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辽宁省沈阳市第二中学2016届高三数学第一次模拟考试试题 文(含解析)


沈阳二中 2015—2016 学年度下学期第一次模拟考试 高三(16 届)数学(文科)试题
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷 (60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. 若集合 Α ? x ?3 ? x ? 3 , Β ? ? x | ( x ? 4)( x ? 2) ? 0? ,则 Α ? Β = ( (A) ? x | ?3 ? x ? 2? (C) {x | ?3 ? x ? ?2} 【知识点】集合的运算 【试题解析】因为 所以, 故答案为:B 【答案】B 2. 已知 i 是虚数单位,复数 2i ? z ? ?1 ? i ? , 则 z 的共轭复数是( (A) ?1 ? i (B) 1 ? i (C) ?1 ? i (D) 1 ? i ) (B) ? x | 2 ? x ? 3? (D) {x | x ? ?4 或 x ? ?3}

?

?



【知识点】复数综合运算 【试题解析】因为 所以,z 的共轭复数是 故答案为:D 【答案】D 3. 已知向量 a ? (1, 2) , b ? (?1, m) ,若 a ? b ,则 m 的值为( (A) ?2 )

(B)

2

(C)

1 2

(D) ?

1 2

【知识点】数量积的定义 【试题解析】因为 故答案为:C 【答案】C
1

,



4. 在等比数列 {an } 中, a1 = 1, 则“ a2 ? 4 ”是“ a3 ? 16 ”的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 【知识点】充分条件与必要条件 【试题解析】因为 所以, 故答案为:A 【答案】A 5. 已知倾斜角为的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则 cos( (A) 4
5



(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

还可为-4 ,但反之不成立

能得出

2015? ? 2? ) 的值为( 2
(D) ? 1
2

)

(B) ? 4
5

(C) 2

【知识点】诱导公式两条直线的位置关系 【试题解析】因为由已知得 ,

故答案为:B 【答案】B 6. 已知 sin ? ?

3 ?? ? ,且 ? ? ? ,? ? ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图像的相邻两条对 5 ?2 ?
? ??? ,则 f ? ? 的值为( 2 ?4?
(B) )

称轴之间的距离等于 (A) ?

3 5

4 5

(C)

3 5

(D) ?

4 5

【知识点】诱导公式 【试题解析】因为函数 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等









故答案为:D 【答案】D

1 7. 右面程序框图运行后,如果输出的函数值在区间[-2, ]内 2
2

则输入的实数 x 的取值范围是(

)

(A) ? ??, ?1?

(B) ? , 2 ? ?4 ?

?1

?

(C)(??, ?1] ? ? , 2 ? 4

?1 ?

? ?

(D)

?1 ? (??, 0) ? ? , 2 ? ?4 ?
【知识点】算法和程序框图 【试题解析】因为若 。 所以, 故答案为:C 【答案】C ;若

? x ? y ? 3 ? 0, ? 8. 若 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 且 z ? 2 x ? y 的最大值为 6, ?x ? k, ?
则 k 的值为( (A) ?1 【知识点】线性规划 【试题解析】因为可行域为 得 。 故答案为:B , 在 ,取得最大值 , ) (B)1 (C) ?7 (D) 7

3

【答案】B 9. 设函数 f ? x ? 在 R 上可导,其导函数为 f ? ? x ? ,且函数 f ? x ? 在 x ? ?2 处取得极小值, 则函数 y ? xf ? ? x ? 的图象可能是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

【知识点】利用导数研究函数的单调性 【试题解析】因为 故答案为:C 【答案】C 10. 一艘轮船从 O 点正东 100 海里处的 A 点处出发, 沿直线向 O 点正北 100 海里处的 B 点处 航行.若距离 O 点不超过 r 海里的区域内都会受到台风的影响,设 r 是区间[50,100]内的一 个随机数,则该轮船在航行途中会遭受台风影响的概率约为( (A)20.7% 【知识点】几何概型 (B)29.3% (C)58.6% ) (D)41.4% 。

4

【试题解析】因为 故答案为:C 【答案】C

x2 y2 ? ? 1(a, b ? 0) 的一条斜率为正值的渐进线平 a2 b2 行, 若双曲线 C 右支上的点到直线 l 的距离恒大于 b , 则双曲线 C 的离心率取值范围是 ( )
11. 过点 (0,2b) 的直线 l 与双曲线 C : (A) ?1,2? 【知识点】双曲线 【试题解析】因为斜率为正值的渐近线方程为 与之平行的直线为 (B) ?2,??? (C) ?1,2? (D) 1, 2

?

?

