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高三数学课件-函数、导数及其应用复习课件23 最新_图文

第二章 函数、导数及其应用 第十三节 导数在研究函数中的应用(一) 考 纲 要 求 1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函 数的单调性,会求函数的单调区间,对多项式函数一般不 超过三次. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 会用导数求函数的极大值、极小值,对多项式函数一般不 超过三次;会求闭区间上函数的最大值、最小值,对多项 式函数一般不超过三次. 课 前 自 修 知识梳理 一、函数的导数与函数的单调性的关系 1.函数单调性的充分条件. 设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内 增函数;如果在这个 y′>0,那么函数y=f(x)在这个区间内为________ 减函数 区间内y′<0,那么函数y=f(x)在这个区间内为________ . 2.函数单调性的必要条件. 设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果函数y=f(x)在这 y′≥0 个区间内为增函数,那么在这个区间内__________ ;如果函数 减函数 ,那么在这个区间内 y=f(x)在这个区间内为__________ y′≤0 ________ . 3.求可导函数的单调区间的一般步骤和方法. (1)确定函数f(x)的定义域. f′(x)=0 ,解此方程,求出 f′(x) ,令__________ (2)计算导数________ 它们在定义域区间内的一切实根. (3)把函数f(x)的间断点[即f(x)的无定义的点]的横坐标和上 面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把f(x) 的定义域分成若干个小区间. (4)确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定 函数f(x)在每个相应小区间的增减性[若f′(x)>0,则f(x)在相应区 间内为增函数;若f′(x)<0,则f(x)在相应区间内为减函数]. 二、函数的极值 1.函数极值的定义. 一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所 有的点,都有f(x)<f(x0),就说f(x0)是____________________ 函数f(x)的一个极大值 , y极大值=f(x0) ,x0是__________ 极大值点 . 记作________________ 如果对x0附近的所有的点,都有f(x)>f(x0).就说f(x0)是 y极小值=f(x0) ,x0是极小值 _____________________ 函数f(x)的一个极小值 ,记作_____________ 极值 . 点.极大值与极小值统称为________ 2.判别f(x0)是极大、极小值的方法. 若x0满足f′(x0)=0,且在x0的两侧f(x)的导数异号,则x0是 f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正 极大值点 极大值 右负”,那么x0是f(x)的 ________,f(x0)是 ________;如果f′(x) 左负右正 在x0两侧满足“ ________”,那么x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极 小值. 3.求可导函数f(x)的极值的步骤. (1)确定函数的定义区间,求导数________ . f′(x) f′(x)=0 的根. (2)求方程_________ (3) 用 函 数 的 导 数 为 0 的 点 , 顺 次 将 函 数 的 定 义 域 分 成 若干小开区间 , 并 列 成 表 格 . 检 查 f′(x) 在 _____________ 方程根左右的值的符号 左正右负 , 那 么 f(x) 在这 ________________________ ,如 果 __________ 左负右正 个根处取得极大值;如果 __________ ,那么 f(x) 在这个根处取 不改变符号 得极小值;如果左右 ______________ , 那 么 f(x) 在 这 个 根 处 无极值 . ________ 三、函数的最大值与最小值 1.函数的最大值与最小值. 在闭区间[a,b]上图象连续不断的函数f(x)在[a,b]上 必有 ________ 最大值与最小值. 2.利用导数求函数的最值的步骤. 设函数f(x)在(a,b)内可导,在闭区间[a,b]上图象连续不 断,求函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: 极值 ; (1)求f(x)在(a,b)内的________ 极值 与___________ f(a),f(b) 比较,得出函数f(x) (2)将f(x)的各________ 在[a,b]上的最值,其中最大的一个是最大值,最小的一个是 最小值. 基础自测 1.(2012· 中山市桂山中学质检)函数 ? 3 ? y=f(x)在定义域?-2,3?内的图象 ? ? 如下图所示.记 y=f(x)的导函数为 y=f′(x),则不等式 f′(x)≤0 的解集为 ( ) ? 1 ? A.?-3,1?∪[2,3) ? ? ? 1? ?4 8? B.?-1,2?∪?3,3? ? ? ? ? ? 3 1? C.?-2,2?∪[1,2) ? ? ? 3 1? ?1 4? D.?-2,-3?∪?2,3? ? ? ? ? ?4 ? ∪?3,3? ? ? ? 1 ? ? 解析: 由图可知函数 y = f(x) 在 -3,1? 和 [2,3) 上都是减函数, ? ? ? 1 ? ? ∴f′(x)≤0 的解集为 -3,1?∪[2,3).故选 A. ? ? 答案:A 2.(2012· 济宁市质检)函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是 ( A.a≥0 B.a>0 C.a≤0 D.a<0 ) 解析:f′(x)=3ax2+1,若函数有极值,则方程 3ax2+1=0 必有 1 实数根,显然 a≠0,所以 x2=- >0,所以 a<0.故选 D. 3a 答案:D 1 3 3.(2012· 哈尔滨三中月考)函数 f(x)= x -x2+ax-5 在区间[-1,2]上 3 不单调,

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