 ? sin 1 ? sin

?
2
2

)2

?
2

?

2 | cos

?
2



|

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? ? ? 是第一象限角时,原式= 2 sec ,当 是第三象限角时, 2 2 2 ? 原式 ? ?2 sec 。 2 ? 18. f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? ) 。 3 2? ?? ; (1) T ? 2
当 (2)A=2,故 (3)由 2 x ?

f ( x) max ? 2 , f ( x) min ? ?2 ;

?
3

? k? ?

?
2



k? ? k? ? ? (k ? Z ) ,即 f(x)的对称轴是直线 x ? ? (k ? Z ) 。 2 12 2 12 5? ? ? ? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) , (4)由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 得 k? ? 12 12 2 3 2 5? ? , k? ? ] (k∈Z) 即 f(x)的递增区间是 [ k? ? 12 12 x?
19.因为 sin ? 故 1 ? 2 sin ?

? cos? ?

2 3



cos ? ?

2 7 , sin ? cos ? ? ? , 9 18

故 sin

3

? ? cos3 ? ? (sin? ? cos? )(1 ? sin ? cos? ) ?
,sinθ >0 cosθ <0,所以 sinθ -cosθ >0,

2 7 25 (1 ? ) ? 2。 3 18 54



?
2

?? ??

而 (sin ?

? cos ? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? 1 ?

7 16 4 ? ,所以 sin ? ? cos ? ? , 9 9 3

tg? ? ctg? ?

sin ? cos? sin 2 ? ? cos2 ? ? ? cos? sin ? sin ? cos?

2 4 ? (sin? ? cos? )(sin? ? cos? ) 8 ? ? 3 3 ?? 2 7 sin ? cos? 7 ? 18
20.因为 tan ?

?

1 , 3

所以 tan 2?

?

2 tan? 3 tan2? ? tan ? ? ? tan(2? ? ? ) ? ?1 2 1 ? tan2? tan ? 1 ? tan ? 4
<π 故 0

又 tan ?

?

1 ,0<α 3

?? ?

?
6

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再由 tan ∴

? ??

1 ,0<β 7

<π 知

? ? ? 2? ? ? ? ?
3? 4

?
2

5? ? ? ?? 6 (?? ,? ) 2

, 在

?

上 只 有 一 个

?

3? 4

的 正 切 值 等 于 1 。

? 2? ? ? ? ?

21.由已知得

?
4

2 ? 4 ? 12 故 sin(? ? ) ? , cos( ? ? ) ? 。 2 5 2 13 ??? ? ? 从而 cos ? cos[(? ? ) ? ( ? ? )]
2

?? ?

?
2

?? ,?

?
4

?

?

?? ?

?
2



? cos( ? ?
所以 cos( ?

?
2

) cos(

?
2

2

2

? ? ) ? sin(? ?

?
2

) sin(

?
2

? ?) ? ?

? ? ) ? 2 cos 2

???
2

16 , 65

?1 ? ?

3713 4225



22.依题意,f(-1)=-f(1)=0,又 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以 f(x)在(-∞,0)上也是增函数, 因此,由 f(x)<0 得 x<-1 或 0<x<1。 所以 N={m | f[g(θ )]<0}={m | g(θ )<-1 或 0<g(θ )<1}, M∩N={m | g(θ )<-1}, 由 g(θ )<-1 得 sin 即 m(cos?
2

? ? m cos? ? 2m ? ?1 ,

? 2) ? cos2 ? ? 2 ,

所以 m

?

cos2 ? ? 2 2 ? cos? ? 2 ? ? 4, cos? ? 2 cos? ? 2

设 cosθ -2=t,则当 ?

? [0, ] 时,t∈[-2,-1], 2 2 2 t ? ? ?2 2 (可以证明 y ? t ? 在 [?2,? 2 ] 上是增函数, t t
。 2,?1] 上是减函数,由此知 t ? ? 2 时可以取到等号)

?

在 [?

从而 cos ? 所以 m ?

?2?

2 cos? ? 2

?4?4?2 2 。

4?2 2 即

M ? N ? {m | m ? 4 ? 2 2} 。

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