由题意得两平行线的距离为

化简得



所以,离心率的取值范围是 故答案为:A 【答案】A 12. 已知 x 0 是函数 f ( x) ? 2 sin x ? ? ln x( x ? (0, ? )) 的零点, x1 ? x 2 ,则 ① x 0 ? (1, e) ;② x0 ? (e, ? ) ;③ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ;④ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 其中正确的命题是( (A)①④ ) (C)①③ (D)②③

(B)②④

【知识点】零点与方程 【试题解析】因为 ,在 数,由 故答案为:A 【答案】A 第Ⅱ卷 (90 分) 得, 总是小于 0, 。 , ① 正确; 是减函

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸 上.) ... 13. 函数

f ( x) ? log a ( x ? 2) 必过定点
时, 。



【知识点】对数与对数函数 【试题解析】因为

5

所以,必过定点(3,0) 故答案为: (3,0) 【答案】 (3,0) 14. 各项均为正数的等差数列 ?an ? 中, a4 a9 ? 36 ,则前 12 项和 S12 的最小值为 【知识点】等差数列 【试题解析】因为 故答案为:72 【答案】72 15. 如图所示,某几何体的三视图,则该几何体的体积为 。 。

【知识点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】 因为原几何体直观图如图, ABCD 为一直角梯形。 各边长度如图,可看作顶点为 S,地面为一直角梯形的四棱锥。 所以, 故答案为:2 ,

【答案】2 16.

f ( x) ?

2 3 x ? x 2 ? ax ? 1 己知曲线存在两条斜率为 3 的切线,且切点的横坐标都大 3


于零,则实数 a 的取值范围为 【知识点】函数利用导数研究函数的单调性 【试题解析】因为

6

故答案为: (3,3.5) 【答案】(3,3.5) 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,

cos A ?

10 2 5 , a sin A ? b sin B ? c sin C ? a sin B . 10 5

(1)求 B 的值; (2)设 b ? 10 ,求 ?ABC 的面积 S . 【知识点】正弦定理 【试题解析】 解: (1) , .







的内角,



, 又 是 . (2) , 的内角, . . ,

的面积 【答案】见解析 18. (本小题满分 12 分)据统计,2015 年“双 11”天猫总成交金额突破 912 亿元。某购物 网站为优化营销策略, 对在 11 月 11 日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过 1000 元 的 1000 名网购者(其中有女性 800 名,男性 200 名)进行抽样分析.采用根据性别分层抽 样的方法从这 1000 名网购者中抽取 100 名进行分析,得到下表:(消费金额单位:元) 女性消费情况: 消费金额 人数

(0, 200)

?200, 400? ?400,600? ?600,800?
10 15 47

[800,1000]

5

x

男性消费情况:
7

消费金额 人数

(0, 200)

?200, 400? ?400,600? ?600,800?
3

[800,1000]

2

10

y

2

(Ⅰ)计算 x , y 的值;在抽出的 100 名且消费金额在 ?800,1000? (单位:元)的网购者 中随机选出两名发放网购红包,求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率;

(Ⅱ)若消费金额不低于 600 元的网购者为 “网购达人”,低于 600 元的网购者为“非网购达 人”,根据以上统计数据填写右面 2 ? 2 列联表,并 回答能否在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下 认为“是否为‘网购达人’与性别有关?”

女士 网购达人 非网购达人 总计

男士

总计

附:

P(k 2 ? k0 )

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

k0
(k ?
2

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
名,男性应抽取 名

【知识点】概率综合 【试题解析】解: (Ⅰ)依题意,女性应抽取

抽出的

名且消费金额在

(单位:元)的网购者中有三位女性设为



两位男性设为

,从 人中任选 人的基本事件有: , , , 共 件

设“选出的两名网购者恰好是一男一女”为事件 事件 包含的基本事件有: 共 件

8

(Ⅱ)

列联表如下表所示



答:我们有 99%的把握认为“是否为‘网购达人’ ”与性别有关 【答案】见解析

19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形.点 E 是 棱 PC 的中点,平面 ABE 与棱 PD 交于点 F .

(Ⅰ)求证: AB ∥ EF ; (Ⅱ)若 PA ? AD ,且平面 PAD ? 平 面 ABCD ,试证明 AF ? 平面 PCD ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,线段 PB 上是否存在点

M ,使得 EM ? 平面 PCD ?(请说明理由)
【知识点】立体几何综合

9

【试题解析】 (Ⅰ)证明:因为底面 所以 ∥ . 又因为 平面 , 平面 所以 ∥平面 . 又因为 四点共面,且平面

是正方形, ,

平面



所以 ∥ . (Ⅱ)在正方形 中, . 又因为平面 平面 , 且平面 平面 , 所以 平面 . 又 平面 所以 . 由(Ⅰ)可知 ∥ , 又因为 ∥ ,所以 ∥ . 由点 是棱 中点,所以点 是棱 中点. 在△ 中,因为 ,所以 . 又因为 ,所以 平面 . (Ⅲ)不存在.假设线段 上是否存在点 ,使得 平面 取 AB 中点 N,连接 NE,易知 ∥ , ∥ ,过 E 有两条直线与 AF 平行 矛盾 线段 上不 存在点 ,使得 平面

【答案】见解析

20. (本小题满分 12 分) 如图椭圆 W : 其左顶点 A 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 16 上.

