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2014年中考数学二轮复习系列(五)开放探究专题


2014 年中考数学二轮复习系列(五)

开放探究专题
一、题型特点 开放探究问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的结论,要求添加条件或概 括结论;其次是给定条件,判断存在与否的问题;近几年来又逐步出现了一些根据提供的材 料, 按自己的喜好自编问题并加以解决的试题。 这类题主要考查学生的分析问题和解决问题 的能力和创新意识.。 开放探究题常见的类型有:(1)条件开放型:即问题的条件不完备或满足结论的条件 不唯一;(2)结论开放型:即在给定的条件下,结论不唯一;(3)策略开放型:即思维策 略与解题方法不唯一;(4)综合型:即条件、结论、策略中至少有两项均是开放的. 其中 较典型的一类问题是存在性问题, 指在一定的前提下, 需探索发现某种数学关系是否存在的 题目。 二、解题策略 在解决开放探究题的时候, 需解题者经过探索确定结论或补全条件, 将开放性问题转化 为封闭性问题,然后选择合适的解题途径完成最后的解答。三、考点分析 1、条件开放型:即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一; 解这种类型的开放性问题的一般思路是:由已知的结论反思题目应具备怎样的条件, 即从题目的结论出发,结合图形挖掘条件,逆向追索,逐步探寻,是一种分析型思维方式. 它要求解题者善于从问题的结论出发,逆向追索,多途寻因。 例 1、 (2013 上海市,15) 如图 3,在△ ABC 和 △ DEF 中, 点 B、 F、 C、 E 在同一直线上, BF = CE, AC∥DF,请添加一个条件,使△ ABC ≌△ DEF , 这个添加的条件可以是 ____________ . (只需写一 个,不添加辅助线) 分析:由已知可推出 BC=EF,∠ACB=∠DFE, 若 根 据 “SAS” , 再 需 补 充 一 条 边 对 应 相 等 , 即 AC=DF; 若根据 AAS,需补充∠ A=∠ D, 若根据“ASA”,需再补充∠ B=∠ E,下面就一种情况解析 。
1

解:AC=DF,理由是: ∵BF=CE, ∴BF+FC=CE+FC, ∴BC=EF, ∵AC∥DF, ∴∠ACB=∠DFE, 在△ABC 和△DEF 中 AC=DF∠ACB=∠DFE BC=EF ∴△ABC≌△DEF(SAS), 故答案为:AC=DF.

. ⌒ 的中点,且 AB 是直径 解:(1)证明:∵C 是AB ⌒ =CB ⌒ ∴AB ∴∠AOC=∠BOC=90° ∵AO=BO
2

∴CO 是 AB 的垂直平分线 ∴AP=BP ∴∠A=∠B ∵AO=MO ∴∠A=∠M ∴∠B=∠M,且∠A=∠A ∴△AOM∽△APB ∴AM?AP=AB?AO ∵AO=R,AB=2R ∴AM?AP=2R2 在圆 O 中 R 是定值,∴2R2 也是定值 ∴AM?AP=2R2 是定值; (2)解:当

AM AO ? AB AP

AM OM ? OM PM

时,OM⊥PB.

证明:

∴△AOM∽△OPM ∴∠2=∠A ∴∠2=∠B ∵∠2+∠1=∠BOC=90° ∴∠1+∠B=90° ∴∠3=90°

3

∴OM⊥PB. 【即时检测 1】如图,添加条件,使△ABC≌△ABD,至少四种情况,写的情况多,可以 适当加分,每多一种情况,加 1 分,最多加 3 分.

【即时检测 2】 (2002?金华) 如图所示, 在△ABC 中, 以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于 D, 连接 AD,请一个使△ABD≌△ACD,并加以证明.你添加的条件是

2、结论开放型问题 解决这种类型的问题的时候要充分利用已知条件或图形特征,进行猜想、归纳、类比, 透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象, 然后经过论证作出取舍, 这是一种归纳类比型 思维. 它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想,发现规律,得出结论,这类题主 要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。 例 3、已知,如图,A,E,F,C 在一条直线上,AE=CF,过 E,F 分别作 DE⊥AC 于 E,BF⊥ AC 于 F,若 AB=CD,连 BD 交 AC 于点 P, 猜想:点 P 是哪条线段的中点?请选择其中一个证 明. 猜想:点 P 是 AC、EF、BD 的中点,选择 P 为 BD 中点证明,理由为:由 AE=CF,等式左右两边都 加上 EF,得到 AF=CE,再由 BF 与 DE 都与 AC 垂直,得到一对直角相等,在直角三角形 中,AB=CD,AF=CE,利用 HL 得到两直角三角形全等,由全等三角形的对应角相等得到一 对内错角相等,利用内错角相等两直线平行得到 AB 与 CD 平行,再由两直线平行内错角相

