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2017年吉林省吉林市高考数学三模试卷(文科)(解析版)


2017 年吉林省吉林市高考数学三模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1. (5 分)设全集 U=R,集合 A={x|x>0},B={x|x2﹣x﹣2<0},则 A∩(?UB)=( A. (0,2] B. (﹣1,2] 2. (5 分)若复数 z= A. B.﹣ C.﹣ i C.[﹣1,2] D.[2,+∞) ) )

,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的虚部是( D. i )

3. (5 分)“直线 y=x+b 与圆 x2+y2=1 相交”是“0<b<1”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. (5 分)函数 f(x)=

满足 f(x)=1 的 x 值为(



A.1

B.﹣1 C.1 或﹣2 D.1 或﹣1 )

5. (5 分)已知| |=1,| |=2,向量 与 的夹角为 60°,则| + |=( A. B. C.1 D.2 +

6. (5 分)已知抛物线 x2=2y 的焦点与椭圆 A.1 B.2 C.3 D.

=1 的一个焦点重合,则 m=(



7. (5 分)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0,两个对称轴间的最短距 离为 A. C. ,直线 是其图象的一条对称轴,则符合条件的解析式是( B. D. ) )

8. (5 分)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为(

1页

A.3

B.4

C.5

D.6 ,B=60°,则△ABC

9. (5 分)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 a=1,b= 的面积为( A. B. ) C.1 D.

10. (5 分)若正实数 x,y 满足 x+2y+2xy﹣8=0,则 x+2y 的最小值( A.3 B.4 C. D.



11. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该 几何体的体积为( )

A.

B.

C.4+2π

D.4+π

12. (5 分)函数 f(x)的定义域为 D,对给定的正数 k,若存在闭区间[a,b]? D,使得函数 f(x)满足:①f(x)在[a,b]内是单调函数;②f(x)在[a,b]上的值域为[ka,kb],则称 区间[a,b]为 y=f(x)的 k 级“理想区间”.下列结论错误的是( A.函数 f(x)=x2(x∈R)存在 1 级“理想区间” B.函数 f(x)=ex(x∈R)不存在 2 级“理想区间” C.函数 f(x)= (x≥0)存在 3 级“理想区间” )

2页

D.函数 f(x)=tanx,x∈(﹣



)不存在 4 级“理想区间”

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. (5 分)设 x,y 满足不等式组 14. (5 分)设 tanα=3,则 ,则 z=﹣2x+y 的最小值为 = . .

15. (5 分) 《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统的介绍了等差 数列,同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题,大意为:某女子善 于织布,后一天比前一天织得快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布 4 尺,半个月 (按 15 天计算)总共织布 81 尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为 .

16. (5 分)函数 y=f(x)图象上不同两点 M(x1,y1) ,N(x2,y2)处的切线的斜率分别是 kM,kN,规定 φ(M,N)= (|MN|为线段 MN 的长度)叫做曲线 y=f(x)在点 M

与点 N 之间的“弯曲度”.设曲线 f(x)=x3+2 上不同两点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,且 x1y1=1, 则 φ(M,N)的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差 d≠0.且 a3+S5=42,a1,a4,a13 成等 比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

18. (12 分)随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信 交流”的态度进行调查,随机抽取了 50 人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人 数如下表. 年龄 (单位: 岁) [15, 25) 频数 赞成人数 5 5 10 10 15 12 10 7 5 2 5 1 [25,35) [35,45) [45,55) [55, 65) [65,75)

(Ⅰ)若以“年龄”45 岁为分界点,由以上统计数据完成下面 2×2 列联表,并判断是否有 99% 的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关;
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年龄不低于 45 岁的人数 赞成 不赞成 合计

年龄低于 45 岁的人数

合计

(Ⅱ)若从年龄在[25,35)和[55,65)的被调查人中按照分层抽样的方法选取 6 人进行追 踪调查,并给予其中 3 人“红包”奖励,求 3 人中至少有 1 人年龄在[55,65)的概率. 参考数据如下: 附临界值表: P(K2≥k) 0.15 k 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

K2 的观测值:k=

(其中 n=a+b+c+d)

19. (12 分)如图,在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面四边形 ABCD 是直角梯形,其中 AB⊥AD,AB=BC=1,AD=2,AA1= .

