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成才之路·人教A版数学选修2-3 3.1 备选


选修 2-3
^ A.y=-10x+200 ^ C.y=-10x-200 [答案] A [解析] 本题主要考查变量的相关性.

第三章

3.1
)

1.某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可能是( ^ B.y=10x+200 ^ D.y=10x-200

由负相关的定义排除 B,D,由 x=1 时,y>0 排除 C. 2.在某种产品表面进行腐蚀刻线试验,得到腐蚀深度 y 与腐蚀时间 x 的一组数据如下 表所示:

x(秒) y(微米) (1)画出数据的散点图;

5 6

10 10

15 11

20 13

30 16

40 17

50 19

60 23

(2)根据散点图,你能得出什么结论. [解析] (1)如图所示:

(2)结论:设 x 与 y 是具有相关关系的两个变量,且相应于 n 组观测值的 n 个点大致分 布在一条直线附近, 其中整体上与这 n 个点最接近的一条直线最能代表变量 x 与 y 之间的关 系. 3. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生 产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据. x y (1)请画出上表数据的散点图;
^ ^ (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=bx+a;

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(3)已知该 厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤,试根据(2)求出的线性回 归方程, 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值: 3×2.5 +4×3+5×4+6×4.5=66.5) [解析] (1)由题设所给数据,可得散点图如图:

(2)由对照数据,计算得 ?x2 i =86, x =
i=1

4

3+4+5+6 2.5+3+4+4.5 =4.5, y = =3.5, 4 4
4

已 知 ?x iyi = 66.5 , 所 以 , 由 最 小 二 乘 法 确 定 的 回 归 方 程 的 系 数 b =
i=1

4

^

i=1

?xiyi-4 x ?x2 i -4 x
4 2

y =

i=1 ^ 66.5-4×4.5×3.5 ^ =0.7,a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35. 2 86-4×4.5

因此,所求的线性回归方程为 y=0.7x+0.35. (3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗,知降低的生产能耗为 90- (0.7×100+0.35)=19.65(吨标准煤). [点评] (1)本题主要考查最小二乘法求线性回归方程和数据处理、 运算求解能力及应用 意识.(2)求回归直线方程的一般步骤:一检验,二系数,三方程,四预测. 4.在一段时间内,某种商品价格 x(万元)和需求量 y(t)之间的一组数据为: 价格 x 需求量 y (1)画出散点图; (2)求出 y 对 x 的回归直线方程,并在(1)的散点图中画出它的图象; (3)若价格定为 1.9 万元,预测需求量大约是多少?(精确到 0.01t) [解析] (1) 1.4 12 1.6 10 1.8 7 2 5 2.2 3

^ ^ (2)采用列表的方法计算a与回归系数b.

序号 1

x 1.4

y 12

x2 1.96

xy 16.8

2 3 4 5 ∑

1.6 1.8 2 2.2 9

10 7 5 3 37

2.56 3.24 4 4.84 16.6

16 12.6 10 6.6 62

1 1 x = ×9=1.8, y = ×37=7.4, 5 5
^

b=

62-5×1.8×7.4 ≈-11.5, 16.6-5×1.82

^ a=7.4+11.5×1.8=28.1, ^ ^ ^ y 对 x 的回归直线方程为y=a+bx=28.1-11.5x. (3)当 x=1.9 时,y=28.1-11.5×1.9=6.25, 所以价格定为 1.9 万元,需求量大约是 6.25(t).


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