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2013届高考理科数学一轮复习考案1.2 命题、量词与逻辑联结词


§1.2 命题、量词与逻辑联结词 考纲解读 知识盘点 典例精析 命题预测

基础拾遗
技巧归纳 例题备选

真题探究

考 1 命题



考纲解读 理解命题的概念.

2

全称量词与存在量词

理解全称量词与存在量词的意义,能正确地对含
有一个量词的命题进行否定.

逻辑联结词“或”、“且 了解逻辑联结词“或”、 “且”、“非”的含 3 ”、“非” 义, 知道复合命题与构成它的简单命题的真假 关系.

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知识盘点 真题探究

基础拾遗 例题备选

?

作为高中数学的基础知识,命题、量词与逻辑联结词是每年高 考的必考内容,题量一般为1~2道,多以选择题或填空题的形式出现, 难度不大,重点考查命题真假的判断、全称命题与特称命题的否定 等,题目内容和思想方法涉及或渗透到高中数学的各个章节,有一定 的综合性.

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基础拾遗 例题备选

一、命题的概念:可以判断真假的语句叫做命题.命题分真命题和假 命题两种. 二、全称量词与存在量词 1.全称量词与全称命题 (1)短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词, 并用符号“?”表示. (2)含有全称量词的命题,叫做全称命题. (3)全称命题“对 A中任意一个x,有P(x)成立”可用符号简记为:?x ∈A,P(x),读作“对任意x属于A,有P(x)成立”.
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2.存在量词与特称命题 (1)短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在 量词,并用符号“?”表示. (2)含有存在量词的命题,叫做特称命题. (3)特称命题“存在 A中的一个x0,使P(x0)成立”可用符号简记为:?x
0

∈A,P(x0),读作“存在一个x0属于A,使P(x0)成立”.

3.含有一个量词的命题的否定
命题:?x∈A,P(x),命题的否定:?x0∈A, 命题:?x0∈A,P(x0),命题的否定:?x∈A,
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┑P(x0).


P(x).
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三、逻辑联结词、简单命题与复合命题 1.“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联 结词的命题是简单命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且” 、“非”构成的命题是复合命题.
2.构成复合命题的形式:p或q(记作“p∨q”);p且q(记作“p∧q”); 非p(记作“
┑p”).

3.“或”、 “且”、 “非”的真值判断 (1)“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反; (2)“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真,其他情况时为假; (3)“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真.
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1.下列关系式中不正确的是? ( (A)0??.
(C)?∈{?}.

)

(B)0?{?}.
(D)0?{?}.

【解析】选项D应改为{0}?{?}.
【答案】D

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2.已知命题p:a2≥0(a∈R),命题q:a2>0(a∈R),下列命题为真命题的是
?(

)

(A)p∨q.

(B)p∧q.
(D)(┑p)∨q.

(C)(┑p)∧(┑q).

【解析】p为真命题,q为假命题,故p∨q为真命题.

【答案】A

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基础拾遗 例题备选

3.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面 相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与
另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是? ( )

(A)①和②.

(B)②和③.
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(C)③和④.

(D)②和④.

【解析】当两直线平行时,两个平面不一定平行,①错;②正确;垂直 同一直线的两直线可相交也可异面,③错;与交线不垂直,即不垂直平 面内所有直线,即不垂直平面,④正确. 【答案】D 4. 命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x2)>0”用符号“?”写成 特称命题为 .

【答案】?x∈R且x<0,(1+x)(1-9x2)>0
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题型1对“或”“且”“非”的理解
?例1 写出下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“┑p ”形式的复合命题,并判断这些复合命题的真假:

(1)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对角线互相垂直; (2)p:方程x2+x-1=0的两实根符号相同;q:方程x2+x-1=0的两实根的绝 对值相等.

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基础拾遗 例题备选

【分析】利用“或”、“且”、“非”把两个命题联结成新命题, 再根据命题p和命题q的真假,判断复合命题的真假. 【解析】(1)p∨q:平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题. p∧q:平行四边形的对角线相等且互相垂直.假命题.

┑p:有些平行四边形的对角线不相等.真命题.

(2)p∨q:方程x2+x-1=0的两实根符号相同或绝对值相等.假命题. p∧q:方程x2+x-1=0的两实根符号相同且绝对值相等.假命题.

┑p:方程x +x-1=0的两实根符号不相同.真命题.
2

【点评】由两个简单命题构成复合命题时,要注意语言文字的简化 与综合.判断复合命题的真假时,要记准判断法则.z
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变式训练1 (1)命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是 负数,则下列命题中为真命题的是? (
(A)(┑p)∨q.
(C)(┑p)∧(┑q).

)

(B)p∧q.
(D)(┑p)∨(┑q).