(Ⅰ)求证:直线 C1D⊥平面 ACD1; (Ⅱ)试求三棱锥 A1﹣ACD1 的体积.

20. (12 分)已知函数 f(x)=

,曲线 y=f(x)在点(e2,f(e2) )处的切线与直线 2x+y=0

垂直(其中 e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)求 f(x)的解析式及单调减区间; (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)﹣ 无零点,求 k 的取值范围. .

21. (12 分)已知动圆 P 与圆 F1: (x+3)2+y2=81 相切,且与圆 F2: (x﹣3)2+y2=1 相内切,记 圆心 P 的轨迹为曲线 C;设 Q 为曲线 C 上的一个不在 x 轴上的动点,O 为坐标原点,过点 F2 作 OQ 的平行线交曲线 C 于 M,N 两个不同的点. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)试探究|MN|和|OQ|2 的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数;若不能,请说明 理由;
4页

(Ⅲ)记△QF2M 的面积为 S1,△OF2N 的面积为 S2,令 S=S1+S2,求 S 的最大值.

四、选做题请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。解 答时请写清题号。选修 4-4:坐标系与参数方程 22. (10 分)以直角坐标系 xOy 的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,且两坐 标系相同的长度单位.已知点 N 的极坐标为( G 满足 = + ,设点 G 的轨迹为曲线 C2. , ) ,M 是曲线 C1:ρ=1 上任意一点,点

(1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)若过点 P(2,0)的直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,且直线 l 与曲线 C2 交于

A,B 两点,求

+

的值.

五、选做题选修 4-5:不等式选讲 23.已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x﹣m|+|x|,m∈N*,存在实数 x 使 f(x)<2 成立. (Ⅰ)求正整数 m 的值; (Ⅱ)若 α>1,β>1,f(x)+f(β)=2,求证: + ≥ .

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2017 年吉林省吉林市高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1. (5 分) (2017?吉林三模)设全集 U=R,集合 A={x|x>0},B={x|x2﹣x﹣2<0},则 A∩(?
UB)=(

) C.[﹣1,2] D.[2,+∞)

A. (0,2] B. (﹣1,2]

【分析】先求出集合 A,B,从而得到 CUB,由此能求出 A∩(?UB) . 【解答】解:∵全集 U=R,集合 A={x|x>0}, B={x|x2﹣x﹣2<0}={x|﹣1<x<2}, ∴CUB={x≤﹣1 或 x≥2}, A∩(?UB)={x|x≥2}=[2,+∞) . 故选:D. 【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意补集、交集定义的合理 运用.

2. (5 分) (2017?吉林三模)若复数 z= A. B.﹣ C.﹣ i D. i

,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的虚部是(



【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z 得答案. 【解答】解:z= = . ,

则复数 z 的虚部是: 故选:B.

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.

3. (5 分) (2017?吉林三模)“直线 y=x+b 与圆 x2+y2=1 相交”是“0<b<1”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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【分析】直线 y=x+b 与圆 x2+y2=1 相交,可得(0,b)在圆内,b2<1,求出﹣1<b<1,即可 得出结论. 【解答】解:直线 y=x+b 恒过(0,b) , ∵直线 y=x+b 与圆 x2+y2=1 相交,∴(0,b)在圆内,∴b2<1,∴﹣1<b<1; 0<b<1 时, (0,b)在圆内,∴直线 y=x+b 与圆 x2+y2=1 相交. 故选:B. 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查四种条件的判断,比较基础.

4. (5 分) (2017?吉林三模)函数 f(x)=

满足 f(x)=1 的 x 值为(



A.1

B.﹣1 C.1 或﹣2 D.1 或﹣1

【分析】利用分段函数分别列出方程求解即可.

【解答】解:函数 f(x)= 当 x≤0 时,2﹣x﹣1=1,解得 x=﹣1, 当 x>0 时, 故选:D. =1,解得 x=1.

