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2012年高考真题汇编理科数学(剩余版)7:立体几何 2_图文

2012 高考真题分类汇编:立体几何
2.【2012 高考真题浙江理 10】已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 。将△沿矩形的对角线 BD 所在 的直线进行翻折,在翻折过程中。 A. 存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直. B. 存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直. C. 存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直. D. 对任意位置,三对直线“AC 与 BD” , “AB 与 CD” , “AD 与 BC”均不垂直 【答案】C 【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可 知选项 C 是正确的. 18.【2012 高考真题辽宁理 16】已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的求面 上,若 PA,PB ,PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________。 【答案】

3 3

【解析】因为在正三棱锥 P ? ABC 中,PA,PB ,PC 两两互相垂直,所以可以把该正三棱锥看 作为一个正方体的一部分, (如图所示) ,此正方体内接于球,正方体的体对角线为球的直径, 球心为正方体对角线的中点。球心到截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥 P ? ABC 在面

ABC 上的 高。已知球的半径为 3 ,所以正方体的棱长为 2,可求得正三棱锥 P ? ABC 在面 ABC 上的高



2 3 2 3 3 ? ,所以球心到截面 ABC 的距离为 3 ? 3 3 3

【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以

-1-

及转化思想,该题灵活性较强,难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手,注意到 条件中的垂直关系,把三棱 19. 【2012 高考真题上海理 8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的 体积为 。 【答案】

3 ? 3
1 2 ?l ? 2? ,所以 l 2 ? 4 ,即 l ? 2 ,即圆锥的母线为 l ? 2 , 2

【解析】因为半圆面的面积为

2 2 底面圆的周长 2?r ? ?l ? 2? , 所以圆锥的底面半径 r ? 1 , 所以圆锥的高 h ? l ? r ? 3 ,

所以圆锥的体积为

1 3 1 3 ?r h ? ? ? 3 ? ?。 3 3 3

20.【2012 高考真题上海理 14】 如图,AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱,BC ? 2 , 若 AD ? 2c ,且 AB ? BD ? AC ? CD ? 2a ,其中 a 、 c 为常数,则四面体 ABCD 的体积 的最

大值是 【答案】



2 c a2 ? c2 ?1 。 3 2 1 S ADE ? BC = S ADE , 3 3

【解析】过点 A 做 AE⊥BC,垂足为 E,连接 DE,由 AD⊥BC 可知,BC⊥平面 ADE, 所以 V ? VB ? ADE ? VC ? ADE ?

当 AB=BD=AC=DC=a 时,四面体 ABCD 的体积最大。 过 E 做 EF⊥DA,垂足为点 F,已知 EA=ED ,所以△ADE 为等腰三角形,所以点 E 为 AD 的中点, 又 AE ? AB ? BE ? a ? 1 ,∴EF=
2 2 2 2

AE2 ? AF 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,

1 AD ? EF = c a 2 ? c 2 ? 1 , 2 2 2 2 2 ∴四面体 ABCD 体积的最大值Vmax ? S ADE = c a ? c ? 1 。 3 3
∴ S ADE = 21. 【2012 高考江苏 7】 (5 分) 如图, 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB ? AD ? 3cm ,AA1 ? 2cm , 则四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为 ▲ cm3 .

-2-

【答案】 6。 【考点】正方形的性质,棱锥的体积。 【解析】∵长方体底面 ABCD 是正方形,∴△ ABD 中 BD =3 2 cm, BD 边上的高是 (它也是 A ? BB1D1D 中 BB1D1D 上的高) 。 ∴四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为 ? 3 2 ? 2 ?

3 2 cm 2

1 3

3 2=6 。 2

22. 【2012 高考真题安徽理 12】某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是 _____ .

【答案】92 【命题立意】本题考查空间几何体的三视图以及表面积的求法。 【解析】该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱, 几何体的表面积是 S ? 2 ?

1 ? (2 ? 5) ? 4 ? (2 ? 5 ? 4 ? 42 ? (5 ? 2) 2 ) ? 4 ? 92 . 2

23. 【2012 高考真题天津理 10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体
6
3 2 正视图

3
1

3 2 侧视图

3

积为_________m3 . 【答案】 18 ? 9?

俯视图

【解析】根据三视图可知,这是一个上面为长方体,下面有两个直径为 3 的球构成的组合体,

-3-

两个球的体积为 2 ?

