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2015年三明普通高中毕业班质量检查

2015 年三明市普通高中毕业班质量检查
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题: 1-6 BCDCBC 二、填空题: 13.8 三、解答题: 17.解: (Ⅰ)因为 CD 和 BE 都垂直平面 ABC ,所以 BE ∥ CD , 又 CD ? 平面 ACD , BE ? 平面 ACD , 所以 BE ∥平面 ACD . (Ⅱ)因为 CD 和 BE 都垂直平面 ABC ,所以 BE ∥ CD , 则四边形 BCDE 是直角梯形, 在平面 BCDE 内过点 E 作 EF ∥ BC ,交 CD 于点 F , 因为 BE ? 1 , CD ? 3 , DE ? 2 2 ,………………(7 分) 在直角三角形 DEF 中, EF ? DE 2 ? DF 2 ? 2 , 所以 BC ? EF ? 2 ,……………………………………(8 分) 在直角三角形 ABC 中, AC ? AB2 ? BC 2 ? 2 3 ,…………(9 分) 因为 AC ? BC , AC ? DC ,所以 AC ? 平面 DCBE , 而四边形 BCDE 的面积 S ? ( BE ? CD) ? BC ? 4 , ……………… (10 分) 因此多面体 ABCDE 的体积为 V ? S ? AC ? ………………………………(6 分) …………………………(5 分) 14.7 15.4 16. (??, ?1) 7—12 BACADB

D

F E C B A

1 2

1 3

8 3 . …………………………………(12 分) 3

18.解: (Ⅰ)设高度高在 [140,150) 的另一株高度为 y (其中 y ? 140 ? x ) , 由

116 ? 119 ? 122 ? 127 ? 124 ? 128 ? 136 ? 134 ? 146 ? y ? 130 , 10
……………………………………………………(5 分)

得 y ? 148,于是 x ? 8 .

(Ⅱ)由题知,从高度在 [130,140) 和 [140,150) 内的树苗中随机选取两株有以下 10 种选法: (132,134) , (132,136) , (134,136) , (132,146) , (134,146) , (136,146) , (132, z ) , (134, z ) , (136, z ) , (146, z ) , (其中 z ? 140 ? x ) ………………(7 分)

则前六组的平均数分别为 133,134, 135,139,140,141,有 4 组平均高度不高于 139, 由于 p ?

1 ,后四组中只能有一组的平均高度不高于 139,………………………………(10 分) 2

显然是(132, z )这一组满足题意. 又由

132 ? z ? 139 ,得 z ? 146 ,注意到 x ? [6,9] ,于是 x ? 6 . 2
文科数学试题答案第 1 页(共 5 页)

…………………(12 分)

19.解: (Ⅰ) f ( x) ? m ? n + 3 ? 3sin x ? 3sin 2 x ? cos x ? 3 cos2 x ? 3

? 3 sin x ? cos x

π ? 2sin( x ? ) ,…………………………………………………………………………(3 分) 6 π π π 由 2sin( x ? ) ? 0 ,得 x ? ? kπ (k ? Z) ,所以 x ? kπ ? (k ? Z) , 6 6 6 π 所以函数 f ( x) 的零点为 x ? kπ ? (k ? Z) . ……………………………………………………(6 分) 6 π 8 π 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (? ) ? 2sin(? ? ) ? ,所以 sin(? ? ) ? ,………………………………(8 分) 6 5 6 5 2π π 7π π 3 π 因为 ? ? ( , π) ,所以 ? ? ? ? ,则 cos( ? ? ) ? ? ,…………………………………(10 分) 3 6 6 6 5 2 π π π π π π 所以 cos? ? cos[(? ? ) ? ] ? cos(? ? )cos ? sin(? ? )sin 6 6 6 6 6 6 3 3 4 1 4?3 3 ?? ? ? ? ? . ………………………………………………………(12 分) 5 2 5 2 10 1 20.解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,由 an ? a1 ? (n ? 1)d , Sn ? na1 ? n(n ? 1)d , 2
?a1 ? 4d ? 9, 且 a5 ? S3 ? 9 ,得 ? 解得 a1 ? 1 , d ? 2 , ?3a1 ? 3d ? 9,
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 .…………………………………………(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n ? 1 ,所以 bn ? (ⅰ) Tn ? b1 ? b2 ?