满足 f(x)=1,

【点评】本题考查分段函数的应用,函数零点与方程根的关系,考查分类讨论思想的应用以 及计算能力.

5. (5 分) (2017?吉林三模)已知| |=1,| |=2,向量 与 的夹角为 60°,则| + |=( A. B. C.1 D.2 =1×2×cos60°=1,再根据| + |= =



【分析】由题意可得 求得结果

,计算

【解答】解:∵已知| |=1,| |=2,向量 与 的夹角为 60°, ∴ =1×2×cos60°=1, = = ,

∴| + |= 故选:B.

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【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,求向量的模,属于中档题.

6. (5 分) (2017?吉林三模)已知抛物线 x2=2y 的焦点与椭圆 m=( A.1 ) B.2 C.3 D.

+

=1 的一个焦点重合,则

【分析】求出抛物线的焦点坐标,椭圆的焦点坐标重合,求解 m 即可. 【解答】解:抛物线 x2=2y 的焦点(0, )与椭圆 可得 解得 m= . 故选:D. 【点评】本题考查椭圆的简单性质以及抛物线的简单性质的应用,考查计算能力. , + =1 的一个焦点(0, )重合,

7. (5 分) (2017?吉林三模)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0,两个 对称轴间的最短距离为 A. C. B. D. , 直线 是其图象的一条对称轴, 则符合条件的解析式是 ( )

【分析】由题意可得 A+m=4,A﹣m=0,解得 A 和 m 的值,再根据周期求出 ω,根据函数图 象的对称轴及 φ 的范围求出 φ,从而得到符合条件的函数解析式. 【解答】解:由题意 m=2. A=±2, 再由两个对称轴间的最短距离为 ,可得函数的最小正周期为 π 可得 ,解得 ω=2,

∴函数 y=Asin(ωx+φ)+m=±2sin(2x+φ)+2. 再由 是其图象的一条对称轴,可得 +φ=kπ+ )+2, ,k∈z,即 φ=kπ ,故可取 φ= ,

故符合条件的函数解析式是 y=﹣2sin(2x+ 故选 B

【点评】本题主要考查利用 y=Asin(ωx+?)的图象特征,由函数 y=Asin(ωx+?)的部分图象 求解析式,属于中档题.
8页

8. (5 分) (2011?天津)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为(



A.3

B.4

C.5

D.6

【分析】通过程序框图的要求,写出前四次循环的结果得到输出的值. 【解答】解:该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1,a=2; 经第二次循环得到 i=2,a=5; 经第三次循环得到 i=3,a=16; 经第四次循环得到 i=4,a=65 满足判断框的条件,执行是,输出 4 故选 B 【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环结果,找规律.

9. (5 分) (2017?吉林三模)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 a=1,b= B=60°,则△ABC 的面积为( A. B. C.1 D. )



【分析】由已知利用正弦定理可得 sinA=

= ,结合大边对大角可求 A,进而利用三角形

内角和定理可求 C,利用三角形面积公式即可计算得解. 【解答】解:∵a=1,b= ∴由正弦定理可得:sinA= ∵a<b,A<60°, ∴A=30°,C=180°﹣A﹣B=90°,
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,B=60°, = = ,

∴S△ABC= ab= 故选:B.

=



【点评】本题主要考查了正弦定理,大边对大角,三角形内角和定理,三角形面积公式在解 三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.

10. (5 分) (2017?吉林三模)若正实数 x,y 满足 x+2y+2xy﹣8=0,则 x+2y 的最小值( A.3 B.4 C. D.



【分析】正实数 x,y 满足 x+2y+2xy﹣8=0,利用基本不等式的性质可得 x+2y+( ≥0,设 x+2y=t>0,即可求出 x+2y 的最小值. 【解答】解:∵正实数 x,y 满足 x+2y+2xy﹣8=0, ∴x+2y+( 设 x+2y=t>0, ∴t+ t2﹣8≥0, ∴t2+4t﹣32≥0, 即(t+8) (t﹣4)≥0, ∴t≥4, 故 x+2y 的最小值为 4, 故选:B. )2﹣8≥0,

)2﹣8

【点评】本题考查了不等式的解法、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题.