4 3 ? ? ( ) 3 ? 9? ,长方体的体积为 1 ? 3 ? 6 ? 18 ,所以该几何体的体积 3 2

为 18 ? 9? 。 24. 【 2012 高考 真题全 国卷理 16 】三菱 柱 ABC-A1 B1 C1 中,底 面边长 和侧棱长 都相等, BAA1 =CAA1 =60°则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________. 【答案】

6 3

【解析】 如图

设 AA 设棱长为 1, 则 1 ? a, AB ? b, AC ? c,

AB1 ? a ? b, BC1 ? a ? BC ? a ? c - b , 因 为 底 面 边 长 和 侧 棱 长 都 相 等 , 且
0 a?b ? a?c ? b?c ? ?BAA 1 ? ?CAA 1 ? 60 所 以

1 2 , 所 以 AB1 ? (a ? b) ? 3 , 2

BC1 ? (a ? c - b) 2 ? 2 , AB1 ? BC1 ? (a ? b) ? (a ? c - b) ? 2 ,设异面直线的夹角为

? ,所以 cos? ?

AB1 ? BC1 AB1 BC1

?

2 2? 3

?

6 . 3

三、解答题
25. 【2012 高考真题广东理 18】 (本小题满分 13 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD ,点 E 在线段 PC 上, PC⊥平面 BDE.

(1) 证明:BD⊥平面 PAC; (2) 若 PH=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值; 【答案】本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面垂直的证明、二面角的求解 等问题,考查了学生的空间想象能力以及推理论证能力.

-4-

26. 【2012 高考真题辽宁理 18】(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A B C , ?BAC ? 90 ,
/ / /

AB ? AC ? ? AA/ , 点 M,N 分别为 A/ B 和 B / C / 的中点。
(Ⅰ)证明: MN ∥平面 A ACC ; (Ⅱ)若二面角 A ? MN ? C 为直二面角,求 ? 的值。
/ / /

【答案】

-5-

-6-

【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定,借助空间直角坐标系求平 面的法向量的方法,并利用法向量判定平面的垂直关系,考查空间想象能力、推理论证能力、 运算求解能力,难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行,也可通过面面平行 来证明。 27. 【2012 高考真题湖北理 19】 (本小题满分 12 分) 如图 1, ?ACB ? 45 , BC ? 3 ,过动点 A 作 AD ? BC ,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B, 连接 AB,沿 AD 将△ ABD 折起,使 ?BDC ? 90 (如图 2 所示) . (Ⅰ )当 BD 的长为多少时,三棱锥 A ? BCD 的体积最大; (Ⅱ )当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时,设点 E , M 分别为棱 BC , AC 的中点,试在 棱 CD 上确定一点 N ,使得 EN ? BM ,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小. A A M

B

D 图1

C B

D

. · E

C

图2 第 19 题图

【答案】 (Ⅰ)解法 1:在如图 1 所示的△ ABC 中,设 BD ? x (0 ? x ? 3) ,则 CD ? 3 ? x . 由 AD ? BC , ?ACB ? 45 知,△ ADC 为等腰直角三角形,所以 AD ? CD ? 3 ? x . D D ? C 由折起前 AD ? BC 知,折起后(如图 2) ,A , AD ? BD ,且 BD DC ? D , 1 1 所以 AD ? 平面 BCD .又 ?BDC ? 90 ,所以 S?BCD ? BD ? CD ? x(3 ? x) .于是 2 2 1 1 1 1 VA? BCD ? AD ? S?BCD ? (3 ? x) ? x(3 ? x) ? ? 2x(3 ? x)(3 ? x) 3 3 2 12 3 1 ? 2 x ? (3 ? x) ? (3 ? x) ? 2 ? ? ? , ? 12 ? 3 3 ? 当且仅当 2 x ? 3 ? x ,即 x ? 1 时,等号成立,

-7-

故当 x ? 1 ,即 BD ? 1 时, 三棱锥 A ? BCD 的体积最大. 解法 2: 1 1 1 1 同解法 1,得 VA? BCD ? AD ? S?BCD ? (3 ? x) ? x(3 ? x) ? ( x3 ? 6x2 ? 9x) . 3 3 2 6 1 3 1 令 f ( x) ? ( x ? 6 x2 ? 9 x) ,由 f ?( x) ? ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,且 0 ? x ? 3 ,解得 x ? 1 . 6 2 ? 当 x ? (0, 1) 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? (1, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 所以当 x ? 1 时, f ( x) 取得最大值. 故当 BD ? 1 时, 三棱锥 A ? BCD 的体积最大. (Ⅱ )解法 1:以 D 为原点,建立如图 a 所示的空间直角坐标系 D ? xyz . 由(Ⅰ )知,当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时, BD ? 1 , AD ? CD ? 2 .

