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2012-2013学年高二数学下学期期末考试 理 新课标

2012-2013 学年度下学期期末考试高二数学(理)试题【新课标】

时量:110 分钟 满分:150 分

一、选择题(本题 8 个小题,共 40 分)

1.“ x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”是“ x ? 1 ” 的(

)条件.

A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要

2.已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1, 则 ?p 是



).

A. ?x ? R,sin x ? 1

B. ?x ? R,sin x ? 1

C. ?x ? R,sin x ? 1

D. ?x ? R,sin x ? 1

3.若函数 f (x) ? x3 ? 2x2 ?1,则 f '(?1) ? (

)。

A. ?7

B. ?1

C.1

D. 7

4.已知向量 a ? (2,?3,5) 与 b ? (4, x, y) 平行,则 x,y 的值为(

)A. 6 和-10

B. –

6 和 10

C. –6 和-10

D. 6 和 10

5.已知曲线 C 的方程为 x2 ? x ? y ?1 ? 0 ,则下列各点中在曲线 C 上的点是( )

A.(0,1)

B.(-1,3)

C.(1,1)

D.(-1,2)

6、已知

P

在椭圆

x2 3

?

y2

? 1上,

F1 ,

F2 是椭圆的焦点,则|

PF1

|

?

|

PF2

|? (



A.6

B.3

C. 3

D. 2 3

7、双曲线 x2 ? y2 ? 1的渐近线方程是 (



49

A. y ? ? 3 x B. y ? ? 2 x C. y ? ? 9 x D. y ? ? 4 x

2

3

4

9

8. 设 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,并且满足 OA⊥OB.

则 y1y2 等于( )

A – 4p2

B 4p2

C – 2p2

二、填空题:(本题共有 7 小题,共 35 分)

9.已知 a ? (?3, 2,5),b ? (1,5, ?1), 则 2a ? b ?

.

D 2p2

10.函数 y ? xInx 在 x ? 1 处的切线方程为

.

11.异面直线 m 与 n 上的单位向量分别为 a , b , 且 a ? b ? 1 , 2
则两异面直线 m 与 n 所成角的大小为________.

12.抛物线的标准方程为 y2 ? 4x ,则它的准线方程为



-1-

13.以椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的焦点为焦点,离心率为 2 的双曲线方程为



25 9

14.已知点 M 与两个定点 O(0,0),A(3,0)的距离的比为 1 ,则点 M 的轨迹方程 2





15 . 如 果 椭 圆

x2 36

?

y2 9

?1

的弦

PQ

被 点 M (4, 2) 平 分 , 则 这 条 弦 所 在 的 直 线 方 程



.

三 解答题:(本题 6 小题,共 75 分)

16.已知 c ? 0 ,设命题 p :不等式 x 2 ? 2cx ? c ? 0 对一切x ? R恒成立

(12 分) 命题 q :方程 x 2 ? 2x ? 2c ? 0 没有实根,如果命题 p 为真命题,且 q 为假命题,求 c 的

取值范围.

17、(12 分)已知空间三点 A?0, 2,3?, B ??2,1, 6?,C ?1, ?1,5?.
(1)求 cos AB, AC
(2)求以 AB,AC 为边的平行四边形的面积。

18. (12 分)如图,边长为 2 的正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直,AD 与 CE 的交点为

M, AC ? BC ,且 AC=BC. (1)求证: AM ? 平面 EBC;.c.o (2 求二面角 A ? EB ? C 的大小.

E

D

M

19.(12 分)已知函数 f (x) ? x3 ? ax 2 ? bx 在 x ? ? 2 与 x ? 1 处都取得极值。

3

A

C

(1)求函数 f (x) 的解析式; B

(2)求函数 f (x) 在区间[-2,2]的最大值与最小值。

20、(13 分)图中是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米. (1)试如图所示建立坐标系,求这条抛物线的方程;
(2)当水下降 1 米后,水面宽多少?
21、(14 分)已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,焦点是(0, 2 ),(0, ? 2 ),又点 A (1, 2) 在椭圆 M 上.
-2-

(1)求椭圆 M 的方程; (2)已知直线 l 的斜率为 2 ,若直线 l 与椭圆 M 交于 B 、 C 两点,求 ?ABC 面积的最大值.
参考答案
-3-

一、 选择题:

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

C

B

B

A

D

A

A

二.填空题: 9.(-7,-1,11)

10. x ? y ?1 ? 0

11. 60

12. x ? ?1

13. x 2 ? y 2 ? 1 4 12

14. ? x ?1?2 ? y2 ? 4 即 x2 ? y2 ? 2x ? 3 ? 0

15. x ? 2 y ? 8 ? 0 三.解答题:

18.解: ∵四边形 ACDE 是正方形 , ? EA ? AC, AM ? EC ,

∵平面 ACDE ? 平面 ABC , ? EA ? 平面 ABC , ∴可以以点 A 为原点,以过 A 点平行于 BC 的直线为 x 轴,
分别以直线 AC 和 AE 为 y 轴和 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz .

设 EA ? AC ? BC ? 2 ,则 A(0,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), E(0,0,2) ,

? M 是正方形 ACDE 的对角线的交点, ? M (0,1,1) .

z

-4-

E

D

M

(1) AM ? (0,1,1) , EC ? (0,2,0) ? (0,0,2) ? (0,2,?2) , CB ? (2,2,0) ? (0,2,0) ? (2,0,0) ,

? AM ? EC ? 0, AM ? CB ? 0 ,
? AM ? EC, AM ? CB ? AM ? 平面 EBC . (2) 设平面 EAB 的法向量为 n ? (x, y, z) ,则 n ? AE 且 n ? AB ,

? n ? AE ? 0 且 n ? AB ? 0 .

?

?(0,0,2) ??(2,2,0)

? ?

( (

x, x,

y, y,

z) z)

? ?

0, 0.



?z ??x

? ?

0, y?

0.

取 y ? ?1,则 x ? 1 , 则 n ? (1,?1,0) .

又∵ AM 为平面 EBC 的一个法向量,且 AM ? (0,1,1) ,

?cos n, AM ? n ? AM ? ? 1 , n ? AM 2

设二面角 A ? EB ? C 的平面角为? ,则 cos? ? cos n, AM
∴二面角 A ? EB ? C 等于 60? .
(1) ,(2)均可用几何法 19.解:(1)f(x)=x3+ax2+bx,f?(x)=3x2+2ax+b

?1, 2
………1 分

由 f?(- 2 )= 12- 4 a+b=0 ,f?(1)=3+2a+b=0 ………3 分

3

93

得 a=- 1 ,b=-2 2

…………………5 分

经检验,a=- 1 ,b=-2 符合题意 2

所以,所求的函数解析式为f (x) ? x3 ? 1 x2 ? 2x ……6 分 2

(2)由(1)得 f?(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1), ………7 分

列表如下:

x (-2,- 2 ) - 2 (- 2 ,1) 1 (1,2)

3

3

3

f?(x)



0



0



f(x)

?

极大

极小

?

?





-5-

…………9 分

且f (?2) ? ?6, f (? 2) ? 22 , f (1) ? ? 3 , f (0) ? 0

3 27

2

…………11 分

所以当x ? ?? 2,2?时,f (x) max ? f (? 2) ? 22 , f (x) min ? f (?2) ? 6 ………12 分
3 27

20.解(1) x2 ? ?2 y (2) 此时水面宽为 2 6 米.

21.解: (Ⅰ)由已知抛物线的焦点为 (0, ?

2)

,故设椭圆方程为

y2 a2

?

x2 a2 ?

2

?1.

将点 A(1,

2) 代入方程得

2 a2

?

1 a2 ?

2

? 1,整理得 a4

? 5a2

?

4

?

0,

解得 a2 ? 4 或 a2 ? 1(舍).故所求椭圆方程为 y2 ? x2 ? 1. 42

(Ⅱ)设直线 BC 的方程为 y ? 2x ? m ,设 B(x1, y1 ), C(x2 , y2 ),

代入椭圆方程并化简得 4x 2 ? 2 2mx ? m2 ? 4 ? 0 ,

由 ? ? 8m2 ?16(m2 ? 4) ? 8(8 ? m2 ) ? 0 ,可得 m2 ? 8 ①.

由 x1 ? x2 ? ?

2 2

m, x1x2

?

m2 ? 4 4

,

故 BC ?

3 x1 ? x2 ?

3 ? 16 ? 2m2
.
2

m 又点 A 到 BC 的距离为 d ? ,
3

故 S?ABC

?

1 2

BC

?d

?

m2 (16 ? 2m2 ) 1 2m2 ? (16 ? 2m2 )

??

?

4

42

2

2,

当且仅当 2m2 ? 16 ? 2m2 ,即 m ? ?2 时取等号(满足①式)(基本不等式)

所以 ?ABC 面积的最大值为 2 .

-6-


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