11. (5 分) (2017?吉林三模)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何 体的三视图,则该几何体的体积为( )

A.

B.

C.4+2π

D.4+π
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【分析】几何体是三棱柱与半圆柱的组合体,根据三视图判断三棱柱的高及底面为等腰直角 三角形的相关几何量的数据,判断半圆柱的高及底面半径,把数据代入棱锥与圆柱的体积公 式计算可得. 【解答】解:由三视图知:几何体是三棱柱与半圆柱的组合体, 且三棱柱与半圆柱的高都是 2,三棱柱的一侧面为圆柱的轴截面, 三棱柱的底面为等腰直角三角形,且腰长为 2, 半圆柱的底面半径为 1, ∴几何体的体积 V= ×2×22+ ×π×12×2=4+π. 故选:D. 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应 的几何量是关键.

12. (5 分) (2017?吉林三模)函数 f(x)的定义域为 D,对给定的正数 k,若存在闭区间[a, b]? D,使得函数 f(x)满足:①f(x)在[a,b]内是单调函数;②f(x)在[a,b]上的值域 为[ka,kb],则称区间[a,b]为 y=f(x)的 k 级“理想区间”.下列结论错误的是( A.函数 f(x)=x2(x∈R)存在 1 级“理想区间” B.函数 f(x)=ex(x∈R)不存在 2 级“理想区间” C.函数 f(x)= (x≥0)存在 3 级“理想区间” , )不存在 4 级“理想区间” )

D.函数 f(x)=tanx,x∈(﹣

【分析】A、B、C 中,可以找出定义域中的“理想区间”,从而作出正确的选择.D 中,假设存 在“理想区间”[a,b],会得出错误的结论. 【解答】解:A 中,当 x≥0 时,f(x)=x2 在[0,1]上是单调增函数,且 f(x)在[0,1]上的 值域是[0,1], ∴存在 1 级“理想区间”,原命题正确; B 中,当 x∈R 时,f(x)=ex 在[a,b]上是单调增函数,且 f(x)在[a,b]上的值域是[ea, eb], ∴不存在 2 级“理想区间”,原命题正确; C 中,因为 f(x)= = 在(0,1)上为增函数.

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假设存在[a,b]? (0,1) ,使得 f(x)∈[3a,3b]则有

,所以命题正确;

D 中,若函数(a>0,a≠1) .不妨设 a>1,则函数在定义域内为单调增函数, 若存在“4 级理想区间”[m,n], 则由 m,n 是方程 tanx=4x,x∈(﹣ 由于该方程不存在两个不等的根, 故不存在“4 级理想区间”[m,n], ∴D 结论错误 故选:D 【点评】本题考查了新定义下的函数的性质与应用问题,解题时应理解新定义中的题意与要 求,转化为解题的条件与结论,是易错题. , )的两个根,

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. (5 分) (2017?吉林三模)设 x,y 满足不等式组 6 . ,则 z=﹣2x+y 的最小值为 ﹣

【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据 z 的几何意义,利用数形结合即可得到结论. 【解答】解:不等式组对应的平面区域如图: 由 z=﹣2x+y 得 y=2x+z, 平移直线 y=2x+z,则由图象可知当直线 y=2x+z 经过点 A 时,直线 y=2x+z 的截距最小, 此时 z 最小,由 此时 z=﹣2×4+2=﹣6, 故答案为:﹣6. ,解得 ,即 A(4,2) ,

【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据 z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关
12 页

键.

14. (5 分) (2017?吉林三模)设 tanα=3,则

=

2



【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系化简所给的式子,可得结果. 【解答】解:∵tanα=3,则 = =

=

=

=2,

故答案为:2. 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用,属于基础题.

15. (5 分) (2017?吉林三模) 《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中 系统的介绍了等差数列,同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题, 大意为:某女子善于织布,后一天比前一天织得快,而且每天增加的数量相同,已知第一天 织布 4 尺,半个月(按 15 天计算)总共织布 81 尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的 答案为 .

