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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练7(含解析)北师大版必修4


双基限时练(七)
一、选择题

正弦函数的性质与图像

1.以下对正弦函数 y=sinx 的图像描述不正确的是(

)

A.在 x∈[2kπ ,2kπ +2π ](k∈Z)上的图像形状相同,只是位置不同 B.介于直线 y=1 与直线 y=-1 之间 C.关于 x 轴对称 D.与 y 轴仅有一个交点 解析 由正弦函数的图像知 A、B、D 正确. 答案 C 1 2.M 和 m 分别是函数 y= sinx-1 的最大值和最小值,则 M+m 等于( 3 A. 2 3 2 B.- 3 D.-2 )

4 C.- 3 1 2 解析 ∵M=ymax= -1=- , 3 3

m=ymin=- -1=- ,
2 4 ∴M+m=- - =-2. 3 3 答案 D 3.函数 y=4sinx+3 在[-π ,π ]上的递增区间为( π? ? A.?-π ,- ? 2? ? π? ? C.?-π , ? 2? ? )

1 3

4 3

? π π? B.?- , ? ? 2 2?
D.?

?π ,π ? ? ?2 ?

解析 y=sinx 的增区间就是 y=4sinx+3 的增区间. 答案 B 1 4.在[0,2π ]内,使 sinx≥ 成立的 x 的取值范围是( 2 )

? π? A. ?0, ? 6? ? ?π 2 ? C. ? , π ? ?6 3 ?

?π 5 ? B. ? , π ? ?6 6 ? ?5 ? D. ? π ,π ? ?6 ?
1

解析 由 y=sinx 的图像可知答案为 B. 答案 B 3 5.y=1+sinx,x∈[0,2π ]的图像与 y= 交点的个数是( 2 A.0 C.2 B.1 D.3 )

3 解析 如右图,y=1+sinx,x∈[0,2π ]的图像与 y= 的图像有两个交点. 2 答案 C

? π? 6.函数 y=sin?x+ ?的图像关于( 3? ?
A.原点对称 π C.直线 x=- 对称 3

) B.y 轴对称 π D.直线 x= 对称 6

π π ? π? 解析 当 x= 时,y=1,故 y=sin?x+ ?的图像关于直线 x= 对称. 3? 6 6 ? 答案 D π? 1 ? 7.满足 sin?α - ?≥ 的 α 的集合为( 4? 2 ?
? ? 5π 13π ,k∈Z? A.?α |2kπ + ≤α ≤2kπ + 12 12 ? ? ? ? π 7π B.?α |2kπ - ≤α ≤2kπ + ,k∈Z? 12 12 ? ? ? ? π 5π C.?α |2kπ + ≤α ≤2kπ + ,k∈Z? 6 6 ? ? ? ? π D.?α |2kπ ≤α ≤2kπ + ,k∈Z?∪ 6 ? ?

)

2

? ? 5π ?α |2kπ + ≤α ≤2kπ +π ,k∈Z? 6 ? ?

π 1 1 解析 设 t=α - ,则 sint≥ ,如图,设直线 y= 与单位圆交于 A、B 两点,由三 4 2 2 π 5π 角函数线的定义知阴影部分即为 t 的取值范围,所以 2kπ + ≤t≤2kπ + (k∈Z),即 6 6 π π 5π 5π 13π 2kπ + ≤α - ≤2kπ + (k∈Z),所以 2kπ + ≤α ≤2kπ + (k∈Z). 6 4 6 12 12 答案 A 二、填空题 8.用不等号填空 4 2 sin π ________sin π ;sin137°________cos312°;sinπ ________cos3. 5 5 4 π π 2 解析 sin π =sin ,又 sin <sin π , 5 5 5 5 4 2 ∴sin π <sin π . 5 5 ∵sin137°=sin43°,cos312°=sin42° 又 sin43°>sin42°,∴sin137°>cos312°.
3

由 sinπ =0,cos3<0.故 sinπ >cos3. 答案 < > >

9.下列说法正确的是________(只填序号). ①y=|sinx|的定义域为 R; ②y=3sinx+1 的最小值为 1; ③y=-sinx 为奇函数; π 3π ? ? ④y=sinx-1 的单调递增区间为?2kπ + ,2kπ + ?(k∈R). 2 2 ? ? 解析 对于②,y=3sinx+1 的最小值为-3+1=-2;对于④,y=sinx-1 的单调递 π π? ? 增区间为?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z.故②④错,选①③. 2 2? ? 答案 ①③ 7 2 10.函数 y= +sinx-sin x 的最大值为________,此时 x 的值为________. 4 解析 设 sinx=t,t∈[-1,1], 7 ? 1?2 2 ∴y=-t +t+ =-?t- ? +2, 4 ? 2? 1 1 π ∴当 t= ,即 sinx= ,x=2kπ + , 2 2 6 5 或 x=2kπ + π (k∈Z)时,ymax=2. 6 答案 2 π 5 2kπ + ,或 2kπ + π (k∈Z) 6 6

三、解答题 11.求函数 y= 1 log2 -1的定义域. sinx 1 ? ?sinx≤ , 2 即? ? ?sinx>0,



1 log -1≥0, ? sin x ? 为使函数有意义, 需满足? sinx>0, ? ?sinx≠0,
2

由正弦函数

或单位圆,如图(1)、(2)所示.

4

π 5π 所以原函数的定义域为{x|2kπ <x≤2kπ + ,k∈Z}∪{x|2kπ + ≤x<2kπ +π ,k 6 6 ∈Z}. 12.已知 f(x)=cos?

?π +x?, ? ?2 ?

(1)试写出 f(x)的单调区间;

? π ? (2)若 f(x)在?- ,a?上单调递减,求实数 a 的取值范围. 2 ? ?


?π ? (1)f(x)=cos? +x?=-sinx ?2 ?

π π? ? ∴f(x)在?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z)上单调递减,在 2 2? ?

?2kπ +π ,2kπ +3π ?(k∈Z)上单调递增. ? 2 2 ? ? ? ? π π? (2)∵f(x)在?- , ?上单调递减, ? 2 2? ? π ? ? π π? ∴?- ,a?? ?- , ?, ? 2 ? ? 2 2?
π π 即- <a≤ . 2 2

? π π? ∴a 的取值范围是?- , ?. ? 2 2?
13.用五点法作出函数 y=1-2sinx,x∈[-π ,π ]上的简图,并回答下列问题: (1)观察函数的图像,写出满足下列条件的 x 的区间:①y>1,②y<1; (2)若直线 y=a 与 y=1-2sinx 有两个交点,求 a 的取值范围; (3)求函数 y=1-2sinx 的最大值、最小值及相应的自变量的值. 解 按五个关键点列表

x

-π



π 2

0

π 2

π

5

sinx 1-2sinx 描点连线得简图如下:

0 1

-1 3

0 1

1 -1

0 1

(1)由图像可知图像在 y=1 上方部分 y>1,在 y=1 下方部分 y<1, ∴当 x∈(-π ,0)时,y>1,当 x∈(0,π )时,y<1. (2)如图,当直线 y=a 与 y=1-2sinx 有两个交点时,1<a<3,或-1<a<1, ∴a 的取值范围是{a|1<a<3,或-1<a<1}. π (3)由图像可知 ymax=3,此时 x=- ; 2

ymin=-1,此时 x= .

π 2

6


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