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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质2(奇偶性、单调性、最值及对称性)


1.4.2
正弦函数、余弦函数的性质

遥远的回忆
1、奇偶性的定义: f(-x)=-f(x) 奇函数,_____;
f(-x)=f(x) 偶函数,_____。 2、奇偶性的几何意义: 原点 奇函数图象关于___对称;

y轴 偶函数图象关于___对称。

遥远的回忆
3、单调性的定义: f(x1)<f(x2) 当x1<x2时,有_____,是增函数;
f(x1)>f(x2) 当x1<x2时,有_____,是减函数。 4、单调性的几何意义: 上升 若函数在[a,b]上是增函数,则图象___; 下降 若函数在[a,b]上是减函数,则图象___。

遥远的回忆
5、M是函数的最大值:

≤ M; 对于定义域内任意x,都有f(x)__
定义域内存在x0,使得f(x0)=M。 6、m是函数的最小值:

≥ m; 对于定义域内任意x,都有f(x)__
定义域内存在x0,使得f(x0)=m。

学习目标:
1.掌握正弦、余弦函数的定义域、值域; 2.掌握正弦、余弦函数的奇偶性,会判断简单函 数的奇偶性; 3.掌握正弦、余弦函数的单调性,会求简单函数 的单调区间; 4.会求函数最值及取最值时自变量的取值; 5.掌握正弦、余弦函数的对称性,会求简单函数 的对称轴、对称中心。

重、难点:
正弦,余弦函数的性质及应用。

1. 正弦、余弦函数的定义域、值域和周期性:
y
1
-4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

y=sinx (x?R)

定义域 x?R 值 域 y?[ - 1, 1 ]
周期性 T = 2?
1

y=cosx (x?R)
y
-4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

自主学习:
P37~38 1.正、余弦函数的奇偶性; 2.正、余弦函数的单调区间; 3. 正、余弦函数的最大(小)值及取 最值时自变量x的取值。

2.正弦、余弦函数的奇偶性:
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

sin(-x)=- sinx (x?R)

y=sinx (x?R) 是奇函数 定义域关于原点对称 y=cosx (x?R) 是偶函数
y
1

cos(-x)= cosx (x?R)

-4?

-3?

-2?

-?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

3.正弦、余弦函数的单调性:
y
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

? , ?) y=sinx (x? ? R) ? 2 2?

? ? 3? ?

x
sinx

?

?
2



? 2



3? 2

-1

1

-1

?? ? ? ? ? ? ? , ? ? 2 k ? , ? 2 k ? ( k ? Z)其值从-1增至1 增区间为 ? 2 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ?

? ? , 3? ? 3? ?? ? 减区间为 ? ? 2 k ? , ? 2 k ? ( k ? Z) 其值从 1减至-1 ? ? ? 2 2 ? ? 2 ?2 ?

3.正弦、余弦函数的单调性:
y
1 -3?
5? ? 2

-2?

3? ? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

y=cosx (x?R) [-π,π])
x
cosx

-?



?

?
2



? 2

-1

1

-1

? ? ?0 ? ? ? 2k?( ,? ?, ? k? k Z) 减区间为 ?2 其 值从 1减至-1
??? ? ,? 0?2k?, 2k?(k ? Z) 增区间为 ? 其 值从-1增至1

例1.求函数 的单调递增区间. x∈[-2π ,2π ]?

1 ? y ? sin( x ? ) 2 3

“整体代换”

? ? ? ? 解: (2)函数y ? sin x的单调增区间是 ? 2 k ? , ? 2 k ? (k ? Z ). ? ? 2 ? 2 ? ? 1 ? ? 由 - ? 2k? ? x ? ? ? 2k? 2 2 3 2 5? ? 得? 4k? ? x ? ? 4k?,k ? Z . 3 3 ? 5? ? ? 所以函数的单调增区间 是?? 2k?, ? 2k? ??k ? Z?. , 3 ? 3 ?

将()内表达式看作一个整体,列式,解x。

“整体代换”思想!

4.正弦、余弦函数的最值:
y=sinx (x?R)
-4? -3? -2? -?

y
1

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

定义域 x?R

?? ? 2k?(k ? Z) 当x= 2 2 时,ymax=1 ;



域 y?[ - 1, 1 ]

? ? ? ? ? 2k?(k ? Z) 当x= 2 2 时,y

min=-1

;

4.正弦、余弦函数的最值:
y=cosx (x?R)
-4? -3? -2? -?

y
1

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

定义域 x?R



域 y?[ - 1, 1 ]

k?(k ? Z) 0 当x= 2

时,ymax=1 ;

?? 2k?(k ? Z)时,ymin=-1 ; 当x= ?

例2.

? ?? 请写出函数 y ? 2 cos? ?x ? 6 ? ? ? 1,x ? R;最大(小) ? ?

值,及取最大(小)值时的自变量x的集合。

解:ymax=2×1+1=3;ymin=2×(-1)+1=-1
由x ?

?

6

? 2k?,得x ? ?

?

6

? 2k? ,

? ? ? ? 使函数取最大值的 x的集合?x x ? ? ? 2k?,k ? Z ? 6 ? ? ? 5? 由x ? ? ? ? 2k?,得x ? ? 2k? , 6 6 ? ? 5? ? 使函数取最大值的 x的集合?x x ? ? 2k?,k ? Z ? 6 ? ?

又是“整体代换”!

小组讨论(3min)
1 、如图,正弦曲线除了关于原点对称外,是 否还关于其它的点和直线对称?
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

2、如图,余弦曲线除了关于 y轴对称外,是否 还关于其它的点和直线对称? y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

5.正弦、余弦函数的对称性:
与x轴交点
?
2

过最高(低)点
y
1

-3?

?

5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

对称轴: x ? k? ?

?
2

对称中心( k? ,0)

5.正弦、余弦函数的对称性:
y
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

对称轴: x ? k?

对称中心( k? ?

?
2

, 0)

? 例3.求函数 y ? sin(2 x ? ) 图像的对称轴方程和 3 对称中心。
k? 解:由2x ? ? ? k?,得x ? ? , 3 2 12 2 ? k? ? 函数对称轴方程是 x ? ? ,k ? Z 12 2

?

?

?

k? 由2x ? ? k?,得x ? - ? , 3 6 2 ? ? k? ? ? ? 函数对称中心是 0? ?- 6 ? 2 , ?,k ? Z ? ?

?

?

依然“整体代换”!

小结:
正、余弦函数的基本性质主要指周期性、 奇偶性、单调性和最值,它们都是结合图象得 出来的,要求熟练掌握.

作业
P40练习3,6.
1.求函数y=3sin(
对称中心。

)的对称轴方程和

函数
y
1

y=sinx
y
1

y=cosx
??
?

图形 定义域 值域

?? 2

0
-1

?

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

0
-1

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

x ? ? ? 2k? 时, ymax ? 1 2 最值 x ? ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 2 x?[- ? ? 2k? , ? ? 2k? ] 增函数 2 2 单调性 x?[ ? ? 2k? , 3? ? 2k? ] 减函数 2 2
奇偶性 周期 对称性 奇函数

y ?[?1,1]

x?R

x?R
y ?[?1,1]
x ? 2k? 时, ymax ? 1 x ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1
x?[?? ? 2k? , 2k? ] x?[2k? , ? ? 2k? ]
偶函数 增函数 减函数

2 对称中心: (k? ,0) k ? Z

2? 对称轴: x ? ? ? k? , k ? Z

2? 对称轴: x ? k? , k ? Z 对称中心:( ? ? k? , 0) k ? Z 2


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