1 于是可得 D (0, 0, 0) , B(1, 0, 0) , C (0, 2 , 0) , A(0, 0, 2) , M (0, 1, 1) , E ( , 1, 0) , 2
且 BM ? (?1, 1, 1) .

1 设 N (0, ? , 0) ,则 EN ? (? , ? ? 1,0) . 因为 EN ? BM 等价于 EN ? BM ? 0 ,即 2
1 1 1 1 (? , ? ?1, 0) ? (?1, 1, 1) ? ? ? ? 1 ? 0 ,故 ? ? , N (0, , 0) . 2 2 2 2 1 所以当 DN ? (即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点)时, EN ? BM . 2

? 1 ?n ? BN , 设平面 BMN 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,由 ? 及 BN ? (?1, ,0) , 2 ? ?n ? BM ,
? y ? 2 x, 得? 可取 n ? (1, 2, ? 1) . ? z ? ? x. 1 1 设 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 ? ,则由 EN ? (? , ? , 0) , n ? (1, 2, ? 1) ,可得 2 2 1 | ? ? 1| n ? EN 3 2 ,即 ? ? 60 . sin ? ? cos(90 ? ? ) ? ? ? 2 | n | ? | EN | 2 6? 2

-8-

z A M

A M

DN B x E 图a C y B

DN E 图b

F

C

M

D

N

F E

C

G

H

N E

B

图c

P

B 图d 第 19 题解答图

故 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60 . 解法 2:由(Ⅰ )知,当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时, BD ? 1 , AD ? CD ? 2 . 如图 b,取 CD 的中点 F ,连结 MF , BF , EF ,则 MF ∥ AD . 由(Ⅰ )知 AD ? 平面 BCD ,所以 MF ? 平面 BCD . 如图 c,延长 FE 至 P 点使得 FP ? DB ,连 BP , DP ,则四边形 DBPF 为正方形, 所以 DP ? BF . 取 DF 的中点 N ,连结 EN ,又 E 为 FP 的中点,则 EN ∥ DP , 所以 EN ? BF . 因为 MF ? 平面 BCD ,又 EN ? 面 BCD ,所以 MF ? EN . 又 MF BF ? F ,所以 EN ? 面 BMF . 又 BM ? 面 BMF ,所以 EN ? BM . 因为 EN ? BM 当且仅当 EN ? BF ,而点 F 是唯一的,所以点 N 是唯一的. 1 即当 DN ? (即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点) , EN ? BM . 2 5 连接 MN , ME ,由计算得 NB ? NM ? EB ? EM ? , 2 所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形, 如图 d 所示,取 BM 的中点 G ,连接 EG , NG , 则 BM ? 平面 EGN .在平面 EGN 中,过点 E 作 EH ? GN 于 H , 则 EH ? 平面 BMN .故 ?ENH 是 EN 与平面 BMN 所成的角.

2 ,所以△EGN 是正三角形, 2 故 ?ENH ? 60 ,即 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60 .
在△EGN 中,易得 EG ? GN ? NE ? 28. 【2012 高考真题新课标理 19】 (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AC ? BC ?

1 AA1 , 2

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D 是棱 AA1 的中点, DC1 ? BD
(1)证明: DC1 ? BC (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小. 【答案】 (1)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC 得: ?ADC ? 45
?

? ? 同理: ?A 1DC1 ? 45 ? ?CDC 1 ? 90

得: DC1 ? DC, DC1 ? BD ? DC1 ? 面 BCD ? DC1 ? BC (2) DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A 1 ? BC ? AC 取 A1B1 的中点 O ,过点 O 作 OH ? BD 于点 H ,连接 C1O, C1H

A1 C1 ? B1 C1? C1 O ? O H? B D ? 1C H ?

A B ,面 1 1 A 1 B1C1 ? 面 A 1BD ? C1O ? 面 A 1BD
H 与点 D 重合 B 得:点 D

且 ?C1DO 是二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角 设 AC ? a ,则 C1O ?