(2)已知命题p:?x∈R,使tan x=1,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}, 下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(┑q)”是假命题; ③命题“(┑p)∨q”是真命题;④命题“(┑p)∨(┑q)”是假命题.正 确的是?( (A)②③. (C)①③④. ) (B)①②④. (D)①②③④.
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【解析】(1)p为真命题,q为假命题,故(┑p)∨(┑q)为真命题. (2)命题p:?x∈R,使tan x=1正确,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2} 也正确,∴①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(┑q)”是假命题; ③命题“(┑p)∨q”是真命题;④命题“(┑p)∨(┑q)”是假命题,故 应选D.

【答案】(1)D

(2)D

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题型2全(特)称命题及真假判断

? 例2 判断下列命题是否是全称命题或特称命题,若是,用符号
表示,并判断其真假. (1)有一个实数α,sin2α+cos2α≠1; (2)任何一条直线都存在斜率; (3)所有的实数a,b,方程ax+b=0恰有唯一解;
(4)存在实数x,使得? 2
1 x ? x ?1

=2.

【分析】首先明确命题中的量词,再确定命题的名称. 【解析】(1)是一个特称命题,用符号表示为:?α∈R,sin2α+cos2α≠1. 是一个假命题.
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(2)是一个全称命题,用符号表示为:?直线l,l存在斜率.是一个假命 题.

(3)是一个全称命题,用符号表示为:?a,b∈R,方程ax+b=0恰有唯一
解.是一个假命题.
(4)是一个特称命题,用符号表示为:?x∈R,?2
1 =2.是一个假命题. x ? x ?1

【点评】全(特)称命题的判别,关键是找出命题中的全称量词和存 在量词,要注意自然语言中的一些语句与全称量词和存在量词的对 应关系.

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变式训练2

判断下列命题的真假:

(1)每个指数函数都是单调函数; (2)任何实数都有算术平方根;

(3)任意x∈{x|x是无理数},x2是无理数;
(4)存在x∈R,x3≤0. 【解析】(1)指数函数的形式为y=ax(其中a>0且a≠1),定义域为{x|x ∈R},对每一个符合题意的a,函数y=ax都是单调的,当a>1时,函数y=ax 在R上为增函数.当0<a<1时,函数y=ax在R上为减函数,所以全称命题 “每个指数函数都是单调函数”是真命题.

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(2)-1是实数,但x2=-1无解,所以全称命题“任何实数都有算术平方根 ”是假命题.
3 (3)? 是无理数,但(3 )2=3是有理数,所以全称命题“任意x∈{x|x是无 ?

理数},x2是无理数”是假命题. (4)由于-1∈R,当x=-1时,x3≤0,所以特称命题“存在x∈R,x3≤0”是 真命题.

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题型3全(特)称命题的否定

? 例3 写出下列命题的否定并判断其真假:
(1)p:不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实数根; (2)p:有的三角形的三条边相等; (3)p:菱形的对角线互相垂直; (4)p:?x∈N,使得x2-2x+1≤0. 【分析】找出每个命题中所含的量词,明确命题是全称还是特称命 题,再对命题进行否定并判断真假. 【解析】(1) p:存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实数根.因为

该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立,故 p为假命题.
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(2) ┑p:所有的三角形的三条边不全相等.显然 (3) ┑p:有的菱形对角线不垂直.显然

p为假命题.

p为假命题.

(4) ┑p:?x∈N,x2-2x+1>0. 显然当x=1时,x2-2x+1>0不成立,故 p是假

命题.

【点评】常见词语的否定形式有:
原语句 是 都是 > 至少有
一个

至多有
一个

对任意x
∈A使p(x) 真

否定形式

不是

不都是



一个也 没有

至少有 两个

存在x0∈A 使p(x0)假
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变式训练3

写出下列命题的否定形式:

(1)有些三角形的三个内角都等于60°; (2)能够被3整除的整数,能够被6整除; (3)?θ∈R,使得函数y=sin(2x+θ)是偶函数; (4)?x,y∈R,|x+1|+|y-1|>0. 【解析】(1)任意一个三角形的三个内角不能都等于60°. (2)存在一个能够被3整除的整数,不能够被6整除. (3)?θ∈R,函数y=sin(2x+θ)都不是偶函数.

(4)?x,y∈R,|x+1|+|y-1|≤0.
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题型4与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题

? 例4 已知r(x):sin x+cos x>m,s(x):x2+mx+1>0.如果对?x∈R,r(x)
与s(x)有且仅有一个是真命题,求实数m的取值范围. 【分析】先求出对?x∈R,r(x),s(x)都是真命题时m的范围,再按要求 分情况讨论出所求m的取值范围.
2 【解析】∵sin x+cos x=? sin(x+? ?2 ,∴当r(x)是真命题时,m<-? . )≥2

? 4

又∵对?x∈R,s(x)为真命题,即x2+mx+1>0恒成立,有Δ=m2-4<0,∴-2< m<2.