【分析】每天增加的数量为 d 尺,利用等差数列前 n 项和公式列出方程组,能求出公差 d. 【解答】解:每天增加的数量为 d 尺, 由题意得: , 解得 d= . 故答案为: . 【点评】本题考查等差数列的公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的 性质的合理运用.

16. (5 分) (2017?吉林三模)函数 y=f(x)图象上不同两点 M(x1,y1) ,N(x2,y2)处的切 线的斜率分别是 kM,kN,规定 φ(M,N)= (|MN|为线段 MN 的长度)叫做曲线

y=f(x)在点 M 与点 N 之间的“弯曲度”.设曲线 f(x)=x3+2 上不同两点 M(x1,y1) ,N(x2,

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y2) ,且 x1y1=1,则 φ(M,N)的取值范围是 (0, 【分析】利用定义,再换元,即可得出结论. 【解答】解:曲线 f(x)=x3+2,则 f′(x)=3x2, 设 x1+x2=t(|t|>2) ,则 φ(M,N)= =







∴0<φ(M,N)< 故答案为: (0 , )



【点评】本题考查新定义,考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档 题.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (12 分) (2017?吉林三模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差 d≠0.且 a3+S5=42, a1,a4,a13 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

【分析】 (Ⅰ)设数列{an}的首项 a1,利用等差数列{an}的前 n 和为 Sn,a1,a4,a13 成等比数 列.列出方程,求出首项与公差,即可求解通项公式. (Ⅱ)化简 ,利用裂项消项法求解 Tn 即可.

【解答】 (Ⅰ)解:设数列{an}的首项 a1…(1 分) 因为等差数列{an}的前 n 和为 Sn,a3+S5=42,a1,a4,a13 成等比数列. 所以 …(3 分)

又公差 d≠0 所以 a1=3,d=2…(5 分) 所以 an=a1+(n﹣1)d=2n+1…(6 分) (Ⅱ)解: 因为 = ,所以 …(9 分)
14 页

…(8 分)

则 Tn=b1+b2+b3+…bn= = …(12 分)

…(10 分)

【点评】本题考查数列求和数列的应用,考查转化思想以及计算能力.

18. (12 分) (2017?吉林三模)随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某 机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了 50 人,他们年龄的频数分布及对“使用 微信交流”赞成人数如下表. 年龄 (单位: 岁) [15, 25) 频数 赞成人数 5 5 10 10 15 12 10 7 5 2 5 1 [25,35) [35,45) [45,55) [55, 65) [65,75)

(Ⅰ)若以“年龄”45 岁为分界点,由以上统计数据完成下面 2×2 列联表,并判断是否有 99% 的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关; 年龄不低于 45 岁的人数 赞成 不赞成 合计 (Ⅱ)若从年龄在[25,35)和[55,65)的被调查人中按照分层抽样的方法选取 6 人进行追 踪调查,并给予其中 3 人“红包”奖励,求 3 人中至少有 1 人年龄在[55,65)的概率. 参考数据如下: 附临界值表: P(K2≥k) 0.15 k 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 年龄低于 45 岁的人数 合计

K2 的观测值:k=

(其中 n=a+b+c+d)

【分析】 (Ⅰ)根据条件得 2×2 列联表,求出 K2,与临界值比较,即可得出结论; (Ⅱ)利用列举法确定基本事件,即可得出结论. 【解答】 (Ⅰ)解:根据条件得 2×2 列联表: 年龄不低于 45 岁的人数 赞成 不赞成 10 10 年龄低于 45 岁的人数 27 3
15 页

合计 37 13





20

30

50

…(3 分) 根据列联表所给的数据代入公式得到: 所以有 99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关; (Ⅱ)解:按照分层抽样方法可知:[55,65)抽取: [25,35)抽取: (人) (人) ; …(8 分) …(5 分) …(6 分)

