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高中数学必修1 2.1.2 指数函数及其性质

2.1.2 第 1 课时 [学习目标] 指数函数及其性质 指数函数的图象及性质 1.理解指数函数的概念和意义 .2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象 .3.初步掌握指数 函数的有关性质. 知识点一 指数函数的概念 一般地,函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 R. 思考 指数函数定义中为什么规定 a 大于 0 且不等于 1? 答 规定 a 大于 0 且不等于 1 的理由: (1)如果 a=0,当 x>0 时,ax 恒等于 0;当 x≤0 时,ax 无意义. 1 1 (2)如果 a<0,如 y=(-2)x,对于 x= , ,…时在实数范围内函数值不存在. 2 4 (3)如果 a=1,y=1x 是一个常量,对它无研究价值.为了避免上述各种情况,所以规定 a>0 且 a≠1. 知识点二 指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 定义域:R 值域:(0,+∞) 性质 过点(0,1),即 x=0 时,y=1 当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 在 R 上是增函数 当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1 在 R 上是减函数 题型一 指数函数的概念 例 1 给出下列函数: ①y=2· 3x;②y=3x 1;③y=3x;④y=x3;⑤y=(-2)x.其中,指数函数的个数是( + ) A.0 B.1 C.2 D.4 第 1 页 共 10 页 答案 B 解析 ①中,3x 的系数是 2,故①不是指数函数;②中,y=3x +1 的指数是 x+1,不是自变量 x,故②不是指 数函数;③中,3x 的系数是 1,幂的指数是自变量 x,且只有 3x 一项,故③是指数函数;④中,y=x3 的底 为自变量,指数为常数,故④不是指数函数.⑤中,底数-2<0,不是指数函数. 反思与感悟 1.指数函数的解析式必须具有三个特征:(1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数;(2)指数位置 是自变量 x;(3)ax 的系数是 1. 2.求指数函数的关键是求底数 a,并注意 a 的限制条件. 跟踪训练 1 函数 y=(2a2-3a+2)· ax 是指数函数,求 a 的值. 2a -3a+2=1, ? ? 解 由题意得?a>0, ? ?a≠1, 1 ∴a 的值为 . 2 题型二 指数函数的图象 例 2 如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx 的图象,则 a,b,c,d 与 1 的大小关系是( ) 2 1 解得 a= . 2 A.a<b<1<c<d C.1<a<b<c<d 答案 B B.b<a<1<d<c D.a<b<1<d<c 解析 方法一 在 y 轴的右侧,指数函数的图象由下到上,底数依次增大. 由指数函数图象的升降,知 c>d>1,b<a<1. ∴b<a<1<d<c. 方法二 如图,作直线 x=1,与四个图象分别交于 A、B、C、D 四点,由于 x=1 代入各个函数可得函数值 等于底数的大小,所以四个交点的纵坐标越大,则底数越大,由图可知 b<a<1<d<c.故选 B. 反思与感悟 无论指数函数的底数 a 如何变化, 指数函数 y=ax(a>0, a≠1)的图象与直线 x=1 相交于点(1, a),由图象可知:在 y 轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变大. 跟踪训练 2 如图,若 0<a<1,则函数 y=ax 与 y=(a-1)x2 的图象可能是( ) 第 2 页 共 10 页 答案 D 解析 0<a<1 时,a-1<0,因此 y=(a-1)x2 图象开口向下. 题型三 指数函数的图象变换 例 3 已知 f(x)=2x 的图象,指出下列函数的图象是由 y=f(x)的图象通过怎样的变化得到: (1)y=2x 1;(2)y=2x 1;(3)y=2x+1; + - (4)y=2 x;(5)y=2|x|. - 解 (1)y=2x -1 +1 的图象是由 y=2x 的图象向左平移一个单位得到. (2)y=2x 的图象是由 y=2x 的图象向右平移 1 个单位得到. (3)y=2x+1 的图象是由 y=2x 的图象向上平移 1 个单位得到. (4)∵y=2 x 与 y=2x 的图象关于 y 轴对称,∴作 y=2x 的图象关于 y 轴的对称图形便可得到 y=2 x 的图象. - - (5)∵y=2|x|为偶函数,故其图象关于 y 轴对称,故先作出当 x≥0 时,y=2x 的图象,再作关于 y 轴的对称图 形,即可得到 y=2|x|的图象. 反思与感悟 指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图象变换: (1)平移变换:把函数 y=ax 的图象向左平移 φ(φ>0)个单位,则得到函数 y=ax 个单位, 则得到函数 y=a x-φ x +φ 的图象;若向右平移 φ(φ>0) 的图象; 若向上平移 φ(φ>0)个单位, 则得到 y=a +φ 的图象; 若向下平移 φ(φ>0) 个单位,则得到 y=ax-φ 的图象.即“左加右减,上加下减”. (2)对称变换:函数 y=a x 的图象与函数 y=ax 的图象关于 y 轴对称;函数 y=-ax 的图象与函数 y=ax 的图 - 象关于 x 轴对称; 函数 y=-a x 的图象与函数 y=ax 的图象关于原点对称; 函数 y=a|x|的图象关于 y 轴对称; - 函数 y=|ax-b|的图象就是 y=ax-b 在 x 轴上方的图象不动,把 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方. (3)一般的情形:①函数 y=|f(x)|的图象由 y=f(x)在 x 轴上方图象与 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到上方合并而 成,简记为“下翻上,擦去下”;②函数 y=f(|x|)的图象由函数 y=f(x)在 y 轴右方图象与其关于 y 轴对称的 图象合并而成,简记为“右翻左,擦去左”. 跟踪训练 3 (1)函数 y=|2x-2|的图象是( ) 第 3 页

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