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求函数的值域常用方法


求函数值域的常用方法
求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一,也是考试的热点和难点之一。遗憾的是 教材中仅有少量求定义域的例题、习题,而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。 原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容,技巧性强,有很高的难度,因 此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的 方法,仅作抛砖引玉吧。 一、基本知识 1. 定义:因变量 y 的取值范围叫做函数的值域(或函数值的集合) 。 2. 函数值域常见的求解思路: ⑴.划归为几类常见函数,利用这些函数的图象和性质求解。 ⑵.反解函数,将自变量 x 用函数 y 的代数式形式表示出来,利用定义域建立函数 y 的 不等式,解不等式即可获解。 ⑶. 可以从方程的角度理解函数的值域, 如果我们将函数 y ? f ( x) 看作是关于自变量 x 的 方程,在值域中任取一个值 y0 , y0 对应的自变量 x0 一定为方程 y ? f ( x) 在定义域中的一个 解,即方程 y ? f ( x) 在定义域内有解;另一方面,若 y 取某值 y0 ,方程 y ? f ( x) 在定义域 内有解 x0 ,则 y0 一定为 x0 对应的函数值。从方程的角度讲,函数的值域即为使关于 x 的方 程 y ? f ( x) 在定义域内有解的 y 得取值范围。 特别地,若函数可看成关于 x 的一元二次方程,则可通过一元二次方程在函数定义域内 有解的条件,利用判别式求出函数的值域。 ⑷.可以用函数的单调性求值域。 ⑸.其他。 3. 函数值域的求法 在以上求解思路的引导下,又要注意以下的常见求法和技巧: ⑴.观察法;⑵.最值法;⑶.判别式法;⑷.反函数法;⑸.换元法;⑹.复合函数 法; ⑺. 利用基本不等式法; ⑻. 利用函数的单调性; ⑼. 利用三角函数的有界性; ⑽. 图 象法;⑾.配方法;⑿.构造法。 二、举例说明
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⑴.观察法:由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。 例 1:求函数 y ? 例 2:求函数 y ?

x ? 1 ? x ? 1, ? x ≥1? 的值域。 x 2 ? 6 x ? 10 的值域。

? 2, ?? ?

?

?1, ???

⑵.最值法:对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。

例 3:求函数 y ? 2x , x ?? ?2, 2? 的值域。

?1 ? ,4 ? ?4 ? ? 73 ? ? ? ??, ? 8? ?

例 4:求函数 y ? ?2 x ? 5x ? 6 的值域。
2

⑶.判别式法:通过二次方程的判别式求值域的方法。 例 5:求函数 y ?

2x ?1 的值域。 x ? 2x ? 2
2

? ??, ?1? ? ? ?

1 ? , ?? ? ?2 ?

⑷.反函数法:利用求已知函数的反函数的定义域,从而得到原函数的值域的方法。 例 6:求函数 y ?

2x ? 3 的值域。 3x ? 2 ax ? b ? d? , ? c ? 0, x ? ? ? 的值域。 cx ? d ? c?

2? ?2 ? ? ? ??, ? ? ? , ?? ? 3? ?3 ? ? a? ?a ? ? ? ??, ? ? ? , ?? ? c? ?c ? ?

例 7:求函数 y ?

⑸.换元法:通过对函数恒等变形,将函数化为易求值域的函数形式来求值域的方法。 例 8:求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。

1? ? ? ??, ? 2? ?

⑹.复合函数法:对函数 y ? f (u), u ? g ( x) ,先求 u ? g ( x) 的值域充当 y ? f (u ) 的定义 域,从而求出 y ? f (u ) 的值域的方法。 例 9:求函数 y ? log 1 (?2 x2 ? 5x ? 3) 的值域。
2

? 49 ? , ?? ? ? ?8 ?

⑺.利用基本不等式求值域: 例 10:求函数 y ? x ?

1 的值域。 x

? ??, ?2? ??2, ???

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例 11:求函数 y ? 2 x ? ⑻.利用函数的单调性: 例 12:求函数 y ? 提示: y ?

1 ( x ? 0) 的值域。 x2

?3, ?? ?

x ? 1 ? x ?1 的值域。
x? 1 都是增函数,故 y ? x ? 1 ? x ?1

2 ,x ≥ 1 , ∴ x ?1 , x ?1 ? x ?1

是减函数,因此当 x ? 1 时, ymax ? 2 ,又∵ y ? 0 ,∴ y ? 0, 2 ? 。

?

?

例 13:求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。 略 解 : 易 知 定 义 域 为 ? ??, ? , 而 y ? x ? 1 ? 2x 在 ? ??, ? 上 均 为 增 函 数 , ∴ 2 2

? ?

1? ?

? ?

1? ?

1 1 1 1? ? y ≤ ? 1 ? 2 ? ,故 y ? ? ??, ? 2 2 2 2? ?
⑼.利用三角函数的有解性: 例 14:求函数 y ?

2 cos x ? 1 的值域。 3cos x ? 2 2 ? sin x 的值域。 2 ? sin x

1? ? ? ??, ? ? ?3, ?? ? 5? ? ?1 ? ,3 ? ?3 ? ?

例 15:求函数 y ?

⑽.图象法:如果可能做出函数的图象,可根据图象直观地得出函数的值域(求某些分段 函数的值域常用此方法) 。 例 16:求函数 y ? x ? 3 ? x ? 1 的值域。

??4, 4?

求函数值域方法很多,常用的有以上这些,这些方法分别具有极强的针对性,每一种方法 又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题,必须熟练掌握各种技能技巧。 ⑾.配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函 数值域。 例 17:求函数 y ?

? x2 ? x ? 2 的值域。

点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解 : 由 ? x ? x ? 2 ≥ 0 , 可 知 函 数 的 定 义 域 为 x ∈ [ - 1 , 2] 。 此 时
2

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1 9 ? 9? ? x 2 ? x ? 2 ? ?( x ? )2 ? ? ?0, ? 2 4 ? 4?
∴ 0 ≤ ?x ? x ? 2 ≤
2

3 ? 3? ,函数的值域是 ?0, ? 。 2 ? 2?

⑿.构造法:根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。 例 18:求函数 y ?

x2 ? 4 x ? 5 ? x2 ? 4 x ? 8 的值域。

点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。 解:原函数变形为 f ( x) ?

( x ? 2) 2 ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? 22

作一个长为 4、宽为 3 的矩形 ABCD,再切割成 12 个单位
2 2 正方形。设 HK= x ,则 EK=2 ?x ,KF=2 ? x ,AK= ( x ? 2) ? 2 , 2 KC= ( x ? 2) ? 1 。

由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当 A、K、C 三点共 线时取等号。 ∴原函数的知域为{y|y≥5} 。

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