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2.3.2《抛物线的简单几何性质》课件(新人教A版选修1-1)_图文

2.3.2《抛物线的简单几何性质》

一、温故知新
定义:在平面 内,与一个定点 F和一条定直 线l(l不经过点 F)的距离相等 的点的轨迹叫 抛物线.
图 l y
O

抛物线的定义及标准方程
形 标准方程
焦点坐标 准线方程

F

x

y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)

y
F

l
O

x

y
F
O

l

x

y
l
O F

x

2、

对称性
关于x轴

y

( x, y)
故 抛物线y2

对称

( x, ? y )
o
p F ( ,0 ) 2

= 2px(p>0)关于x轴对称.

x

3、

顶点
y

定义:抛物线与 它的对称轴的交点叫 做抛物线的顶点。

?

o

y2

= 2px (p>0)中,

F(

p ,0 ) 2

x

令y=0,则x=0.

即:抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点(0,0).只有一 个 注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。

4、

离心率

y
P(x,y)

抛物线上的点与 焦点的距离和它到准 线的距离之比,叫做 抛物线的离心率。 由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.

o

p F ( ,0 ) 2

x

下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质。

(二)归纳:抛物线的几何性质
图 形
y
l
O F

方程

焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴

e

y2 = 2px p p F ( , 0 ) x ? ? x (p>0) 2 2
l

y
F O

y2 = -2px p p F ( ? ,0) x ? 2 x(p>0) 2 x2 = 2py p p F (0, ) y ? ? 2 2 x (p>0) x2

y∈R
(0,0) 1

y
O

F

y≥0
x∈R y轴 y≤0

l

y
O F

= -2py F (0,? p ) y ? p 2 x(p>0) 2

l

x∈R

特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线; 2
y =4x y2=2x 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心 ; 2
4 3 2 1 -2 2 4 6 8 10

2 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线 ;
-1 -2

y =x 1 2 y = x

4.抛物线的离心率是确定的,为1;
-3 -4 -5

5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.

P越大,开口越开阔

补充(1)通径: (标准方程中2p的几何意义)
y

y2=2px
A

l

o

· F
B

过焦点且垂直于对称轴的直线 x 被抛物线截得的线段AB叫做抛 物线的通径, 长度为2p

P越大,开口越阔
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。

补充(1)通径: (标准方程中2p的几何意义)
y

通径的长度:2P
P越大,开口越开阔
O

P ( x0 , y0 )
F
x

(2)焦半径: 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫

做抛物线的焦半径。
焦半径公式: |PF|=x +p/2 0

总结
1、范围: 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可 以无限延伸,但没有渐近线; 2、对称性: 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3、顶点:抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; 4、离心率:抛物线的离心率是确定的,等于1; 5、通径: 抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张口 越大.

典型例题: 例1.已知抛物线关于x轴对称,顶点在坐标 原点,并且过点M(2, ?2 2 ),求它的标准方程.
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论

变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, ?2 2 )的抛物线有几条,求它的标准方程.

例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F, 且与抛物线相交于 A 、B 两点,求线段 AB 的长.
2

解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);

法三 :设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长. 法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.

还有没有其他方法?

例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法一:由已知得抛物线的焦点 为F(1,0),所以直线AB的方程为 y=x-1
y

A’

A O F B
x

代入方程y 2 ? 4 x, 得( x ? 1)2 ? 4 x, 2 化简得x ? 6 x ? 1 ? 0. ? x1 ? x2 ? 6 ? ? B’ ? x1 ? x2 ? 1
? AB ? 2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 8
2

所以,线段 AB的长是8。

例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. 解法二:由题意可知, p p ? 2, ? 1, 准线l : x ? ?1. 2
y

设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), A, B到 准线l的距离分别为 d A , dB .
由抛物线的定义可知 AF ? d A ? x1 ? 1, BF ? d B ? x2 ? 1,

A ’
O F B B ’

A
x

所以 AB ? AF ? BF ? x1 ? x2 ? 2 ? 8

练习:
1.下列抛物线中,开口最大的是( D). 1 A. y2 ? x B. y 2 ? x C. y 2 ? 2 x D.y2 = 4x
2

2.顶点在原点,焦点是(0,5)的抛物线方程( B)
2

1 1 2 x ? y y ? x D. x ? 20 y C. A. y ? 20x B. 20 20 2 y 3.过抛物线 ? 4 x 的焦点作直线 l,交抛物线于A,B两
2
2

点,若线段AB中点的横坐标为3,则 AB 等于( B).

