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必修5 3.1不等关系与不等式


3.1.1 不等关系与不等式 现实世界和日常生活中,既有相等 关系,又存在着大量的不等关系,如: 1、今天的天气预报说:明天早晨最低温 度为7℃,明天白天的最高温度为13℃; 7℃≤t≤13℃ 2、三角形ABC的两边之和大于第三边; AB+AC>BC或…… 3、a是一个非负实数。 a≥0 4、右图是限速40km/h的路标,指 示司机在前方路段行驶时,应使汽 车的速度v不超过40km/h ,写成不 等式是:_________ v≤40 40 5、某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的 含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于 2.3%,用不等式组可以表示为: ? f ≥ 2.5% ? ? p ≥ 2.3% 我们用数学符号“≠”,“>”,“<”, “≥”,“≤”连接两个数或代数式,以表 示它们之间的不等关系。含有这些不等号 的式子叫做不等式。 数轴上的任意两点中,右边点对应的 实数比左边点对应的实数大。 x A O B 在数轴上,如果表示实数a和b的两个点分别 为A和B,则点A和点B在数轴上的位置关系有 以下三种: (1)点A和点B重合; (2)点A在点B的右侧; (3)点A在点B的左侧。 在这三种位置关系中,有且仅有一种成立,由 此可得到结论: 对于任意两个实数a和b,在a=b,a>b,a<b 三种关系中有且仅有一种关系成立。 如果a-b是正数,则a>b;如果a>b, 则a-b为正数; 如果a-b是负数,则a<b;如果a<b, 则a-b为负数; 如果a-b等于零,则a=b;如果a=b, 则a-b等于零。 如果 p ? q且q ? p 都是正确的命题,记为 p ? q 读作“p等价于q或q等价于p”。 上述结论可以写成: a ?b ? 0 ? a ? b a ?b ? 0 ? a ? b a ?b ? 0 ? a ? b 判断两个实数大小的依据是: a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0 作差比较法 这既是比较大小 ( 或证明大小 ) 的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础. 作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小. 例1.比较x2-x与x-2的大小。 解:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2 =(x-1)2+1, 因为(x-1)2≥0, 所以(x2-x)-(x-2)>0, 因此x2-x>x-2. 例 2 比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小. 解: ∵ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4) ? (a 2 ? 2a ? 15) ? (a 2 ? 2a ? 8) ? ?7 ∴ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4) <0 ∴ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4) b?m b ? b 、m 都是正数,且 a ? b ,求证: 例 3 已知 a 、 a?m a b ? m b (b ? m)a ? (a ? m)b 证明: ∵ ? ? a?m a (a ? m)a ab ? ma ? ab ? bm ? (a ? m)a m(a ? b) ? (a ? m)a ∵a、 b 、m 都是正数,且 a ? b ∴ m ? 0, m ? a ? 0, a ? 0, a ? b ? 0 b?m b b?m b ? ? 0∴ ? ∴ a?m a a?m a 课堂练习: 在下列各题的横线中填入适当的不等号. < 6 ? 2 6; ⑴ (

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