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高中数学函数的奇偶性、单调性、周期性


函数的奇偶性、单调性、周期性 同步练习
一.基础知识自测题: 1. 函数 f (x)、 (x)的定义域都是(-∞, +∞), g 若是 f (x)奇函数, (x)是偶函数, F(x)=f (x)· (x) g 则 g 是 奇函数 。 2.函数 f (x)的定义域是 R,且当 x∈[0, +∞)时,f (x)为增函数,则当 f (x)为奇函数时,它在(- ∞, 0)上的增减性是 递减 ;当 f (x)为偶函数时,它在(-∞, 0)上的增减性是 递增 。 3.下面有四个函数,① f (x)=2x+1; ② g(x)=

x ?1 1? x2 ; ③ h(x)= ; ④ u(x)= x ?1 1? x2

lg

1? x , 其中偶函数是③,奇函数是④,既不是偶函数也不是奇函数的是①、②。 1? x
4.对于函数 y=f (x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个

值时,f (x+T)=f (x) 都成立,那么就把函数 y=f (x)叫做周期函数,不为零的常数 T 叫做这个函数的 周期 。 5. 函数 y= 1] 。 6. 下面四个函数, y= ① 0)内为减函数的是 ① 。 7.已知 y=f (x)在实数集上是周期为 2 的周期函数,且是偶函数,已知 x∈[2, 3]时,f (x)=x, 则 当 x∈[-1, 0]时,f (x)的表达式是 y=-x+2 。 二.基本要求、基本方法: 1.理解函数的单调性和奇偶性的概念。 2.能运用定义判断简单函数的奇偶性和单调区间。 3.了解复合函数的单调性和奇偶性的意义,并能解决一些简单的函数问题。 4.理解函数的周期性概念,会求简单函数的最小正周期。 例1. 求出下列函数的单调区间: (1) y=

1? x 1? x 的递减区间是 (―∞, ―1)、 (―1, +∞) ; 函数 y= 的递减区间是 (-1, + 1? x 1? x x 2 2 ; ② y= log0.5 (? x) ; ③ y=1-x ; ④ y=x +2x,其中在区间 (-∞, x ?1

1 ; x ? 2x
2

(2) y= ? x 2 ? 16 .

解:(1) 函数 y=

1 的定义域是 x∈R 且 x≠0, x≠-2. x ? 2x
2
2

又函数 u(x)=x +2x 的图象是开口向上的抛物线,顶点的横坐标是 x=-1, ∴函数 y=

1 在区间(―∞, ―2)上单调递增;在区间上(―2, ―1]单调递增; x ? 2x
2
2

在区间上[-1, 0)单调递减;在区间(0, +∞)上单调递减。 (2) 函数 y= ? x 2 ? 16 的定义域是[-4, +4], u(x)=-x +16 的图象是开口向下的 抛物线,顶点的横坐标是 x=0, ∴函数 y= ? x 2 ? 16 在区间[-4, 0]上单调递增, 在区间[0, 4]上单调递减。 评注:解函数的增减性问题一定要注意原函数的定义域,只有在原函数的定义域内研究
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问题才有意义。 例2. 定义在(-1, 1)上的奇函数 f (x)是减函数,解关于 a 的不等式:f (1―a)+f (1―a )<0. 解:∵ f (1―a)+f (1―a )<0, ∴ f (1―a)<-f (1―a )=f (a ―1).
2 2 2 2

? -1 ? 1 ? a ? 1 ? 0?a?2 ? ? 2 由不等式组 ?? 1 ? 1 ? a ? 1 , 解得 ?0 ? a ? 2 , ?? 2 ? a ? 1 ? 1? a ? a2 ?1 ? ?
∴ 不等式 f (1―a)+f (1―a )<0 的解集是{a| 0<a<1}. 评注:把函数的增减性和奇偶性结合起来,同样要注意原函数的定义域。 例3. 若定义在实数集上的函数 y=f (x)是一个最小正周期为 3 的周期函数,且已知
2

3 ? ?? x 0 ? x ? 2 f (x)= ? , 求 f (π )+f (-π )的值。 3 ? x ? ?x?0 2 ?
解:∵函数 f (x)的最小正周期是 3,∴ f (π )=f (π -3)=-(π -3)=3-π ,

f (-π )=f (-π +3)=3-π , ∴ f (π )+f (-π )=6-2π .
三.基本技能训练题: 1.已知偶函数 f (x)的定义域是 R,则下列函数中为奇函数的是( B ) 。 (A) sin[f (x)] (B) x·f (sinx) (C) f (x)·f (sinx) (D) [f (sinx)]
2