2 2 1 1 ? ? ? ,…………(6 分) an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 ? bn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 3 5 5 7

?(

1 1 ? ) 2n ? 1 2n ? 1

?1?

1 . 2n ? 1

…………………………………………………………………………(8 分)

(ⅱ)因为 Tn ?1 ? Tn ? (1 ?

1 1 2 ) ? (1 ? )? ?0, 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 3)

所以数列 {Tn } 是递增数列,即 T1 ? T2 ? T3 ? 所以当 n ? 1 时, Tn 取得最小值为

? Tn ,

2 ,而 Ti , Tj ?? (i , j ? 1, 2 , , n) , ………………(9 分) 3 4 故 i ? j ? 1 时, | Ti ? Tj | 取得最小值为 . …………………………………………………(10 分) 9 1 又 Tn ? 1 ? (n ? N? ) ,所以 Tn ? 1 ,则 | Ti ? T j |? 1 ,……………………………………(11 分) 2n ? 1 4 因此 ? Ti ? Tj ? 1 . …………………………………………………………………………(12 分) 9
文科数学试题答案第 2 页(共 5 页)

21.解法一: (Ⅰ)由已知, e ?

c 1 ? , c ? 1 ,解得 a ? 2 , b ? 3 , a 2

从而椭圆 ? 的标准方程为:

x2 y 2 ? ? 1 . …………………………………………………………(3 分) 4 3
5 3 ? , ……………………………………………(4 分) 2 2

(Ⅱ)由椭圆定义可得:|AF1| ? 2a ?|AF2 |=4 ?

2 2 2 又| F 1F 2 |? 2 ,因此有 | AF 1 ?F 1F2 , ……………………………(5 分) 2 | ?| AF 1 | ?| F 1F 2 | ,即 AF

故可得△ AF1 F2 的面积为

3 . ……………………………………………………………………(6 分) 2

(Ⅲ)存在,点 P 的坐标为 ( , ?

4 3

15 ) .理由如下: 3

当直线 AB ? y 轴时,与题意不符. 故设直线 AB : x ? ty ? 1 , 由此可得过点 P 且平行于 AB 的直线为 l : x ? ty ? m ( m ? 1 ) , ∵线段 PF1 的中点在直线 AB 上,

AB 的距离等于两平行直线 AB 与 l 之间的距离, ∴点 F 1 到直线
即:

| ?1 ? 1| t ?1
2

?

| ?m ? 1| t 2 ?1

,解得 m ? ?1 或 m ? 3 . ………………………………………………(9 分)

由于 m ? ?1 时,直线 l : x ? ty ? 1 过点 F 1 ,不符合条件,故舍去.……………………………(10 分)

x2 y 2 ? ? 1 联立, 由此得直线 l 为 x ? ty ? 3 ,并与方程 4 3
得到 (3t 2 ? 4) y 2 ? 18ty ? 15 ? 0 , …① 由于直线为 l 与椭圆有且只有一个公共点, 故 ? ? (18t ) ? 4 ? (3t ? 4) ?15 ? 0 ,解得 t ? ?
2 2

…………………………………………………(11 分)

15 , 3

此时方程①为 3 y2 ? 2 15 y ? 5 ? 0 , y ? ?

15 为点 P 的纵坐标, 3

满足题意的点 P 的坐标为 ( , ?

4 3

15 ) . ………………………………………………………(12 分) 3
……………………………………(6 分)

解法二: (Ⅰ) , (Ⅱ)同解法一.

