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2015-2016学年高中数学 2.5平面向量应用举例学案 新人教A版必修4


第二章 2.5

平面向量

平面向量应用举例

1.体会向量方法在几何问题中的应用. 2.体会向量方法在物理中的应用.

基 础 梳 理

一、向量方法在几何中的应用 1.证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的等价条件:a∥b(b≠0) ?a=λ b ? x1y2-x2y1=0. 2.证明垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形等,常用向量垂直的等价条件:a⊥b ?a·b=0 ? x1x2+y1y2=0. 3.求夹角问题,往往利用向量的夹角公式 cos θ =

a·b . |a||b|

4 .求线段的长度或证明线段相等,可以利用向量的线性运算、向量模的公式 |a|=

|a|

2 .

思考应用 1.用向量方法解决平面几何问题的三个步骤是什么? 解析:(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几 何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
1

(3)把运算结果“翻译”成几何关系. 二、向量方法在物理中的应用 1.力、速度、加速度、位移是向量. 2.力、速度、加速度、位移的合成与分解是向量的加法和减法运算,运动的叠加也用 到向量的合成. 3.动量 mv 是向量. 4.功即是力 F 与所产生的位移 s 的数量积. 思考应用 2.你能利用向量解决物理上的常见问题吗?试一试:如图所示,一物体受到两个大小 均为 60 N 的力的作用,两力的夹角为 60°且有一力方向水平,求合力的大小及方向.

→ → → → → 解析:设OA,OB分别表示两力,以OA,OB为邻边作平行四边形 OACB,则OC即为合力. 由已知可得△OAC 为等腰三角形,且∠COA=30°. 过 A 作 AD⊥OC 于 D,则在 Rt△OAD 中, 3 → → |OD|=|OA|·cos 30°=60× =30 3(N). 2 → → 故|OC|=2|OD|=60 3(N),即合力的大小为 60 3 N,方向与水平方向成 30°角.

自 测 自 评

1.?ABCD 的三个顶点坐标分别为 A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),则顶点 D 的坐标为 (B) A.(2,1) C.(1,2) B.(2,2) D.(2,3)

→ → 2.已知△ABC,AB=a,AC=b,且 a·b<0,则△ABC 的形状是(A) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
2

→ → → 3.平行四边形 ABCD 中,若 → AB+AD = AB-AD ,则下列判断正确的是(A) A.四边形 ABCD 是矩形 B.四边形 ABCD 是正方形 C.四边形 ABCD 是邻边不相等的平行四边形 D.四边形 ABCD 是邻边不垂直的菱形

|

| |

|

→ → 4.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE·BD=2. 解析:先建立平面直角坐标系,结合向量数量积知识求解. 如图,以 A 为坐标原点 AB 所在的直线为 x 轴,AD 所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐 标系,则 A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2), → → ∴AE=(1,2),BD=(-2,2), → → ∴AE·BD =1×(-2)+2×2=2.

基 础 提 升

π 1.一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进 60 m,若牵绳与行进方向夹角为 ,人的拉力为 6
3

50 N,则纤夫对船所做的功为________. 解析:W=F·s=|F||s|cos =50×60× π 6

3 =1 5 00 3 J. 2

答案:1 500 3 J 2.河水的流速为 2 m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸,则小 船的静水速度 大小为(D) A.10 m/s C.4 6 m/s B.12 m/s D.2 26 m/s

3.已知作用在点 A(2,2)的三个力 F1=(2,3),F2=(1,-4),F3=(3,2),则合力

F=F1+F2+F3 的终点坐标为(B)
A.(6,1) C.(4,-1) B.(8,3) D.(3,8)

→ → → → → → 4.点 O 是△ABC 所在平面内一点,满足OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点 O 是△ABC 的(D) A.三角形内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 5 . 经 过

P( - 2 , 0) 且 平 行 于

a = (0 , 3) 的 直 线 方 程 为

________________________________________________________________________. 答案:x=-2

巩 固 提 高

?1 3? 6.已知一物体在共点力 F1=(2,2),F2=(3,1)的作用下,产生位移 s=? , ?,则共 ?2 2?
点力对物体所做的功为(C) A.4 C.7 B.3 D.2

1 3 解析: 合力 F=F1+F2=(2, 2)+(3, 1)=(5, 3), F 对物体所做的功为 F·s=5× +3× 2 2 =7.故选 C

4

→ 1 7.如图所示,已知任意四边形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,F 是 BC 的中点,求证:EF= 2 → → (AB+DC).

→ → → → 证明:EF=EA+AB+BF, →



EF=ED+DC+CF, ②
又因为点 E、F 分 别是 AD、BC 的中点,

→ → →



EA=-ED,BF=-CF,
→ → → → 1 → → ①+② 得 2EF=AB+DC,即EF= (AB+DC). 2 8.甲、乙两人同时拉动一个有绳相缚的物体,当甲、乙所拉着的绳 子与铅垂线分别成







30°和 60°的角时,甲和乙的手上所承受的力的比是(D) A.1∶ 2 C.1∶ 3 B. 2∶1 D. 3:1 3 1 |G|,|F 乙|=|G|sin 30°= |G|, 2 2

解析:设物体重为|G|,则|F 甲|=|G|sin 60°= ∴|F 甲|∶|F 乙|= 3∶1.故选 D.

9.如图,在梯形 ABCD 中,CD∥AB,E、F 分别是 AD、BC 的中点.求证:EF∥AB∥CD.

5

→ → 证明:∵在梯形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的中点,∴AE+DE=0. 1 → 1 → → → → → = EF= EB+EC = → 2 2 AB-AE+DC-DE

(

) (

)

1 → → . 2 AB+DC

(

)

∵CD∥AB, → → ∴存在实数 λ ,使得AB=λ DC, 1+λ → → 1 → → EF= AB+DC = DC, 2 2

(

)

∴EF∥CD,同理 EF∥AB. ∴EF∥A B∥CD. 10.一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,该船实际航行 方向与水流方向 成 30°角.求水流速度与船的实际速度. → → → 解析:如图,OA表示水流速度,OB表示船向垂直于对岸行驶的速度,OC表示船的实际速 → 度,∠AOC=30 °,|OB|=5 km/h.∵四边形 OACB 为矩形,

→ → → ∴|OA|=|AC|tan 60°=|OB|·tan 60°=5 3 (km/h), → |OB| → |OC|= =10 (km/h). sin 30° 所以水流速度为 5 3 km/h,船实际速度为 10 km/h.

1.用向量解决平面几何问题,往往是利用向量的平行四边形法则和三角形 法则及坐标

6

运算,结合平 面图形的性质解题,解决的一般问题是平行、垂直的问题. 2.平面向量为解决物理问题又提供了方法,解题时先将物理问题转化为数学问题再用 向量知识解决,一般涉及力、位移、速度、加速度等量.

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