在上述抽取的 6 人中,年龄在[55,65)有 2 人,年龄[25,35)有 4 人. 年龄在[55,65)记为(A,B) ;年龄在[25,35)记为(a,b,c,d) ,则从 6 人中任取 3 名 的所有情况为: (A,B,a) 、 (A,B,b) 、 (A,B,c) 、 (A,B,d) 、 (A,a,b) 、 ( A, a, c ) 、 (A,a,d) 、 (A,b,c) 、 (A,b,d) 、 (A,c,d) 、 (B,a,b) 、 (B,a,c) 、 (B,a,d) 、 (B, b,c) 、 (B,b,d) 、 (B,c,d) 、 (a,b,c) (a,b,d) (a,c,d) (b,c,d)共 20 种情况,… (9 分) 其中至少有一人年龄在[55,65)岁情况有: (A,B,a) 、 (A,B,b) 、 (A,B,c) 、 (A,B,d) 、 (A,a,b) 、 (A,a,c) 、 (A,a,d) 、 (A,b,c) 、 (A,b,d) 、 (A,c,d) 、 (B,a,b) 、 (B, a,c) 、 (B,a,d) 、 (B,b,c) 、 (B,b,d) 、 (B,c,d) ,共 16 种情况. (10 分) 记至少有一人年龄在[55,65)岁为事件 A,则 ∴至少有一人年龄在[55,65)岁之间的概率为 . 【点评】本题考查独立性检验知识的运用,考查概率的计算,属于中档题. …(11 分) …(12 分) …

19. (12 分) (2017?吉林三模)如图,在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面四边形 ABCD 是 直角梯形,其中 AB⊥AD,AB=BC=1,AD=2,AA1= .

(Ⅰ)求证:直线 C1D⊥平面 ACD1; (Ⅱ)试求三棱锥 A1﹣ACD1 的体积.

16 页

【分析】 (Ⅰ)在梯形 ABCD 内过 C 点作 CE⊥AD 交 AD 于点 E,证明 AB⊥AD,AC⊥CD.CC1 ⊥AC,推出 AC⊥C1D,通过 CD1⊥C1D,AC⊥C1D,证明 C1D⊥面 ACD1. (Ⅱ)利用三棱锥 A1﹣ACD1 与三棱锥 C﹣AA1D1 是相同的,求解底面面积,利用 CE 为三棱锥 C﹣AA1D1 的高.求解即可. 【解答】 (Ⅰ)证明:在梯形 ABCD 内过 C 点作 CE⊥AD 交 AD 于点 E,…(1 分) 因为由底面四边形 ABCD 是直角梯形, 所以 AB⊥AD,…(2 分) 又 AB=BC=1, 易知 AE=ED=1,且 ,

所以 AC2+CD2=AD2,所以 AC⊥CD.…(4 分) 又根据题意知 CC1⊥面 ABCD,从而 CC1⊥AC,而 CC1∩CD=C, 故 AC⊥C1D.…(6 分) 因为 CD=AC=AA1=CC1,及已知可得 CDD1C1 是正方形,从而 CD1⊥C1D. 因为 CD1⊥C1D,AC⊥C1D,且 AC∩CD1=C, 所以 C1D⊥面 ACD1.…(8 分) (Ⅱ)解:因三棱锥 A1﹣ACD1 与三棱锥 C﹣AA1D1 是相同的,故只需求三棱锥 C﹣AA1D1 的体 积即可,…(9 分) 而 CE⊥AD,且由 AA1⊥面 ABCD 可得 CE⊥AA1,又因为 AD∩AA1=A, 所以有 CE⊥平面 ADD1A1,即 CE 为三棱锥 C﹣AA1D1 的高. 故 = × ?AA1?A1D1?CE= × × ×2×1= …(12 分) …(11 分)

17 页

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用,几何体的体积的求法,考查转化思想 以及空间想象能力计算能力.

20. (12 分) (2017?吉林三模)已知函数 f(x)=

,曲线 y=f(x)在点(e2,f(e2) )处的

切线与直线 2x+y=0 垂直(其中 e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)求 f(x)的解析式及单调减区间; (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)﹣ 无零点,求 k 的取值范围. .