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等得到一对角相等,以及 AB=CD,利用 ASA 可得出三角形 ABP 与三角形 CDP 全等,由全 等三角形的对应边相等得到 BP=DP,即 P 为 BD 的中点,得证. 解:P 为 AC 的中点,P 为 EF 的中点,P 为 BD 的中点,选择 P 为 BD 的中点,理由 如下: ∵ DE⊥ AC,BF⊥ AC, ∴ ∠ AFB=∠ CED=90° , 又∵ AE=CF, ∴ AE+EF=CF+EF,即 AF=CE, 在 Rt△ AFB 和 Rt△ CED 中, ∵ AB=CD AF=CE ∴ Rt△ AFB≌ Rt△ CED(HL), ∴ ∠ A= ∠ C, ∴ AB∥ CD, ∴ ∠ ABP=∠ CDP, 在△ ABP 和△ CDP 中, ∵ ∠ A=∠ C,AB=CD∠ ABP=∠ CD ∴ △ ABP≌ △ CDP(ASA), ∴ BP=DP,即 P 为 BD 的中点 例 4.如图,在△ ABC 中,AC=BC,∠ ACB=90° ,CD⊥ AB,垂足为 D,点 E 在 AC 上,BE 交 CD 于点 G,EF⊥ BE 交 AB 于点 F, (1)如图 1:若 EA=CE,猜想线段 EF 与 EG 的数量 关系,并证明你的结论; (2)如图 2:若 EA=2CE,线段 EF 与 EG 的数量关系,并证明你的猜想; (3)若 EA=kCE,线段 EF 与 EG 的数量关系,请直接写出你的猜想

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解析: (1) 作 EH⊥ CD, EQ⊥ AB, 利用 AAS 先证△ AEQ≌ △ ECH, 易得 EQ=EH, 把 EQ=EH 作为一个条件,再利用 ASA 易证 Rt△ EFQ≌ Rt△ EGH,从而有 EF=EG; (2)作 EH⊥ CD,EQ⊥ AB,先证△ EFQ∽ △ EGH,易得

EF EG ? EG EH EA EG 1 EF ? ? ,等量代换易得 ? 2 ,于是 EF=2EG; 再证△ AQE∽ △ EHC,那么 EC EH 2 EG

(3)根据(1)(2)的结论易得 EF=kEG. 猜想:(1)EF=EG 证明:作 EH⊥ CD,EQ⊥ AB, ∵ AC=BC,CD⊥ AB,∠ ACB=90° , ∴ ∠ ADC=90° ,∠ A=∠ ACD=45° , ∵ EH⊥ CD,EQ⊥ AB, ∴ ∠ AQE=∠ EHC=90° , 又∵ EA=CE, ∴ △ AEQ≌ △ ECH, ∴ EQ=EH, ∵ EH⊥ CD,EQ⊥ AB,CD⊥ AB, ∴ 四边形 EQDH 是矩形, ∴ ∠ QEH=90° , ∴ ∠ FEQ=∠ GEH=90° -∠ QEB, 又∵ ∠ EQF=∠ EHG=90° ,EQ=EH, ∴ Rt△ EFQ≌ Rt△ EGH, ∴ EF=EG; (2)作 EH⊥ CD,EQ⊥ AB(如图 2),

6

∵ EH⊥ CD,EQ⊥ AB,CD⊥ AB, ∴ 四边形 EQDH 是矩形, ∴ ∠ QEH=90° , ∴ ∠ FEQ=∠ GEH=90° -∠ QEB, 又∵ ∠ EQF=∠ EHG=90° , ∴ △ EFQ∽ △ EGH, ∴

EF EQ ? EG EH

∵ AC=BC,CD⊥ AB, ∴ ∠ ADC=90° ,∠ A=∠ ACD=45° , ∵ EH⊥ CD,EQ⊥ AB, ∴ ∠ AQE=∠ EHC=90° , ∴ △ AQE 和△ EHC 是等腰直角三角形, ∴ △ AQE∽ △ EHC,

