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2011年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷解答(word版)


2011 年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷 2011.9.10
1.本试卷共 12 小题,满分 150 分; 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; 3.书写不要超过装订线; 4.不能使用计算器. 一、填空题(每题 8 分,共 64 分) 1.以|X|表示集合 X 的元素个数.若有限集合 A, B,C 满足|A∪B|=20,|B∪C|=30,|C∪A|=40, . 则 A∩B∩C 的最大可能值为 2.设 a 是正数.若 f ( x) = a= .

x 2 ? 6ax + 10a 2 + x 2 + 2ax + 5a 2 , x ∈ R 的最小值为 10, 则
3 2

3 . 己 知 实 系 数 多 项 式 f ( x ) = ax + bx + cx + d 满 足 f (1) = 2, f (2) = 4, f (3) = 6 , 则

f (0) + f (4) 的所有可能值集合为
n


n

4.设展开式 (5 x + 1) = a0 + a1 x + ? + an x , n ≥ 2011 .若 a2011 = max{a0 , a1 ,? , an } ,则

n= . 5.在如图所示的长方体 ABCD-EFGH 中,设 P 是矩形 EFGH 的中心,线段 AP 交平面 BDE . 于点 Q, AB = 3,AD =2, AE=1,则 PQ=

第 5 题图 6. 平面上 动,动圆扫过区域的面积为 .

第 6 题图 一个半径 r 的动圆沿边长 a 的正三角形的外侧滚

7. 设直角坐标平面上的点 y) (x, 与复数 x+yi 一一对应. 若点 A,B 分别对应复数 z , z ?1 ( z ? R ) , 则直线 AB 与 x 轴的交点对应的复数为 (用 z 表示) . 8. n 是大于 4 的偶数. 设 随机选取正 n 边形的 4 个顶点构造四边形, 得到矩形的概率为 . 二、解答题(第 9 一 10 题每题 22 分,第 11 一 12 题每题 21 分,共 86 分) 9.已知数列{ an }满足 a1 = a2 = 1, an = 1 ?

a1 + ? + an ? 2 .求 an 的通项公式. 4

10.己知正整数 a1 , a2 ,? , an 都不是素数,并且两两互素.求证:

1 1 1 1 + +? + < . a1 a2 an 2
11.设 f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c 是实数) ,当 0 ≤ x ≤ 1 时, 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 .求 b 的最 大可能值. 12. 设点 A(-1,0), B(1,0),C(2,0),D 在在双曲线 x 2 ? y 2 = 1 的左上, D≠A,直线 CD 交双曲线 x 2 ? y 2 = 1 的右支于点 E.求证:直线 AD 与 BE 的交点 P 在直线 x =

1 上. 2

1

参考答案 1.10.2.2. 12.{32} 4. 2413 5. 6. 6ar + 4π r .7.
2

17 . 4

z+z 3 .8. . (n ? 1)(n ? 3) 1+ zz a + ? + an ? 2 a 9. an = 1 ? 1 = an ?1 ? n ? 2 4 4 a a 1 1 ? an ? n ?1 = (an ?1 ? n ? 2 ) = ? = n ?1 2 2 2 2 n ?1 n?2 ? 2 an = 2 an ?1 + 1 = ? = n n ? an = n ?1 . 2 2 10.设 ak 的最小素因子 pk ,因为 ak 不是素数,所以 ak ≥ pk .于是
n 1 1 1 n 1 1 n 1 1 1 1 ≤∑ 2 ≤ +∑ ≤ +∑ ∑ a k =1 p 4 k =1 (2k ? 1)2 4 k =1 (2k ? 1)2 ? 1 = 2 ? 4n < 2 . k =1 k k n

? ? f (0) = c, ? 1 ? 11.由 ? f (1) = a + b + c, 可知 2b = 3 3 f ( ) ? f (1) ? (3 3 ? 1) f (0) ≤ 3 3 . 3 ? ? f ( 1) = a + b +c ? 3 3 3 3 ?
3 3 3 3 ( x ? x 2 ) 满足题设, b 的最大可能值为 . 2 2 12.设 D ( x1 , y1 ), E ( x2 , y2 ), P ( x, y ) ,直线 CD 的方程为 y = k ( x ? 2) ,则

f ( x) =

x 2 ? k 2 ( x ? 2) 2 = 1 ,①

?4 k 2 , 1? k 2 1 + 4k 2 5 x1 x2 = ? = ?1 + ( x1 + x2 ) , 2 1? k 4 y1 y ( x + 1) = y = 2 ( x ? 1) , x1 + 1 x2 ? 1 y2 y x2 ? 2 x1 ? 2 + 1 + x2 ? 1 x1 + 1 x2 ? 1 x1 + 1 2 x1 x2 ? 3 x1 ? x2 所以, x = = = . y2 y1 x2 ? 2 x1 ? 2 3 x2 ? x1 ? 4 ? ? x2 ? 1 x1 + 1 x2 ? 1 x1 + 1 1 把①代入上式,得 x = . 2
所以, x1 + x2 =

2


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