文科数学试题答案第 3 页(共 5 页)

(Ⅲ)存在,点 P 的坐标为 ( , ? 当 AB ? x 轴时,不合题意.

4 3

15 ) .理由如下: 3

故设直线 AB : y ? k ( x ? 1) ,过 P 平行于 AB 的直线 l 的方程为: y ? kx ? m , 由题可知

| ?k ? k | 1? k
2

?

|m?k| k2 ?1

,得 m ? k 或 m ? ?3k ,

………………………………………(9 分)

当 m ? k 时,直线 l : y ? kx ? m 过左焦点 F1 ,不合题意,舍去,所以 m ? ?3k ,…………(10 分)

? y ? k ( x ? 3), ? 由 ? x2 y 2 消去 y 得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 24k 2 x ? 36k 2 ? 12 ? 0 ,…………………………(11 分) ? 1, ? ? 3 ?4
由 ? ? 0 ,得 k 2 ?

3 , 5

24 k 2 8 4 3 ,将 k 2 ? 代入得 2 x0 ? ,? x0 ? , 2 3 ? 4k 3 3 5 4 5 5 于是 y0 ? ? ,? P( , ? ) 即为所求. ……………………………………………(12 分) 3 3 3
设 P( x0 , y0 ) ,则 2 x0 ? 22. 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

4 2ax 2 ? bx ? 4 ? 2ax ? b ? (x ? 0) ,………………………………………(2 分) x x

由题意可得: 1 和 4 分别是 f ?( x) ? 0 的两根,

b 4 1 , 1? 4 ? ,解出 a ? , b ? ?5 . 2a 2a 2 1 2 ∴ f ( x) ? 4 ln x ? x ? 5 x .………………………………………………………………………(4 分) 2 4 ( x ? 1)( x ? 4) (Ⅱ)由上得 f ?( x) ? ? x ? 5 ? (x ? 0) , x x
即1 ? 4 ? ? 由 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 4 ; 由 f ?( x) ? 0 ? 1 ? x ? 4 . 故 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) 和 (4, ??) ,单调递减区间为 (1, 4) ,…………………………(6 分) 从而对于区间 (m, m ? 3) ,有 ?

? 0 ? m, ? 1 ? m, 或? 或 m ? 4 , ……………………………(8 分) ?m ? 3 ? 1, ?m ? 3 ? 4,
…………………………………………………………(9 分)

解得 m 的取值范围: {1} [4, ??) .

(Ⅲ) “对于 ?x1 ?[1,e] , ?x2 ?[1,e] ,使得 f ( x1 ) ? ?[ f ?( x2 ) ? 5] ? 0 成立”等价于“ ?x2 ?[1,e] , 使 ?[ f ?( x2 ) ? 5] ? [? f ( x1 )]min ( x1 ?[1,e] )成立” .
文科数学试题答案第 4 页(共 5 页)

由上可得: x1 ?[1,e] 时, f ( x1 ) 单调递减,故 ? f ( x1 ) 单调递增,∴ [? f ( x1 )]min ? ? f (1) ?

9 ; 2

………………………………………………………………………………(11 分) 又 x2 ? [1, e] 时, f ?( x2 ) ? 5 ?

4 ? x2 ? 0 且在 [1, 2] 上递减,在 [2, e] 递增, x2

∴ [ f ?( x2 )]min ? f ?(2) ? 4 , ……………………………………………………………………(12 分) 从而问题转化为“ ?x2 ?[1,e] ,使 ? ( x ? ) ?

4 x

9 ” ,即“ ?x2 ?[1,e] ,使 ? ? 2

9 4 2( x ? ) x

成立” ,

故? ?[

9

4 2( x ? ) x 9 ∴ ? ? (??, ) . …………………………………………………………………………………(14 分) 8

]max ?

9 9 ? . 2? 4 8

文科数学试题答案第 5 页(共 5 页)


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