∴当r(x)为真,s(x)为假时,m<-? .同时m≤-2或m≥2,即m≤-2, 2

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基础拾遗 例题备选

2 2 当r(x)为假,s(x)为真时,m≥-? 且-2<m<2,即-? ≤m<2.

综上可得,实数m的取值范围是m≤-2或-? ≤m<2. 2 【点评】解决与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题时,通

常先根据题目条件,推出每一个命题的真假,然后再求出每个命题是
真命题时参数的取值范围,最后根据每个命题的真假情况,确定参数 的取值范围.

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基础拾遗 例题备选

变式训练4

已知p: “?x∈[1, 2],x2-a≥0”,q:“?x∈R,x2+2ax+2-a=

0”,若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.

【解析】由“p且q” 是真命题,则p为真命题,q也为真命题.
若p为真命题,a≤x2恒成立,∵x∈[1,2],∴a≤1. 若q为真命题,即x2+2ax+2-a=0有实根,Δ=4a2 - 4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2,

综上所得,实数a的取值范围为a≤-2或a=1.

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基础拾遗 例题备选

1.逻辑联结词“或”“且” “非”可以分别从集合的角度来理解: (1)对于逻辑联结词“且”,可以结合集合中的“交集”来理解,A∩ B={x|x∈A且x∈B}中的“且”,它是指“x∈A”与“x∈B”都要满 足的意思,即x既属于A,同时又属于B; (2)对于逻辑联结词“或”,可以结合集合中的“并集”来理解,A∪ B={x|x∈A或x∈B}中的“或”,是指至少满足“x∈A”与“x∈B” 中的一个.因此逻辑联结词“或”的含义与并集中“或”的含义基 本一致. (3)对于逻辑联结词“非”,可以结合集合中的“补集”来理解,“非
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”就是否定的意思.
2.判断由逻辑联结词构成的“p∨q”、“p∧q”、“┑p”形式的 命题的真假时,可以先确定命题的构成形式,再判断命题p、q的真假, 最后根据规律确定复合命题的真假.

?

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基础拾遗 例题备选

1.(2011年安徽卷)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定 是? ( )

(A)所有不能被2整除的整数都是偶数. (B)所有能被2整除的整数都不是偶数.

(C)存在一个不能被2整除的整数都是偶数.
(D)存在一个能被2整除的整数不是偶数.

【解析】否定原题结论的同时要把量词做对应改变,答案为D.
【答案】D
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2.(2011年全国新课标卷)已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列 四个命题:

p1:|a+b|>1?θ∈[0,?);
p2:|a+b|>1?θ∈(?,π]; p3:|a-b|>1?θ∈[0,? ); p4:|a-b|>1?θ∈(? ,π].
? 3 ? 3
2? 3

2? 3

其中真命题是? (
(A)p1,p4. (B)p1,p3.

)

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(C)p2,p3.

(D)p2,p4.
2 ? 2a ? b = 2 ? 2cosθ >1∴cos

? 【解析】|a+b|= (a? b)2 =

θ>- ?,又θ∈[0,π],

1 2

? 2? ∴0≤θ<?.同理,由|a-b|>1可得?<θ≤π.∴p1,p4是真命题,故选A.
3
3

【答案】A

?

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? 例1 下列命题中的假命题是? (

)

(A)存在实数α和β,使cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. (B)不存在无穷多个α和β,使cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. (C)对任意α和β,使cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.

(D)不存在这样的α和β,使cos(α+β) ≠cos αcos β-sin αsin β.
【解析】cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β对任意α和β均成立.选B. 【答案】B
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? 例2 已知p:不等式|x-1|>m-1的解集为R,q:f(x)=-(5-2m)x是减函
数,若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数m的取值范围.

【解析】不等式|x-1|>m-1的解集为R,需m-1<0,即p是真命题时有m<1,
f(x)=-(5-2m)x是减函数,需5-2m>0,即q是真命题时有m<? . 由于“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,故p、q中一个真,另一个 为假命题. 因此,m的取值范围为1≤m<? .
5 2
5 2

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?例3 设p:函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增;q:关于x的方程x2
3 +2x+loga?=0的解集只有一个子集.若p∨q为真,(┑p)∨(┑q)也为真, 2

求实数a的取值范围.

【解析】当p是真命题时,应有a>1;当q是真命题时,关于x的方程x2+2 x+loga? =0无解,所以Δ=4-4loga? <0,解得1<a<? .
3 2 3 2 3 2

由于p∨q为真,所以p和q中至少有一个为真,又(┑p)∨(┑q)也为真, 所以 p和 q中至少有一个为真,即p和q中至少有一个为假, 故p和q
3 2

中一真一假.

p假q真时,a无解;p真q假时,a≥? .
3 综上可得,实数a的取值范围是a≥? . 2
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