2a ? , C1D ? 2a ? 2C1O ? ?C1DO ? 30 2
?

既二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30

E 分别 29.【2012 高考江苏 16】 (14 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, A1B1 ? AC 1 1 ,D ,

F 为 B1C1 的中点. CC 1 上的点(点 D 不同于点 C ) 是棱 BC , ,且 AD ? DE ,
求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ;
- 10 -

(2)直线 A1F // 平面 ADE .

【答案】证明: (1)∵ ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,∴ CC1 ? 平面 ABC 。 又∵ AD ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AD 。 又∵ AD ? DE , CC1,DE ? 平面 BCC1 B1,CC1

DE ? E ,∴ AD ? 平面

BCC1 B1 。
又∵ AD ? 平面 ADE ,∴平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 。 (2)∵ A1 B1 ? A1C1 , F 为 B1C1 的中点,∴ A1 F ? B1C1 。 又∵ CC1 ? 平面 A1 B1C1 ,且 A1 F ? 平面 A1 B1C1 ,∴ CC1 ? A1 F 。 又∵ CC1, B1C1 ? 平面 BCC1 B1 , CC1

B1C1 ? C1 ,∴ A1F ? 平面 A1 B1C1 。

由(1)知, AD ? 平面 BCC1 B1 ,∴ A1 F ∥ AD 。 又∵ AD ? 平面 ADE, A1 F ? 平面 ADE ,∴直线 A1F // 平面 ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。 【解析】 (1)要证平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ,只要证平面 ADE 上的 AD ? 平面 BCC1 B1 即可。 它可由已知 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱和 AD ? DE 证得。 (2)要证直线 A1F // 平面 ADE ,只要证 A1 F ∥平面 ADE 上的 AD 即可。 30. 【2012 高考真题四川理 19】(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, ?APB ? 90 , ?PAB ? 60 , AB ? BC ? CA ,平面

PAB ? 平面 ABC 。
(Ⅰ)求直线 PC 与平面 ABC 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小。 【答案】本题主要考查直线与平面的位置关系,线面角的概念,二面角的概念等基础知识, 考查空间想象能力,利用向量解决立体几何问题的能力.

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31. 【2012 高考真题福建理 18】如图,在长方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中 AA1 =AD=1,E 为 CD 中点. (Ⅰ)求证:B1E⊥AD1; (Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在,求 AP 的行;若存在,求 AP 的长;若不存在,说明理由. (Ⅲ)若二面角 A-B1 EA1 的大小为 30°,求 AB 的长.

【答案】本题主要考查立体几何中直线与直线、直线与平面的位置关系及二面角的概念与求 法等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、基本运算能力,以及函数与方程的思想、 数形结合思想、化归与转化思想.

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32. 【2012 高考真题北京理 16】 (本小题共 14 分) 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC, DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1 DE 的位置,使 A1 C⊥CD, 如图 2. (I)求证:A1 C⊥平面 BCDE; (II)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (III)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直?说明理由

【答案】解: (1)

CD ? DE , A1 E ? DE

? DE ? 平面 A1CD ,

- 14 -



AC ? 平面 A1CD , 1

? DE ? AC 1

又 A1C ? CD ,
? 平面 BCDE 。 ? AC 1

(2)如图建系 C ? xyz ,则 D ? ?2 , 3, 0 ? , E ? ?2 , 0, 0 ? , A 0 ,0 ,2 3 , B ? 0 , 2, 0? ∴ ? 1, 0? A1 B ? 0 ,3 ,? 2 3 , A1E ? ? ?2 , 设平面 A1 BE 法向量为 n ? ? x ,y ,z ?

?

?

?

?

? ?A B ? n ? 0 则? 1 ? ? A1 E ? n ? 0
∴ n ? ?1 ,2 , 3

? ?3 y ? 2 3z ? 0 ∴ ? ? ??2 x ? y ? 0

? 3 z? y ? ? 2 ∴ ? ?x ? ? y ? ? 2

z A1 (0,0,2 3) M E (-2,2,0) y B (0,3,0)

?

? ? ?
C (0,0,0) x

D (-2,0,0)

又∵ M ?1 ,0 , 3

?

∴ CM ? ?1 ,0 , 3 ∴ cos ? ?

?

