空间向量

空间向量与立体几何

设计教师：崔老师

空间向量（复习） 学习目标 1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算； 2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具. 学习过程 一、课前准备 （预习教材 P115－116，找出惑之处）

??? ? ? ??? ? ? ???? ? 复习 1：如图，空间四边形 OABC 中， OA ? a, OB ? b, OC ? c .点 M 在 OA 上，且 OM=2MA, ???? ? N 为 BC 中点，则 MN ?

??? ? ? 复习 2：平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D' 中， AB ? a ???? ? ????' ? AD ? b, AA ? c ，点 P,M,N 分别是 CA' , CD' , C ' D'

的中点，点 Q 在 CA' 上，且 CQ : QA' ? 4 :1 ,用基底 ? ? ? a, b, c 表示下列向量： ???? ??? ? ???? ? ???? ⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .

?

?

※主要知识点： 1. 空间向量的运算及其坐标运算： 空间向量是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成 “三维的”了. 2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具 ①平行与垂直的判断 ②角与距离的计算 ※ 典型例题 例 1 如图,一块均匀的正三 ?? ? ?? ? 顶点处分别受力 F1 、 F2 、 边之间的夹角都是 60? ，且 些力的作用下将会怎样运 起这块钢板？

角形面的钢板的质量为 500kg ， 在它的 ?? ? F3 ，每个力与同它相邻的三角形的两 ?? ? ?? ? ?? ? F1 ? F2 ? F3 ? 200kg . 这块钢板在这 动？这三个力最小为多大时，才能提

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变式：上题中，若不建立坐标系，如何解决这个问题？

小结：在现实生活中的问题，我们可以转化我数学中向量的问题来解决，具体方法有坐标法 和直接向量运算法，对能建立坐标系的题，尽量使用坐标计算会给计算带来方便.
?ABC ? 90?, CB ? 1, CA ? 2, AA1 ? 6 ,点 M 是 CC1 的 例 2 如图， 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中， 中点，求证： AM ? BA1 .

变式：正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 1，棱长为 2，点 M 是 BC 的中点，在直线 CC1 上求一点 N，使 MN ? AB . 例3 如图， 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中， 点 E,F 分别在 BB1 , DD1 上， 且 AE ? A1 B , AF ? A1 D . ⑴ 求证： A1C ? 平面 AEF ; ⑵ 当 AB ? 4, AD ? 3, AA1 ? 5 时，求平面 AEF 与平面 D1 B1BD 所成的角的余弦值.

※ 动手试试 练 1. 如图，正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 a ，侧棱长为 2a . ⑴试建立适当的坐标系，写出点 A, B, A1 , C 1 的坐标 ⑵求 AC1 的侧面 ABB1 A1 所成的角.

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??? ? ? ? ??? ? ? 练 2. 已知点 A(1,-2,0),向量 a ? ? ?3, 4,12 ? ，求点 B 的坐标，使得 AB // a ，且 AB ? 2a .

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的运算与平面向量的方法相同； 2. 向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体几何问题常用的方法. ※ 知识拓展 ?? ? ?? ? 若二面角两个面的法向量分别是 n1 , n2 ，二面角为 ? ?? ? ?? ? 则 cos ? ? ? cos n1 , n2 ，而
? ? n ?n ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?1 ?2 . | n1 || n2 |

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： ? ? ? ? ? ? 1.已知 a ? ?1,1,0 ? , b ? ? ?1,0, 2 ? ，且 (ka ? b) ? (2a ? b) ，则 k＝ ? ? ? ? 2. 已知 a ? ?1 ? t ,2t ? 1,0 ?, b ? ?2, t, t ? ，则 b ? a 的最小值是（ A.
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； ）

C. 2 D. 3 ??? ? ??? ? ???? ? , n ,0 B ? 0 , n? , 与 p OC ? ?1,1,1? 的 夹 角 都 等 于 3. 空 间 两 个 单 位 向 量 O A? ? m ，则 ? , O? 4 cos ?A O B? 4. 将 正 方 形 ABCD沿 对 角 线 AC 折 成 直 二 面 角 后 ， 异 面 直 线 AB, CD 所 成 角 的 余 弦 值 为 . ???? ? 1 ???? ? 5. 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a ， AM ? AC1 ,N 是 BB1 的中点，则 MN ＝（ ） 3 21 6 15 15 A. C. D. a a a B. a 6 3 6 6
6

B.

1. ⑴ ⑵ ⑶

课后作业 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中，点 E, F , G 分别为 DD1 , BD, BB1 的中点. 求证： EF ? CF ; 求 EF 与 CG 所成角的余弦值； 求 CE 的长.

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