【分析】 (Ⅰ)求出函数的导数,求得切线的斜率,由两直线垂直的条件,可得 m=2,求得 f (x)的解析式,可得导数,令导数小于 0,可得减区间; (Ⅱ)可得 g(x) ,函数 g(x)无零点,即要 亦即要 在 x∈(0,1)∪(1,+∞)内无解,

在 x∈(0,1)∪(1,+∞)内无解.构造函数 .对 k 讨论,运用单调性和函数零点存在定理,即可得到

k 的范围. 【解答】解: (Ⅰ)函数 又由题意有: 故 此时 . ,由 f'(x)≤0? 0<x<1 或 1<x≤e, 的导数为 , ,

所以函数 f(x)的单调减区间为(0,1)和(1,e]. (Ⅱ) 要函数 g(x)无零点,即要 亦即要 构造函数 ,且定义域为(0,1)∪(1,+∞) , 在 x∈(0,1)∪(1,+∞)内无解,

在 x∈(0,1)∪(1,+∞)内无解. .

①当 k≤0 时,h'(x)<0 在 x∈(0,1)∪(1,+∞)内恒成立, 所以函数 h(x)在(0,1)内单调递减,h(x)在(1,+∞)内也单调递减. 又 h(1)=0,所以在(0,1)内无零点, 在(1,+∞)内也无零点,故满足条件;
18 页

②当 k>0 时,



(1)若 0<k<2,则函数 h(x)在(0,1)内单调递减, 在 内也单调递减,在 内单调递增.

又 h(1)=0,所以在(0,1)内无零点; 易知 ,而 ,

故在

内有一个零点,所以不满足条件;

(2)若 k=2,则函数 h(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. 又 h(1)=0,所以 x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h(x)>0 恒成立,故无零点,满足条件; (3)若 k>2,则函数 h(x)在 内单调递减,在 内单调递增, 及(1,+∞)内均无零点.

在(1,+∞)内也单调递增.又 h(1)=0,所以在 又易知

,而 h(e﹣k)=k?(﹣k)﹣2+2ek=2ek﹣k2﹣2,

又易证当 k>2 时,h(e﹣k)>0, 所以函数 h(x)在 内有一零点,故不满足条件.

综上可得:k 的取值范围为:k≤0 或 k=2. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间,考查函数方程的转化思想的运用, 分类讨论的思想方法,以及函数零点存在定理的运用,考查化简整理的运算能力,属于难题.

21. (12 分) (2017?吉林三模)已知动圆 P 与圆 F1: (x+3)2+y2=81 相切,且与圆 F2: (x﹣3)
2

+y2=1 相内切,记圆心 P 的轨迹为曲线 C;设 Q 为曲线 C 上的一个不在 x 轴上的动点,O 为坐

标原点,过点 F2 作 OQ 的平行线交曲线 C 于 M,N 两个不同的点. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)试探究|MN|和|OQ|2 的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数;若不能,请说明 理由; (Ⅲ)记△QF2M 的面积为 S1,△OF2N 的面积为 S2,令 S=S1+S2,求 S 的最大值. 【分析】 (I) 设圆心 P 的坐标为 (x, y) , 半径为 R, 由已知条件推导出|PF1|+|PF2|=8>|F1F2|=6, 从而圆心 P 的轨迹为以 F1,F2 为焦点的椭圆,由此能求出圆心 P 的轨迹 C 的方程.
19 页

(II)设直线 OQ:x=my,则直线 MN:x=my+3,由

,能求出|OQ|2,由



能求出|MN|,由此能求出|MN|和|OQ|2 的比值为常数 . (III)由△QF2M 的面积=△OF2M 的面积,能求出 S=S1+S2 的最大值. 【解答】 (本小题满分 13 分) 解: (I)设圆心 P 的坐标为(x,y) ,半径为 R 由于动圆 P 与圆 且与圆 圆 P 与圆 ∴ 相切, 相内切,所以动 只能内切 ,∴|PF1|+|PF2|=8>|F1F2|=6…(2 分)