3 x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b 2

10

(Ⅰ)求椭圆 W 的方程; (Ⅱ)直线 AP 与椭圆 W 的另一个交点为 P ,与圆 O 的另一个交点为 Q . (i)当 | AP |?

8 2 时,求直线 AP 的斜率; 5

(ii)是否存在直线 AP ,使得 说明理由. 【知识点】椭圆 【试题解析】解: (Ⅰ)因为椭圆

| PQ | ? 3 ? 若存在,求出直线 AP 的斜率;若不存在, | AP |

的左顶点

在圆

上,所以



又离心率为

,所以

,所以

,

所以 (Ⅱ) (i)设点

,

所以

的方程为 ,显然直线

. 存在斜率,

设直线

的方程为



与椭圆方程联立得

,

化简得到 因为 所以 为上面方程的一个根,所以 ,由

, , ,

代入得到

,解得

, 所以直线

的斜率为



(ii)圆心到直线

的距离为





11

因为



代入得到



显然 【答案】见解析

,所以不存在直线

,使得



21. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? ex (2 x ? 1) ? ax ? a (a∈R) , e 为自然对数的底数. (1) 当 a=1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2) ①若存在实数 x ,满足 f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围; ②若有且只有唯一整数 x 0 ,满足 f ( x0 ) ? 0 ,求实数 a 的取值范围. 【知识点】导数的综合运用 【试题解析】解: (1)当 a=1 时, 由于 当 当 所以 , 时, 时, 在区间 得 ,∴ ,∴ 上单调递减,在区间 . , , 上单调递增. , ,

(2)①由 当 当

时,不等式显然不成立; 时, ;当 时, .



=







在区间



上为增函数,



上为减函数.

∴ 当

时,

,当

时,



综上所述,所有 a 的取值范围为



12

②由①知 又 ∴ 当

时,

,由 上单调递增,在 ,∴ ,由 .

,得

, ,

在区间 ,即 时,

上单调递减,且

,得





在区间

上单调递减,在

上单调递增,且





,解得



综上所述,所有 a 的取值范围为 【答案】见解析



考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号 右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AF 是圆 E 切线, F 是切点, 割线 ABC BM 是圆 E 的直径,

EF 交 AC 于 D , AB ?

1 AC , ?EBC ? 300 , MC ? 2 . 3

(1)求线段 AF 的长; (2)求证: AD ? 3ED .

【知识点】几何选讲 【试题解析】解: (Ⅰ)因为 所以, ,又

是圆 ,

直径 ,

13

所以 又

, 可知 ,所以 ,

根据切割线定理得: 即 (Ⅱ)过 则 又由题意知 因此 ,即



于 , 从而有

, , 所以 ,

【答案】见解析 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲 线 C1 : ?

? x ? 4 ? cos t , ? x ? 6cos ? , ( t 为参数), C2 : ? ( ? 为参数). y ? ? 3 ? sin t , y ? 2sin ? , ? ?

(Ⅰ)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

? ,Q 为 C2 上的动点,求线段 PQ 的中点 M 2 到直线 C3 : ? cos? ? 3? sin ? ? 8 ? 2 3 距离的最小值.
(Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ? ? 【知识点】参数方程 【试题解析】解:(Ⅰ) ,

为圆心是

,半径是 的圆.

为中心在坐标原点,焦点在 轴上,长半轴长是 ,短半轴长是 的椭圆. (Ⅱ)当 时, ,

14

设 为直线

则 ,





的距离

从而当 【答案】见解析

时,

取得最小值

24. (本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 m? | x ? 2 | ?1 ,其解集为 [0, 4] . (Ⅰ)求 m 的值;
2 2 (Ⅱ)若 a , b 均为正实数,且满足 a ? b ? m ,求 a ? b 的最小值.

【知识点】绝对值不等式 【试题解析】解: (Ⅰ)不等式 ∴ ,即 可化为 , ,

∵其解集为 (Ⅱ)由(Ⅰ) ∵ ∴ (方法二: )∵ ∴ (方法三: )∵ ∴ ∴当且仅当 【答案】见解析

,∴ ,





, ,∴当且仅当 时, 取最小值为 . , ,∴当且仅当 ,∴ , , 时, 取最小值为 . 时, 取最小值为 .

15


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