CM ? n 1? 3 4 2 ? ? ? 2 | CM | ? | n | 1? 4 ? 3 ? 1? 3 2 ? 2 2 ,

CM 与平面 A1 BE 所成角的大小 45 ? 。 ∴

(3)设线段 BC 上存在点 P ,设 P 点坐标为 ? 0 , a, 0? ,则 a ? ? 0 , 3?

a, 0? 则 A1 P ? 0 ,a ,? 2 3 , DP ? ? 2 ,
设平面 A1 DP 法向量为 n1 ? ? x1 ,y1 ,z1 ? ,

?

?

? ?ay ? 2 3z1 ? 0 则? 1 ? ?2 x1 ? ay1 ? 0
∴ n1 ? ?3a ,6 , 3a

? 3 z1 ? ay1 ? ? 6 ∴? ? x ? ? 1 ay 1 1 ? ? 2

?

?。

假设平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直, 则 n1 ? n ? 0 ,∴ 3a ? 12 ? 3a ? 0 , 6a ? ?12 , a ? ?2 , ∵ 0 ? a ? 3 ,∴不存在线段 BC 上存在点 P ,使平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直。 33. 【2012 高考真题浙江理 20】(本小题满分 15 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面是 边长为 2 3 的菱形,且∠BAD =120°,且 PA⊥平面 ABCD ,PA= 2 6 ,M,N 分别为 PB,PD 的

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中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 ABCD ; (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值.

【命题立意】本题主要考查空间点、线、面的位置关系,二面角所成角等基础知识,同 时考查空间想象能力和推理论证能力。 【答案】(Ⅰ)如图连接 BD. ∵M,N 分别为 PB,PD 的中点, ∴在 ? PBD 中,MN∥BD. 又 MN ? 平面 ABCD , ∴MN∥平面 ABCD ; (Ⅱ)如图建系: A(0,0,0),P(0 ,0, 2 6 ),M( ? N( 3 ,0,0),C( 3 ,3,0). 设 Q(x,y,z ),则 CQ ? ( x ? 3,y ? 3,z), CP ? (? 3, ? 3, 2 6) . ∵ CQ ? ? CP ? (? 3?, ? 3?, 2 6? ) ,∴ Q( 3 ? 3?, 3 ? 3?, 2 6? ) . 由 OQ ? CP 即: Q(
? OQ ? CP ? 0 ,得: ? ?
1 . 3

3 3 , ,0), 2 2

2 3 2 6 ,2, ). 3 3

对于平面 AMN:设其法向量为 n ? (a,b,c) . ∵ AM ? (?
3 3 , , 0),AN =( 3, 0, 0) . 2 2

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? AM ? n ? 0 则? ? ? AN ? n ? 0 ?

? 3 3 a? b ? 0 ?? ? ? 2 2 ? 3a ? 0 ?

?

? 3 ?a ? 3 ? 1 ? . ?b ? 3 ? ?c ? 0 ? ?

∴n?(

3 1 , ,0) . 3 3

同理对于平面 AMN 得其法向量为 v ? ( 3,, 1 ? 6) . 记所求二面角 A—MN—Q 的平面角大小为 ? , 则 cos ? ?
n?v n?v ? 10 . 5

∴所求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值为 34. 【2012 高考真题重庆理 19】 (本小题满分 12 分 AC=BC=3,D 为 AB 的中点

10 . 5

如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB=4,

(Ⅰ)求点 C 到平面 A1 ABB 1 的距离; (Ⅱ)若 AB1 ? AC 1 求二面角 的平面角的余弦值. 【答案】 【命题立意】本题考查立体几何的相关知识,考查线面垂直关系、二面角的求法以及空间向 量在立体几何中的应用.

- 17 -

35. 【2012 高考真题江西理 20】 (本题满分 12 分)

- 18 -

在三棱柱 ABC-A1 B1 C1 中,已知 AB=AC=AA1 = 5 ,BC=4,在 A1 在底面 ABC 的投影是线段 BC 的 中点 O。

(1)证明在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE⊥平面 BB1 C1 C,并求出 AE 的长; (2)求平面 A1B1C 与平面 BB1 C1 C 夹角的余弦值。 【答案】

【点评】本题考查线面垂直,二面角、向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想象的 能力. 高考中,立体几何解答题一般有以下三大方向的考查. 一、考查与垂直,平行有关的线 面关系的证明;二、考查空间几何体的体积与表面积;三、考查异面角,线面角,二面角等 角度问题. 前两种考查多出现在第 1 问,第 3 种考查多出现在第 2 问;对于角度问题,一般有 直接法与空间向量法两种求解方法. 36. 【2012 高考真题安徽理 18】 (本小题满分 12 分)