A.10

B

8

C. 6

D. 4

小结:
1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、

离心率、通径;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、 焦点坐标及解决其它问题;

2.3.2 抛物线的简单几何性质 (二)

图形

标准方程

范围

对称性
关于x 轴 对称,无 对称中心
关于x 轴 对称,无 对称中心 关于y 轴 对称,无 对称中心 关于y 轴 对称,无 对称中心

顶点

离心率 e=1

x ? 0, y?R x ? 0, y?R

(0,0)
(0,0) (0,0) (0,0)

e=1

y ? 0, x?R y ? 0, x?R

e=1

e=1

例 1 已知抛物线的方程为 y ? 4 x ,直线 l 过定点 P (?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 ,直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
2

分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形:一种是直线 平行于抛物线的 对称轴; 另一种是直线与 抛物线相切.

?

判断直线与抛物线位置关系的操作程序
把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

解:由题意,设直线 l的方程为y ?1 ? k ( x ? 2).

? y ? 1 ? k ( x ? 2) 2 由方程组? 可得 ky ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0 2 y ? 4x ?
(1)当k ? 0时,由方程得 y ? 1.
1 这时,直线 l与抛物线只有一个公共 点( ,1) 4

1 把y ? 1代入 y ? 4 x, 得x ? . 4
2

(2)当k ? 0时,方程的判别式为 ?=?16(2k 2 ? k ?1).

10由?=0,即2k 2 ? k ?1 ? 0
1 解得 k ? ?1, 或k ? . 2 1 即当k ? ?1,或k ? 时,方程组只有一个解 , 2 即直线与抛物线只有一 个公共点。

20由? ? 0,即2k 2 ? k ?1 ? 0

分析:

1 直线与抛物线有两个 解得 ? 1 ? k ? . 2 公共点时△>0 1 即当 ? 1 ? k ? , 且k ? 0时,方程组有两个解, 2 即直线与抛物线有两个 公共点。 分析:

30由? ? 0,即2k 2 ? k ? 1 ? 0

1 解得 k ? ?1,或 k ? . 2 1 即当k ? ?1或k ? 时,方程组没有实数解 , 2 即直线与抛物线没有公 共点。

直线与抛物线没有公 共点时△<0

1 综上所述,当 k ? ?1,或k ? ,或k ? 0时, 2 即直线与抛物线只有一 个公共点。 1 当 ? 1 ? k ? , 且k ? 0时, 2 即直线与抛物线有两个 公共点。 1 当k ? ?1或k ? 时, 2 即直线与抛物线没有公 共点。

注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论
作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情 形,观察直线绕点P转动的情形

变式一:已知抛物线方程y2=4x,当b为何值时,直线 l:y=x+b与抛物线(1)只有一个公共点(2)两个公共 点(3)没有公共点.当直线与抛物线有公共点时,b的 最大值是多少?

分析:本题与例1类型相似,方法一样,通 过联立方程组求得.

(1)b=1

(2)b<1

(3)b>1,当直线与抛物线有公共点时,b的 最大值当直线与抛物线相切时取得.其值 为1

变式二:已知实数x、y满足方程y2=4x,求函数 的最值 本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时 斜率的最值问题. 1
y ?1 z? x?2

k max ?

2

k min ? ?1

变式三:点(x,y)在抛物线y2=4x上运动,求函数z=x-y 的最值. 本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时z的最值 问题.

zmin ? ?1 无最大值

例2、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)于 A,B两点,设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 ? ? p 2 .

解:因为直线AB过定点F且不与x轴平

行,设直线AB的方程为
2

? y ? 2 px p O ? 2 ? p ? y ? 2 p ( my ? ) 2 x ? my ? ? ? 2
即:y ? 2 pmy ? p ? 0
2 2

p x ? my ? 2

y A F B x

? y1 y2 ? ? p  (定值)
2

例2、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)于 A,B两点,设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 ? ? p 2 .

y A O B F x

A
y O B x F

y A O B F x

小结: 设而不求,联立方程组,韦达定理这是研 究直线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方 法.

作业:课本 P

73

A 组第 6 题 B 组第 1、2、3 题


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