2.已知偶函数 f (x)在[0, 2]内单调递减,若 a=f (-1), b=f ( log 0.5

1 ), c=f (lg 0.5),则 a、 4

b、c 之间的大小关系是( A ) 。 (A)c>a>b (B)a>b>c (C)b>a>c (D)c>b>a 2 3.若函数 f (x)=x +2(a-1)x+2 在区间(-∞, 4)上是减函数,那么实数 a 的取值范围是( A ) 。 (A)a≤-3 (B)a≥-3 (C)a≤5 (D)a≥3
4.函数 y= ? x 2 ? 2x ? 3 的递增区间是 [―3, ―1] ;递减区间是 [-1, 1] 。 5.若 f (x)=(m-1)x +2mx+3m-3 为偶函数,则 m 的值为 0 。 6.设 f (x)是定义在 R 上最小正周期为 T 的函数,则 f (2x+3)是( C ) 。 (A)最小正周期为 T 的函数 (C)最小正周期为 (B)最小正周期为 2T 的函数 (D)不是周期函数
2

T 的函数 2

7.设 f (x)是以 4 为最小正周期的函数,且当-2≤x<2 时, f (x)=x,则 f (-98.6)的值为 ( B ) 。 (A)98.6 (B)1.4 (C)5.4 (D)-2.6 8.函数 y=

1 x 2 ? 2 x ? 80

的单调递增区间是(―∞, ―8)。

9.已知 f (x)=|1-x|,则 f [f (x)]的单调递增区间是 [0, 1]、[2, +∞)。 10. 设定义在 R 上的函数 f (x)的最小正周期为 2,且在区间(3,5]内单调递减,则

a=f(- log 1 2 )、b=f (-4)和 c=f (-π )的大小关系是 a<c<b 。(按从小到大的顺序)
2

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四.试题精选 (一)选择题: 1. 下列四个函数:① y=

x x 2 2 ; ② y=x +x; ③ y=-(x+1) ; ④ y= +2,其中在(-∞, x ?1 1? x

0)上为减函数的是( A ) 。 (A)① (B)④ (C)①、④ (D)①、②、④ 2. 若 y=f (x)是 R 上的偶函数,且当 x∈(0, +∞)时, f (x)=x(1-x),那么当 x∈(-∞, 0) 时,f (x)的表达式是( B ) 。 (A)x(x+1) (B)-x(x+1) (C)-x(x-1) (D)x(x-1) 3.若函数 y=f (x) (f (x)不恒为零)的图象与 y=-f (x)的图象关于原点对称,则 y=f (x)( B ) 。 (A)是奇函数而不是偶函数 (B)是偶函数而不是奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数又不是偶函数 4.函数 y= ( )

2 3

x ?1

的单调递减区间是( C ) 。

(A)(-∞,1] (B)(-∞,0] (C)[1,+∞) (D)(-∞,0]∪[1,+∞) 5.已知 y=f (x)在定义域 R 上是减函数,则函数 y=f (|x+2|)的单调递增区间是( D ) 。 (A)(-∞, +∞) (B)(2, +∞) (C)(-2, +∞) (D)(―∞, ―2) 6.在下列函数中,既是以π 为周期的偶函数,又是在区间(0,
2

? )上为增函数的是( B ) 。 2
sin 2 x

(A)y=x , x∈R (B)y=|sinx|, x∈R (C)y=cos2x, x∈R (D)y=3 , x∈R 7.若函数 f (x)为定义在区间[-6, 6]上的偶函数,且 f (3)>f (1),则下列各式一定成立的是(A) 。 (A)f (-1)<f (3) (B)f (0)<f (6) (C)f (3)>f (2) (D)f (2)>f (3) 8.现有三个函数:f 1(x)=(x-1) 个函数中,下面说法正确的是(A) 。 (A)有一个偶函数,两个非奇非偶函数 (B)有一个偶函数,一个奇函数 (C)有两个偶函数,一个奇函数 (D)有两个奇函数,一个偶函数 (D)以上都不对 9.已知函数 y=f (x)是偶函数(x∈R), 在 x<0 时,y 是增函数,对 x1<0, x2>0,有|x1|<|x2|,则(A) 。 (A)f (-x1)>f (-x2) (B)f (-x1)<f (-x2) (C)f (-x1)=f (-x2) 10.奇函数 y=f (x)的反函数是 y=f =-f (x)在 x∈(-∞, 0)上是(A) 。 (A)增函数 (B)减函数 (C)不是单调函数 (D)常值函数 (二)填空题: 11.已知偶函数 f (x)在[0, π )上是递减函数,那么下列三个数 f (lg 从大到小的顺序是 f (
-1

? x x 1? x ? , f 2(x)= ? 1? x ?? x ? x ?

