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13. 2012年全国高中数学联赛甘肃预赛


预赛试题集锦(2013) 高中竞赛
2012 年全国高中数学联赛甘肃省预赛
一.填空题(每小题 7 分,共 56 分) 1.
C ,D 两两间的距离均为 1 ,点 P 与点 Q 分别在线段 AB 与 CD 上运动,则点 P 与 空间四点 A ,B ,

点 Q 间的最小距离为_______. 2.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ?0 ≤ OP ? OA ≤1 向 量 OA ? (1,0), OB ? (1, ,则点 1) , O 为 坐 标 原 点 , 动 点 P ? x ,y ? 满 足 ? ??? ? ??? ? ? ?0 ≤ OP ? OB ≤ 2
Q( x ? y ,y ) 构成的图形的面积为_______.

3.

2, 3, 4, 5, 6, 7? ,且当 a ? A 时,必有 8 ? a ? A ,这样的集合 A 的个数是 设有非空集合 A ? ?1,
_______.

4.

? ? x ? ? x? ,x ≤ 0 设 f ( x) ? ? ,其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,若 f ( x) ? kx ? k (k > 0) 有三个不同 ? ? f ( x ? 1) ,x > 0
的实数根,则实数 k 的取值范围是_______.

5.

11位数的手机号码,前七位数字是 1390931 ,若余下的 4 个数字只能是 1 ,3 ,5 且都至少出现 1 次,
这样的手机号码有_______个.

6. 7.

若 tan x1 ? tan x2 ? ? ? tan x2012 ? 1 ,则 sin x1 ? sin x2 ? ? ? sin x2012 的最大值是_______.
f xy ? 1 ) ? f ( x) f ( y ) ? f ( y ) ? x ? 2 , f 0) ? 1 ,且对任意 x, y ? R 都有 ( 设函数 f : R ? R ,满足 (

则 f ( x) ? _______. 8. 实数 x , y, z 满足 x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,则 xy ? yz 的最大值为_______.

二.解答题(共 64 分) 9. (本题满分 14 分)已知数列 ?an ? 满足 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设 bn ? 求 Sn .
an ?1 ? an ? 1 ? n (n ? N* ) ,且 a2 ? 6 . an ?1 ? an ? 1

an b Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn , 若数列 ?bn ? 是等差数列, 记 cn ? n , n ? N* ? , c 为非零常数, ? n?c 2n

l2 ,切点 10. (本题满分 14 分) M 是抛物线 y 2 ? 2 px ( p > 0) 的准线上任意点,过 M 作抛物线的切线 l1 ,
分别为 A, B ( A 在 x 轴上方). (1)证明:直线 AB 过定点; (2)设 AB 的中点为 P ,求 | MP | 的最小值.

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高中竞赛

预赛试题集锦(2013)

b c ? 1 ? a (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? ? ? b, c 为正实数, 11. (本题满分 18 分)设 a , 且 a ? b ? c ? 1, 求证: ?≥ . 2 ?b?c a?c a?b?

12. (本题满分 18 分)某校数学兴趣小组由 m 位同学组成,学校专门安排 n 位老师作为指导教师.在该 小组的一次活动中, 每两位同学之间相互为对方提出一个问题, 每位同学又向每位指导教师各提出 一个问题, 并且每位指导教师也向全组提出一个问题, 以上所有问题互不相同, 这样共提出了 51 个 问题.试求 m , n 的值.

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