- 19 -

平 面 图 形 ABB 如 图 4 所 示 , 其 中 BB1C1C 是 矩 形 , B C ? 2 , B 1 B? 4, 1 A 1 C 1 C 。现将该平面图形分别沿 BC 和 B1C1 折叠,使 ?ABC 与 AB ? AC ? 2 , A1B1 ? AC 1 1 ? 5

?A1B1C1 所在平面都与平面 BB1C1C 垂直,再分别连接 AA1 , BA1 , CA1 , 得到如图 2 所示的空间
图形,对此空间图形解答下列问题。

(Ⅰ)证明: AA 1 ? BC ;

(Ⅱ)求 AA 1 的长;

(Ⅲ)求二面角 A ? BC ? A 1 的余弦值。 【答案】本题考查平面图形与空间图形的转化,空间直线与直线、直线与平面、平面与 平面的位置关系的判定。空间线段长度和空间角的余弦值的计算等基础知识和基本技能,考 查空间想象能力,推理论证能力和求解能力。 【解析】(综合法 ) (I )取 BC , B1C1 的中点为点 O, O1 ,连接 AO, OO1 , AO 1 , AO 1 1, 则 AB ? AC ? AO ? BC ,面 ABC ? 面 BB1C1C ? AO ? 面 BB1C1C , 同理: A1O1 ? 面 BB1C1C 得: AO / / AO 1 1 ? A, O, A 1, O 1 共面, 又 OO1 ? BC, OO1

AO ? O ? BC ? 面 AOO1 A1 ? AA1 ? BC 。

(Ⅱ)延长 AO 1D/ /OA ? AD/ /OO 1, 1 1 到 D ,使 O 1 D ? OA ,得: O

OO1 ? BC ,面 A1 B1C1 ? 面 BB1C1C ? OO1 ? 面 A1 B1C1 ? AD ? 面 A1 B1C1 ,
AA1 ? AD 2 ? DA2 ? 42 ? (2 ? 1) 2 ? 5 。

? BC ? ?AOA1 是二面角 A ? BC ? A1 的平面角。 (Ⅲ) AO ? BC, AO 1
在 Rt ?OO1 A1 中, A 1 O ?

OO12 ? A1O12 ? 42 ? 22 ? 2 5 ,

- 20 -

在 Rt ?OAA 1 中, cos ?AOA 1 ?

2 AO2 ? AO ? AA12 5 1 , ?? 2 AO ? AO 5 1

得:二面角 A ? BC ? A 1 的余弦值为 ?

5 。 5

37. 【2012 高考真题上海理 19】 (6+6=12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 矩形, PA ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中点,已知 AB ? 2 , AD ? 2 2 , PA ? 2 ,求: (1)三角形 PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小。

【答案】 【解析】 (1)∵PA⊥底面 ABCD ,∴PA⊥CD, 又∵CD ⊥AD ,∴CD ⊥平面 PAD, ∴CD⊥PD , 又∵ PD ?

2 2 ? (2 2 ) 2 ? 2 3 ,CD=2,
1 ? 2? 2 3 ? 2 3 。 2

∴△PCD 的面积为

(2)解法一:取 PB 的中点 F,连接 EF,AF, 则 EF∥BC,∴∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角。 在△ADF 中,EF= 2 、AF= 2 ,AE=2, ∴△AEF 是等腰直角三角形, ∴∠AEF=

? , 4

∴异面直线 BC 与 AE 所成的角大小为

? 。 4

解法二:如图所示,建立空间直角坐标系,
- 21 -

则 B(2,0,0),C(2, 2 2 ,0),E(1, 2 ,1), 设 AE 与 BC 的夹角为 ? ,则

∴ AE =(1, 2 ,1), BC =(0, 2 2 ,0),

cos ? ?

AE ? AC AE AC

=

4 2? 2 2

?

2 ,, 2

又∵0< ? ≤

? ? ,∴ ? = 。 2 4

【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证 能力.综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解,同时考查空间几何体的体积公式的运 用.本题源于《必修 2》立体几何章节复习题,复习时应注重课本,容易出现找错角的情况, 要考虑全面,考查空间想象能力,属于中档题. 38. 【2012 高考真题全国卷理 18】 (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥底面 ABCD ,AC=2 的一点,PE=2EC.