EA EQ 1 ? ? EC EH 2 EF ? 2, ∴ EG
∴ ∴ EF=2EG; (3)EF=kEG. 即时检测 3(2002?湛江)已知:如图,AB 是⊙ O 的直径,BC 是⊙ O 的弦,⊙ O 的割线 PDE 垂直于 AB 于点 F,交 BC 于点 G,∠ A=∠ BCP. (1)求证:PC 是⊙ O 的切线; ⌒ 上运动, (2) 若点 C 在劣弧AD 其他条件不变, 问应再具备什么条件可使 BG2=BF?BO 成立(要求画出示意图,并说明理由) (3)在满足问题(2)的条件下,你还能推出哪些形如 BG2=BF?BO 的正确结论?(要 求:不再标注其他字母,找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中,不写推理过程, 写出不包括 BG2=BF?BO 的 7 个结论)

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3、策略开放型问题 策略开放型,是指题目的条件和结论都已知或部分已知,需要探索解题方法或设计解 题方案的一类试题;这种类型的开放性试题的处理方法一般需要模仿、类比、试验、创新和 综合运用所学知识,建立合理的数学模型,从而使问题得以解决。策略开放性问题的解题方 法一般不惟一或解题路径不明确,要求解题者不墨守成规,善于标新立异,积极发散思维, 优化解题方案和过程。 例 5、 (盐城)如图甲,在△ ABC 中,∠ ACB 为锐角.点 D 为射线 BC 上一动点,连接 AD,以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF.解答下列问题: (1)如果 AB=AC,∠ BAC=90? . ① 当点 D 在线段 BC 上时(与点 B 不重合) ,如图乙,线段 CF、BD 之间的位置关系 为 ,数量关系为 .

② 当点 D 在线段 BC 的延长线上时,如图丙,① 中的结论是否仍然成立,为什么? (2)如果 AB≠AC,∠ BAC≠90? ,点 D 在线段 BC 上运动.试探究:当△ ABC 满足一个 什么条件时,CF⊥ BC(点 C、F 重合除外)?画出相应图形,并说明理由. (画图不写作法) (3)若 AC= 4 2 ,BC=3,在(2)的条件下,设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF 相 交于点 P,求线段 CP 长的最大值.

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解: (1)① CF 与 BD 位置关系是 垂直、数量关系是相等; ② 当点 D 在 BC 的延长线上时① 的结论仍成立. 由正方形 ADEF 得 AD=AF ,∠ DAF=90? . ∵ ∠ BAC=90? ,∴ ∠ DAF=∠ BAC , ∴ ∠ DAB=∠ FAC, 又 AB=AC ,∴ △ DAB≌ △ FAC , ∴ CF=BD ∠ ACF=∠ ABD. ∵ ∠ BAC=90? , AB=AC ,∴ ∠ ABC=45? ,∴ ∠ ACF=45? , ∴ ∠ BCF=∠ ACB+∠ ACF= 90? .即 CF⊥ BD (2)画图正确 当∠ BCA=45? 时,CF⊥ BD(如图丁) .

理由是:过点 A 作 AG⊥ AC 交 BC 于点 G, ∴ AC=AG 可证:△ GAD≌ △ CAF ∴ ∠ ACF=∠ AGD=45? ∠ BCF=∠ ACB+∠ ACF= 90? . 即 CF⊥ BD

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(3)当具备∠ BCA=45? 时, 过点 A 作 AQ⊥ BC 交 BC 的延长线于点 Q, (如图戊)

∵ DE 与 CF 交于点 P 时, ∴ 此时点 D 位于线段 CQ 上, ∵ ∠ BCA=45? ,可求出 AQ= CQ=4.设 CD=x , ∴ DQ=4—x, 容易说明△ AQD∽ △ DCP, ∴ CP ? CD ,
DQ AQ



CP x ? , 4? x 4
x2 1 ? x ? ? ( x ? 2) 2 ? 1 . 4 4

? CP ? ? ∴
∵ 0<x≤3

∴ 当 x=2 时,CP 有最大值 1. 【方法指导】求满足什么条件时,可由结论入手,结合前面特殊情况所提供的辅助线及 解题思路和方法,在一般情况下,这些方法往往仍适用,只是图形发生了变化,我们的思维 需做相应的调整。 【即时检测 4】 (大连市)点 A、B 分别是两条平行线 m、n 上任意两点,在直线 n 上找 一点 C,使 BC = kAB,连结 AC,在直线 AC 上任取一点 E,作∠ BEF =∠ ABC,EF 交直线 m 于点 F. (1)如图 1,当 k = 1 时,探究线段 EF 与 EB 的关系,并中以说明; 说明: ① 如果你经过反复探索没有解决问题,请写出探索过程(要求至少写三步); ② 在完成① 之后,可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ ABC 为特殊角),在图 2 中
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补全图形,完成证明. (2)如图 3,若∠ ABC = 90° ,k≠1,探究线段 EF 与 EB 的关系,并说明理由.

