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高中数学必修1 2.1.2 指数函数及其性质


2.1.2 第 1 课时 [学习目标] 指数函数及其性质 指数函数的图象及性质 1.理解指数函数的概念和意义 .2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象 .3.初步掌握指数 函数的有关性质. 知识点一 指数函数的概念 一般地,函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 R. 思考 指数函数定义中为什么规定 a 大于 0 且不等于 1? 答 规定 a 大于 0 且不等于 1 的理由: (1)如果 a=0,当 x>0 时,ax 恒等于 0;当 x≤0 时,ax 无意义. 1 1 (2)如果 a<0,如 y=(-2)x,对于 x= , ,…时在实数范围内函数值不存在. 2 4 (3)如果 a=1,y=1x 是一个常量,对它无研究价值.为了避免上述各种情况,所以规定 a>0 且 a≠1. 知识点二 指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 定义域:R 值域:(0,+∞) 性质 过点(0,1),即 x=0 时,y=1 当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 在 R 上是增函数 当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1 在 R 上是减函数 题型一 指数函数的概念 例 1 给出下列函数: ①y=2· 3x;②y=3x 1;③y=3x;④y=x3;⑤y=(-2)x.其中,指数函数的个数是( + ) A.0 B.1 C.2 D.4 第 1 页 共 10 页 答案 B 解析 ①中,3x 的系数是 2,故①不是指数函数;②中,y=3x +1 的指数是 x+1,不是自变量 x,故②不是指 数函数;③中,3x 的系数是 1,幂的指数是自变量 x,且只有 3x 一项,故③是指数函数;④中,y=x3 的底 为自变量,指数为常数,故④不是指数函数.⑤中,底数-2<0,不是指数函数. 反思与感悟 1.指数函数的解析式必须具有三个特征:(1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数;(2)指数位置 是自变量 x;(3)ax 的系数是 1. 2.求指数函数的关键是求底数 a,并注意 a 的限制条件. 跟踪训练 1 函数 y=(2a2-3a+2)· ax 是指数函数,求 a 的值. 2a -3a+2=1, ? ? 解 由题意得?a>0, ? ?a≠1, 1 ∴a 的值为 . 2 题型二 指数函数的图象 例 2 如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx 的图象,则 a,b,c,d 与 1 的大小关系是( ) 2 1 解得 a= . 2 A.a<b<1<c<d C.1<a<b<c<d 答案 B B.b<a<1<d<c D.a<b<1<d<c 解析 方法一 在 y 轴的右侧,指数函数的图象由下到上,底数依次增大. 由指数函数图象的升降,知 c>d>1,b<a<1. ∴b<a<1<d<c. 方法二 如图,作直线 x=1,与四个图象分别交于 A、B、C、D 四点,由于 x=1 代入各个函数可得函数值 等于底数的大小,所以四个交点的纵坐标越大,则底数越大,由图可知 b<a<1<d<c.故选 B. 反思与感悟 无论指数函数的底数 a 如何变化, 指数函数 y=ax(a>0, a≠1)的图象与直线 x=1 相交于点(1, a),由图象可知:在 y 轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变大. 跟踪训练 2 如图,若 0<a<1,则函数 y=ax 与 y=(a-1)x2 的图象可能是( ) 第 2 页 共 10 页 答案 D 解析 0<a<1 时,a-1<0,因此 y

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