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2017高考专项复习二次函数

二次函数
一、知识回顾: 1、二次函数有以下三种解析式: 一般式:__________________________________ 顶点式:___________________________________ 零点式:________________________其中 x1 , x 2 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的根
2

2、 研究二次函数的图像要抓住开口方向、顶点坐标,讨论二次函数的单调性和最值除抓住开口方向、顶 点坐标外,还要抓住对称轴与所给区间的相对位置。 3、 二次函数与一元一次方程、一元二次不等式之间的内在联系及相应转化 ① f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图像与 x 轴交点的横坐标是方程 f(x)=0 的实根; ②当_______时,f(x)>0 恒成立,当_______时,f(x) ? 0 恒成立。结论成立的条件是 x ? R 。 4、 利用二次函数的图像和性质,讨论一元二次方程实根的分布: 设 x1 , x 2 是方程 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实根,写出下列各情况的充要条件 ①当 x1 ? m, x2 ? m 时,_____________________________________________ ②当在 (m, n) 有且只有一个实根时,___________________________________ ③当在 (m, n) 内有两个不相等的实根时,_______________________________ ④当两根分别在 (m, n) , ( p, q) 且 (m, n) ? ( p, q) ? ? 时,________________ 二、基本训练: 1、二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 )(x1 ? x2 ) ,则 f (
2

x1 ? x 2 ) 等于( 2



(A) ?

b 2a

(B) ?

b a

(C) C

(D)

4ac ? b 2 4a


2、已知函数 f ( x) ? 4 x 2 ? mx ? 5 在区间 [?2,??) 上是增函数,则 f (1) 的范围是( (A) f (1) ? 25
2

(B) f (1) ? 25

(C) f (1) ? 25

(D) f (1) ? 25

3、方程 mx ? 2mx ? 1 ? 0 有一根大于 1,另一根小于 1,则实根 m 的取值范围是_______ 4、若 a, b, c 成等比数列,则函数 y ? ax ? bx ? c 的图像与 x 轴的公共点个数为_________
2 2 5、函数 y ? x ? (a ? 2) x ? 3, x ? ?a, b?的图像关于直线 x ? 1 对称,则 b=________

三、例题分析:
2 2 例 1(1)设 x, y 是关于 m 的方程 m ? 2am ? a ? 6 ? 0 的两个实根,则 ( x ? 1) ? ( y ? 1) 的最小值是
2

( (A) ?



49 4

(B)18

(C)8

(D)

3 4
1

(2)若函数 f ( x) ? loga ( x 2 ? ax ? 3) 在区间 (?? , ] 上为减函数,则 a 的取值范围为( (A) (0,1)
2

a 2



(B)( 1,??)

(C) (1,2 3)

(D) (0,1) ? (1,2 3)

(3)方程 x ? 2ax ? 4 ? 0 的两根均大于 1,则实数 a 的取值范围是_____。 例 2. 已知二次函数 f ( x ) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集为 (1,3) 。 (Ⅰ)若方程

f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的根,求 f ( x) 的解析式;
(Ⅱ)若 f ( x ) 的最大值为正数,求 a 的取值范围。

例 3、不等式 x ? 2 x ? a ? a ? 2 ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。
4 2 2

例 4、设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? b ? c), f (1) ? 0, g ( x) ? ax ? b (1) 求证:函数 f ( x) 与 g ( x) 图像有两个交点; (2) 设 f ( x) 与 g ( x) 图像交于 A,B 两点,A,B 在 x 轴上射影为 A1,B1,求 A1 B1 的取值范围; (3) 求证:当 x ? ? 3 时,恒有 f ( x) ? g ( x)

例 5. 二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象经过点(-1,0),问是否存在常数 a、b、c,使 x≤f(x)≤ 切实数都成立?证明你的结论.

1 (1+x2)对一 2

2

四、作业:同步练习

二次函数

1、 二次函数 y ? x 2 ? 2(a ? b) x ? c 2 ? 2ab 的图像的顶点在 x 轴上, 且 a,b,c 为 ?ABC 的三边长, 则 ?ABC 为 (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形 2、下列图中 y ? ax2 ? bx 与 y ? ax ? b(ab ? 0) 的图像只可能是

3、已知函数 y ? x2 ? bx ? c 且 f (1 ? x) ? f (? x) ,则下列不等式中成立的是(

)

(A) f (?2) ? f (0) ? f (2) (B) f (0) ? f (?2) ? f (2) (C) f (0) ? f (2) ? f (?2) (D) f (2) ? f (0) ? f (?2) 4、已知函数 f ( x) ? mx2 ? (m ? 3) x ? 1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数 m 的取值区 间是 (A) (0,1] (B)(0,1) (C) (??,1) (D) (??,1]

5、 (05 全国 1)设 b ? 0 ,二次函数 y ? ax2 ? bx ? a2 ? a ?1 的图像为下列之一,则 a 的值为

(A) 1

(B) -1

(C)

?1? 5 2

(D)

?1? 5 2

6、不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是________ 7、二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图像如图所示,
2

记 N ? a ? b ? c ? 2a ? b , M ? a ? b ? c ? 2a ? b , 则 M 与 N 的大小关系是_________________
2 8、 (北京卷.文理 13)在函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 中,若 a,b,c 成等比数列且 f (0) ? ?4 ,则 f ( x ) 有 最_____值(填“大”或“小” ) ,且该值为____

3

9、已知 f ( x) 为二次函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 x 2 ? 4 x ,求 f (1 ? 2 ) 的值。

10、设函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 在 ?? 3,2? 上有最大值 4,求实数 a 的值。

11、若不等式 8x 4 ? 8(a ? 2) x 2 ? a ? 5 ? 0 对一切实数 x 均成立,求实数 a 的取值范围。

12、已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x2+2x. (Ⅰ)求函数 g(x)的解析式; (Ⅱ)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|; (Ⅲ)若 h(x)=g(x)- ? f(x)+1 在[-1,1]上是增函数,求实数 ? 的取值范围.

答案: 基本训练:1、D 2、A 3、 ? ? , 0 ?

? 1 ? 3

? ?

4、0

5、6

例题:1(1)C

(2)C

(3) ? 2,

? 5? ? ? 2?

2、 (Ⅰ) f ( x) ? ?

1 2 6 3 x ? x? . 5 5 5

(Ⅱ)当 f ( x) 的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是 (??,?2 ? 3) ? (?2 ? 3,0). 3、 a ? 2或a ? ?1 4(2) ?

?3 ? ,2 3? ?2 ?
4、D

5、存在唯一一组常数( 6、 ? ?2, 2?
2

1 1 1 , , ), 满足题没条件. 4 2 4
7、M<N 8、大 ; -3 9、0

作业:1、B

2、D

3、 C

5、C

10、-3 或

3 8

11、 ?

?1 ? ,5 ? ?2 ?

12、 (I)g(x)= ? x ? 2 x . (II)原不等式的解集为[-1,

1 ];(III) ? ? 0 2
4


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