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惠州市2013届高三第一次模拟考试理数试卷

惠州市 2013 届高三第一次模拟考试

数学试题(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知 A ? A.? 1 ?

? x|x

2

? 4 x ? 5 ? 0 ? , B ? ? x | x 2 ? 1 ? ,则 A ? B ? (
B.? 1 , ? 1 , 5 ? C.



?

?1 ?

D.? 1 , ? 1 , ? 5 ? )

2. 已知复数 z ? i(1 ? i) ( i 为虚数单位) ,则复数 z 在复平面上所对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? -2, 则抛物线的方程是( A. y ? 8 x
2

B. y ? ?8 x
2

C. y ? ?4 x
2

D.

y2 ? 4x


4.如图是某简单组合体的三视图, 则该组合体的体积为( A. 36 3(? ? 2) C. 108 3? B. 36 3(? ? 2) D. 108( 3? ? 2)

5.已知向量 a ? (?1,1) , b ? (3, m) , a //(a ? b) ,则 m ? ( A. 2 B. ?2 C. ?3 D. 3

?

?

?

? ?



6.设随机变量 ? 服从正态分布 N (3, 4) ,若 P(? ? 2a ? 3) ? P(? ? a ? 2) ,则 a ? ( A. 3
x



B.

5 3

C. 5

D. )

7 3

7.已知函数 f ? x ? ? 3 ? x ? 9 的零点为 x0 , 则 x0 所在区间为( A. ? ? , ? ? 2 2

? 3 ?

1? ?

B. ? ? , ? ? 2 2?
2

? 1 1?

C. ? , ? 2 2

?1 3? ? ?

D. ? , ? ?2 2?

?3 5?

8.设 P 为曲线 C : y ? x ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为

? ?? ?0, 4 ? ,则点 P 横坐标的取值范围为 ( ? ?
A. ? ?1, ? ? 2

)

? ?

1? ?

B. ? ?1, 0?

C. ? 0,1?

D. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.在等差数列 {an } 中,有 a6 ? a7 ? a8 ? 12 ,则此数列的前 13 项之和为 .

1

10. ( x ? )6 展开式中,常数项是 11.执行如图的程序框图,那么输出 S 的值是

2 x

. .

开始

S ? 2, k ? 1

12.已知集合 A、B、C, ={直线}, B ={平面}, C ? A? B . A 若 a ? A, b ? B, c ? C ,给出下列四个命题:
k ? 2013


? a // b ?a ? b ?a // b ? a // c ② ? ? a // c ③ ? ?a?c ①? ?c // b ?c ? b ?c ? b ?a ? b ?a?c ④? ?c // b
其中所有正确命题的序号是 .

是 1 S? 1? S

输出 S

结束

k ? k ?1

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 13 . 设 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 , 则 目 标 函 数 z ? 3x ? 2 y 的 最 小 值 ?x ?1 ? 0 ?
为 .

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的 得分. 14. (坐标系与参数方程选做题)若直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? 则 ? ? 1 上的点到直线 l 的距离为 d , d 的最大值为 .

?
4

) ? 3 2 ,曲线 C :

15.(几何证明选讲选做题) 如图圆 O 的直径 AB ? 6 , P 是

AB 的延长线上一点,过点 P 作圆 O 的切线,切点为 C ,连接
AC ,若 ?CPA ? 30? ,则 PC ?
.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤. 16. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 f ( x)? A s i? (? ? ? ) ,( x ? R , 其 中 n x 1

A ? 0 , ? 0 ,?0 ? ? ?
(1)求 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? [0,

?
2

)的周期为 ? ,且图像上一个最低点为 M (

2? , ?1) 3

?
12

] 时,求 f ( x) 的值域.

17. (本小题满分 12 分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中, 规定每位同学只能选
2

一个科目。已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙,情况如下表: 科目甲 第一小组 第二小组 总计 1 2 3 科目乙 5 4 9 总计 6 6 12

现从第一小组、第二小组中各任选 2 人分析选课情况. (1)求选出的 4 人均选科目乙的概率; (2)设 ? 为选出的 4 个人中选科目甲的人数,求 ? 的分布列和数学期望.

ABC ? A1B1C1 中 , 侧 棱 与 底 面 垂 直 , A1 AB ? AC , AB ? AC ? AA1 ? 2 ,点 M , N 分别为 A1B 和 B1C1 的中点. N B1 (1)证明: MN // 平面A1 ACC1 ; 18 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 如 图 ,
(2)求二面角 N ? MC ? A 的正弦值.

C1

M A C

19. (本小题满分 14 分)

B
已知中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为

3 2

y P

的椭圆过点( 2 ,

2 ) . 2

Q

O

x

(1)求椭圆的方程; (2)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P 、 Q 两点,满足直线 OP , PQ , OQ 的斜率 依次成等比数列,求 ?OPQ 面积的取值范围.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? log mx( m 为常数,0 ? m ? 1 ) 且数列 ? f ( an )? 是首项为 2 , , 公差为 2 的 等差数列. (1) 若 bn ? an ? f (an) ,当 m ?