4、存在性问题 这类问题是指在一定的前提下,需探索发现某种数学关系是否存在的题目.解这类题的 一般思路:假设结论存在,由此出发,结合已知条件进行推理论证,得到某个结果,若合理, 则假设成立,可得问题的答案;否则假设不成立,所探索的结论不存在. 例 5、 (2013· 潍坊,24)如图,抛物线 y ? ax ? bx ? c 关于直线 x ? 1 对称,与坐标轴
2

交 于 A、B、C 三 点 , 且 AB ? 4 , 点 D? 2, ? 在 抛 物 线 上 , 直 线 是 一 次 函 数

? ?

3? 2?

y ? kx ? 2?k ? 0? 的图象,点 O 是坐标原点.

(1)求抛物线的解析式; (2)若直线平分四边形 OBDC 的面积,求 k 的值. (3)把抛物线向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得抛物线与直线交于 M、N 两 点, 问在 y 轴正半轴上是否存在一定点 P , 使得不论 k 取何值, 直线 PM 与 PN 总是关于 y 轴对称?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由.
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解: (1)因为抛物线关于直线 x=1 对称,AB=4,所以 A(-1,0),B(3,0),由点 D(2, 1.5)在抛物线上,所以 ? 又?

?a ? b ? c ? 0 ,所以 3a+3b=1.5,即 a+b=0.5, ?4a ? 2b ? c ? 1.5

b ? 1 , 即 b =- 2a , 代入上式解 得 a = - 0 . 5 , b = 1 , 从而 c = 1 . 5 ,所以 2a 1 3 y ? ? x2 ? x ? . 2 2

1 2 3 x ? x ? ,令 x=0,得 c(0,1.5),所以 CD//AB, 2 2 7 3 , ), 令 kx-2=1.5,得 l 与 CD 的交点 F( 2k 2 2 令 kx-2=0,得 l 与 x 轴的交点 E( ,0 ), k
(2)由(1)知 y ? ? 根据 S 四边形 OEFC=S 四边形 EBDF 得:OE+CF=DF+BE, 即

2 7 2 7 11 ? ? (3 ? ) ? (2 ? ), 解得 k ? , k 2k k 2k 5 1 2 3 1 2 (3)由(1)知 y ? ? x ? x ? ? ? ( x ? 1) ? 2, 2 2 2
1 2 x 2

所以把抛物线向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得抛物线的解析式为 y ? ?

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假设在 y 轴上存在一点 P(0,t),t>0,使直线 PM 与 PN 关于 y 轴对称,过点 M、N 分 别 向 y 轴 作 垂 线 MM1 、 NN1 , 垂 足 分 别 为 M1 、 N1 , 因 为 ∠ MPO = ∠ NPO , 所 以 Rt△ MPM1∽ Rt△ NPN1, 所以

MM 1 PM1 ? ,………………(1) NN 1 PN1

不妨设 M(xM,yM)在点 N(xN,yN)的左侧,因为 P 点在 y 轴正半轴上, 则(1)式变为

? xM t ? y M ? ,又 yM =k xM-2, yN=k xN-2, xN t ? yN

所以(t+2)(xM +xN)=2k xM xN,……(2) 把 y=kx-2(k≠0)代入 y ? ?

1 2 x 中,整理得 x2+2kx-4=0,所以 xM +xN=-2k, xM xN= 2

-4,代入(2)得 t=2,符合条件, 故在 y 轴上存在一点 P(0,2) ,使直线 PM 与 PN 总是关于 y 轴对称. 题后反思:本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件 与性质以及质点运动问题、 分类讨论思想于一体的综合题, 能够较好地考查了同学们灵活应 用所学知识,解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进,既考查了知识 掌握,也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成 【即时检测 5】如图,已知 E 是边长为 4cm 的正方形 ABCD 内一点,且 DE=3,∠ AED=90° , DF⊥ DE 于 D,在射线 DF 上是否存在这样的 M,使得以 C、D、M 为顶点的三角

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形与△ ADE 相似?若存在,请求出满足条件的 DM 长;若不存在,请说明理由.

盘点收获: 我解决此类问题的基本策略是:

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