? 1 x?0 x?0 , f 3(x)= ? , 在这三 x?0 ?? 1 x ? 0

(x),函数 y=f

-1

(x)在 x∈[0, +∞)上是减函数,则函数 y

1 ? 2? ), f ( ), f( ? ), 100 2 3

? 1 2? )>f (lg )>f( ? )。 100 2 3

12.函数 y=x+

1 26 5 在区间[2, 5]上的最大值为 ;最小值为 。 x 5 2
2

13.如果函数 f (x)=x ·(

1 1 +m)为奇函数,则 m 的值为 。 2 2 ?1
x

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14.若函数 p(x)、q(x)均为奇函数,f (x)=a·p(x)+b·q(x)+2 (a +b ≠0, a, b 为常数)且 f (x) 在(0, +∞)上有最大值 5,则 f (x)的最小值为 -1 (三)解答题: 15.判断函数 f (x)= 解:设-1<x1<x2<1, 则 。

2

2

ax (a≠0)在区间(-1,1)上的单调性。 x ?1
2

f (x1)-f (x2)=

ax1 x1 ? 1
2



ax 2 x2 ? 1
2



a( x1 x 2 ? 1)( x 2 ? x1 ) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
2 2

,

∵ x1 -1<0, x2 -1<0, x1x2+1<0, x2-x1>0, ∴

2

2

( x1 x 2 ? 1)( x 2 ? x1 ) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
2 2

>0,

∴ 当 a>0 时, f (x1)-f (x2)>0, 函数 y=f (x)在(-1, 1)上为减函数, 当 a<0 时, f (x1)-f (x2)<0, 函数 y=f (x)在(-1, 1)上为增函数。 16.设函数 y=f (x)是定义在 R 上的偶函数,并在区间(-∞, 0)内单调递增,

f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),求 a 的取值范围,并在该范围内求函数 y= ( ) a

1 2

2

?3 a ?1

的单调区间。

解:函数 y=f (x)是定义在 R 上的偶函数,并在区间(-∞, 0)内单调递增, ∴ 在区间(0, +∞)上递 减,又 ∵2a +a+1>0, 3a -2a+1>0, f(2a +a+1)<f(3a -2a+1), ∴2a +a+1>3a -2a+1, 解得 0<a<3, ∴ 函数 y= ( )
2 2 2 2 2 2

1 2

a 2 ?3 a ?1

在(0,

3 3 )上递增,在( , 3)上递减。 2 2
?1

17.已知函数 f (x)= (

x ?1 2 ) (x≥1),试求出 f (x)的反函数 y=f x ?1

(x)的单调区间。

解:函数 f (x)= (

x ?1 2 1? x ) (x≥1)的值域为 0≤y<1, 它的反函数 f-1(x)= 0≤x<1, x ?1 1? x

用函数增减性的定义证明该函数在 0≤x<1 上是增函数。 解 2:考虑原函数的增减性,f (x)=(1- 增函数。 18.设函数 y=f (x)是奇函数,对于任意 x、y∈R 都有 f (x+y)=f (x)+f (y),且当 x>0 时, y<0, f(1) =-2,求函数 y=f (x)在区间[-3, 3]上的最大值和最小值。 解:设 x1, x2∈[-3, 3], 且 x1<x2, x2-x1>0, ∴ f(x2)-f (x1)=f (x2-x1+x1)-f (x1)= f (x2-x1)+f (x1)- f (x1)= f (x2-x1)<0, ∴ 函数 y=f (x)为减函数, ∴ 当 x=3 时, f (3)=3f (1)=-6, 为最小值;当 x=-3 时, f (-3)=3f (-1)=6 为最大值。 19.已知函数 f (x)=4-x , 求函数 f (x -2x-3)的递增区间。 解:设 F(x)= f (x -2x-3)=f (u), u=x -2x-3, 对于函数 u=x -2x-3,当 x≥1 时, 函数 u 为增函数,当 x<1 时, 函数 u 为减函数, 对于函数 f (u)=4-u , 当 u≥0 时, f (u)为减函数,当 u<0 时, f (u)为增函数, ∴ 当 x≥3 时, 函数 u 为增函数且 u≥0, f (u)为减函数,此时 F(x)为减函数, 当 1≤x≤3 时, 函数 u 为增函数且 u≤0, f (u)为增函数,此时 F(x)为增函数,
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2 2 2 2 2 2

2 2 ) , 当 x>1 时, y=f (x)为增函数,∴它的反函数也是 x ?1

当-1≤x≤1 时, 函数 u 为减函数且 u≤0, f (u)为增函数,此时 F(x)为减函数, 当 x≤-1 时, 函数 u 为减函数且 u≥0, f (u)为减函数,此时 F(x)为增函数, 综上得,函数 f (x -2x-3)的递增区间是[1, 3]与(-∞, -1).
2

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