2 ,PA=2,E 是 PC 上

- 22 -

(Ⅰ)证明:PC⊥平面 BED ; (Ⅱ)设二面角 A-PB-C 为 90°,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小. 【答案】

- 23 -

39. 【2012 高考真题山东理 18】 (18) (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形, AB ∥ CD , ?DAB ? 60 , FC ? 平面

- 24 -

ABCD, AE ? BD, CB ? CD ? CF .
(Ⅰ)求证: BD ? 平面 AED ; (Ⅱ)求二面角 F ? BD ? C 的余弦值. 【答案】

- 25 -

- 26 -

40.【2012 高考真题湖南理 18】 (本小题满分 12 分) 如图 5,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E 是 CD 的中点. (Ⅰ)证明:CD⊥平面 PAE; (Ⅱ)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 P-ABCD 的 体积.

【答案】解法 1(Ⅰ如图(1) ) ,连接 AC,由 AB=4, BC ? 3 , ?ABC ? 90 ,得AC ? 5.

又AD ? 5, E是CD的中点,所以 CD ? AE. PA ? 平面ABCD, CD ? 平面ABCD, 所以 PA ? CD.
而 PA, AE是平面PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE. (Ⅱ)过点B作 BG ? ?CD, 分别与AE, AD相交于F , G, 连接PF. 由(Ⅰ)CD⊥平面 PAE 知,BG⊥平面 PAE.于是 ? BPF 为直线PB与平面 PAE 所成的角,且 BG ? AE . 由 PA ? 平面ABCD 知, ?PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角.

AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 由题意,知 ?PBA ? ?BPF ,
因为 sin ?PBA ?

PA BF ,sin ?BPF ? , 所以 PA ? BF . PB PB

由 ?DAB ? ?ABC ? 90 知,AD / / BC, 又BG / /CD, 所以四边形 BCDG 是平行四边形,故

GD ? BC ? 3. 于是 AG ? 2.
在 RtΔBAG 中, AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 所以

BG ? AB2 ? AG 2 ? 2 5, BF ?

AB2 16 8 5 ? ? . BG 2 5 5

- 27 -

于是 PA ? BF ?

8 5 . 5
1 ? (5 ? 3) ? 4 ? 16, 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 2

又梯形 ABCD 的面积为 S ?

V?

1 1 8 5 ?S ?P A ? 1 6 ? ? 3 3 5

1 2 8 ? . 1 5

5

解法 2:如图(2) ,以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所在直线分别为 x轴,y轴,z轴 建立空 间直角坐标系.设 PA ? h, 则相关的各点坐标为:

A(4,0,0), B(4,0,0), C(4,3,0), D(0,5,0), E(2, 4,0), P(0,0, h).
(Ⅰ)易知 CD ? (?4, 2,0), AE ? (2, 4,0), AP ? (0,0, h). 因为

CD ? AE ? ?8 ? 8 ? 0 ? 0, CD ? AP ? 0, 所以 CD ? AE, CD ? AP. 而 AP, AE 是平面 PAE 内
的两条相交直线,所以 CD ? 平面PAE. (Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知, CD, AP 分别是 平面PAE , 平面ABCD 的法向量,而 PB 与

平面PAE 所成的角和 PB 与 平面ABCD 所成的角相等,所以

cos ? CD, PB ? ? cos ? PA, PB ? ,即

CD ? PB CD ? PB

?

PA ? PB PA ? PB

.

由(Ⅰ)知, CD ? (?4, 2,0), AP ? (0,0, ?h), 由 PB ? (4,0, ?h), 故

- 28 -

?16 ? 0 ? 0 2 5 ? 16 ? h
解得 h ?
2

?

0 ? 0 ? h2 h ? 16 ? h2

.

8 5 . 5
1 ? (5 ? 3) ? 4 ? 16 ,所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 2

又梯形 ABCD 的面积为 S ?

1 1 8 5 128 5 . V ? ? S ? PA ? ?16 ? ? 3 3 5 15
41. 【2012 高考真题天津理 17】 (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2, AC=1. (Ⅰ)证明 PC⊥AD; (Ⅱ)求二面角 A-PC-D 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30°,求 AE 的长.

P

B A C

D
【答案】

- 29 -

- 30 -

- 31 -


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