2 时,求数列 ?b n? 的前 n 项和 Sn ; 2

(2)设 cn ? an ? lg an ,如果 ?cn? 中的每一项恒小于它后面的项,求 m 的取值范围. 21. (本小题满分 14 分)
3

已知函数 f ( x) ? a x 2 ? bx ? 1 在 x ? 3 处的切线方程为 y ? 5x ? 8 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? k e x 恰有两个不同的实根,求实数 k 的值; (3)数列 ? an? 满足 2a1 ? f (2) , an ?1 ? f (an ), n ? N ,
?

求S ?

1 1 1 1 的整数部分. ? ? ? ???? ? a1 a2 a3 a2013

4

8. 【 解 析 】 设 P( x0 , y0 ) , 倾 斜 角 为

? , 0 ? tan ? ? 1 ,
1 ,故选 A . 2

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 , f'(x)=2x+2 , 0 ? 2 x0 ? 2 ? 1 , ?1 ? x0 ? ?
9. 【解析】等差数列 ? an? 中,有

a ?a ?a
6 7

8

? 3a 7 ,? a7 ? 4,? S 13 ? 13a7 ? 52 ,

故此数列的前 13 项之和为 52 .

5

10 .【 解 析 】

T

( r ? 1)

?C

r 6

6?r

x

(? ) x

2

r

? C (?2)
r 6

r

x

3 3? r 2

,故

r ?2 时 ,

C

2 6

( ?2) ? 60 .
2

11.【解析】由框图可知: S ? 2, ?1, , 2, ?1, ?? , 周期为 T ? 3, , 2013 ? 3 ? 671 ,故输出 S 的值是

1 2

1 2

1 . 2

12. 【解析】由题意知: C 可以是直线,也可以是平面, 当 C 表示平面时,①②③都不对,故选④正确.

则有 sin(2 x ?

?

1 ) ?[ , 6 2

3 ? ] ,所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1?[2, 1 ? 3] ……11 分 2 6

6

18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想 方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) A1 解 : N P (1)证法一: 连接 AB1, AC1 …………1 分 B1 由题意知,点 M , N 分别为 AB1 和 B1C1 的中点, …………3 分 ? MN // AC1 . 又 MN ? 平面 A1 ACC1 , AC1 ? 平面 A1 ACC1 , …………5 分 …………6 分 ? MN // 平面 A1 ACC1 .

C1

M A C

B 证法二:取 A1B1 中点 P ,连 MP, NP ,而 M , N 分别为 AB1 与 B1C1 的中点,

? MP // A1 A ,…………2 分 MP ? 平面A1 ACC1 , AA1 ? 平面A1 ACC1 , ? MP // 平面A1 ACC1 , 同理可证 NP // 平面A1 ACC1 …………4 分 又 MP ? NP ? P // ? 平 面 M N P 平 面 A1 ACC1 . …………5 分 ? MN ? 平 面 M N , ? MN // 平 面 P B1 …………6 分 A1 ACC1 .
证法三(向量法): 以点 A 为坐标原点,分别以直线

z
A1 P N C1

M A C

AB, AC, AA1 为 x 轴 , y 轴 , z 轴 建立 空间直 角坐 标系

y

7

x

B

解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连 DC1、CD1 交于点 O ,连 B1 A、B1O , 显然, A、M、C、B1、D1、O ,都在同一平面 ACB1D1 上. …………7 分 易证 B1O // MC , C1O ? CD1 , A1 C1 ? B1D1 ? 平面 C1CDD1 , C1O ? 平面 C1CDD1 , N D1 ?C1O ? B1D1 ,又 B1D1 ? CD1 ? D1 B

?C1O ? 平面 ACB1D1 . 取 B1O 中点 H ,连 NH ,

1

H M
Q

O
P

? N、H 分别是 B1O, B1C1 的中点

A
8

C D

B

? NH // C1O , …………9 分 ? NH ? 平面 ACB1D1 , 且 H 为垂足,即 NH ? 平面 AMC ,过点 O 作 OP ? MC 于 P ,
过 H 作 HQ // OP 交 MC 于 Q ,连 NQ , 则 ?NQH 即是所求二面角 N ? MC ? A 的补角. …………11 分 在 Rt ?MAC 中, CM ?

B1

D1 H

M
Q

O

AM 2 ? AC 2 ? 22 ? 2 ? 6 ,

2

A

P

C

9

(2)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(m ? 0) , P( x1, y1), Q( x 2, y 2) ,……………7 分

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4(m ? 1) ? 0 ,……………8 分 2 ? ? y ?1 ?4

10

1 3 ;当 x ? 2 时,F(x)取极大值 2 …………8 分 e e 1 3 2 ?x 作出直线 y ? x 和函数 F(x) ? ( x ? x ? 1)e 的大致图象,可知当 k ? 或 k ? 2 时, e e
∴当 x ? 1 时,F(x)取极小值

11

12


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