∴圆心 P 的轨迹为以 F1,F2 为焦点的椭圆,其中 2a=8,2c=6, ∴a=4,c=3,b2=a2﹣c2=7 故圆心 P 的轨迹 C: .…(4 分)

(II)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,Q(x3,y3) , 直线 OQ:x=my,则直线 MN:x=my+3



,得:

,∴





…(6 分)



,得: (7m2+16)y2+42my﹣49=0,

∴ ∴ = =



20 页

=

…(8 分)





∴|MN|和|OQ|2 的比值为一个常数,这个常数为 …(9 分) (III)∵MN∥OQ,∴△QF2M 的面积=△OF2M 的面积, ∴S=S1+S2=S△OMN ∵O 到直线 MN:x=my+3 的距离 ,

∴ 令 ,则 m2=t2﹣1(t≥1)

…(11 分) ,

∵ ∴当

(当且仅当 时,S 取最大值

,即

,亦即

时取等号)

…(13 分)

【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线、圆、与椭圆等椭圆知识,考查推理论证能力、运 算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等.

四、选做题请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。解 答时请写清题号。选修 4-4:坐标系与参数方程 22. (10 分) (2017?吉林三模)以直角坐标系 xOy 的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立 极坐标系,且两坐标系相同的长度单位.已知点 N 的极坐标为( 上任意一点,点 G 满足 = + ,设点 G 的轨迹为曲线 C2. , ) ,M 是曲线 C1:ρ=1

(1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)若过点 P(2,0)的直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,且直线 l 与曲线 C2 交于

A,B 两点,求

+

的值.
21 页

【分析】 (Ⅰ)由 ρ=1,得 x2+y2=1,可得曲线 C1 的直角坐标方程为 x2+y2=1.设 G(x,y) ,M (x0,y0) ,利用向量坐标运算可得点 M 的坐标用点 G 的坐标表示,代入曲线 C1 的方程即可 得出方程.

(Ⅱ) 把直线 l

( t 为 参 数 ) 的 方 程 代 入 曲 线 C2 的 直 角 坐 标 方 程 可 得 :

.利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)由 ρ=1,得 x2+y2=1,∴曲线 C1 的直角坐标方程为 x2+y2=1, ∵点 N 的直角坐标为(1,1) ,设 G(x,y) ,M(x0,y0) ,又 y0)+(1,1) , ∴ ,代入 ,得(x﹣1)2+(y﹣1)2=1, ,即(x,y)=(x0,

∴曲线 C2 的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=1. (Ⅱ) 把直线 l
2

(t 为参数)的方程代入曲线 C2 的直角坐标方程(x﹣1)2+(y﹣1)

=1, ,即 . ,易知 t1>0,t2>0,



设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2,则





【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线参数方程 的应用、一元二次方程的根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

五、选做题选修 4-5:不等式选讲 23. (2017?吉林三模)已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x﹣m|+|x|,m∈N*,存在实数 x 使 f (x)<2 成立. (Ⅰ)求正整数 m 的值; (Ⅱ)若 α>1,β>1,f(x)+f(β)=2,求证:
22 页

+

≥ .

【分析】 (Ⅰ)利用绝对值不等式,结合不等式|x﹣m|+|x|<2 有解,求正整数 m 的值; (Ⅱ)若 α>1,β>1,f(x)+f(β)=2,得出 α+β=2,即可证明: 【解答】 (Ⅰ)解:因为|x﹣m|+|x|≥|(x﹣m)﹣x|=|m| 要使不等式|x﹣m|+|x|<2 有解,则|m|<2,…(2 分) 解得﹣2<m<2…(3 分) 因为 m∈N*,所以 m=1…(4 分) (Ⅱ)证明:因为 α,β≥1,f(α)+f(β)=2, 所以 f(α)+f(β)=2α﹣1+2β﹣1=2 即 α+β=2…(6 分) 所以 (当且仅当 所以 即 时,即 = 等号成立) …(10 分) …(8 分) …(9 分) + ≥ .

【点评】本题考查不等式的证明,考查绝对值不等式的运用,考查基本不等式,属于中档题.

23 页

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