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全国2015届高三数学一轮复习资料与复习大纲集锦与真题演练 (27)

湖北省监利县第一中学 2015 届高三数学一轮复习 第 3 课时 两角和与差的 三角函数学案
【学习目标】 1 .会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2 .能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3 .能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦 预 习 案 【课本导读】 1 .两角和的正弦、余弦、正切公式 (1)sin( α + β ) = .(2)cos( α + β ) = (3)t an( α + β ) = . 2 .两角差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin α cos β - cos α sin β = (2)cos α cos β + sin α sin β = tan α - tan β (3) = 1 + tan α tan β 3 .常用公式的变化形式 (1) a sin α + b cos α = a + b sin( α + φ ) ,其中 cos φ = , sin φ = 2 2 或 a sin x + b cos x = a + b cos( x - θ ) ,其中 cos θ = , sin θ = . 1 - tan α π 1 + tan α (2)tan α + tan β = tan( α + β )(1 - tan α tan β ) . (3) = tan( - α ) . (4) = 1 + tan α 4 1 - tan α tan( π +α ) 4
2 2

.



【教材回归】 1 .sin119°sin181°-sin91°sin29°的值为 ______ 2 .下列各式中,值为 3 的是 ( 2 )
2 2

A . 2si n15°cos15° B . cos 15°- sin 15° 2 2 2 C . 2sin 15°- 1 D . sin 15°+ cos 15° 3 .化简 cos( α - β )cos β - sin( α - β )sin β 的结果为 ( ) A . sin(2 α + β ) B . cos( α - 2 β ) C . cos α 4 .已知 tan α + tan β = 2 , tan( α + β ) = 4 ,则 tan α ·tan β = ________ 5 .已知 tan( α + β ) = 3 , tan( α - β ) = 5 ,则 tan2 α = ( A. 1 8 B .- 1 8 C. 4 7 D .- 4 7 )

D . cos β

探 究 案 题型一: 知角求值 sin7°+cos15°sin8° 例 1 (1) 求 的值. (2) 化简:sin50°(1+ 3 tan10°). (3) 求 tan20°+ cos7 -sin15°sin8°

- 1 -

4sin20°的值.

思考题 1 A. 2

4cos50°-tan40°= ( B. 2+ 3 2

) C. 3 D. 2 2- 1

题型二:知值求值 例2 (1) 已知 sin( α + π 4 π π ) =- , α ∈ ( - , ) ,求 sin α 的值. 6 5 2 2

(2) 已知

π 3π 3 12 <β <α < , sin( α + β ) =- , cos( α - β ) = ,求 cos2 α 的值. 2 4 5 13

思考题 2 1 3

1 sin2 α (1) 已知 tan( α + β ) =- 1 , tan( α - β ) = ,则 的值为 ( 2 sin2 β B .- 1 3 C. 3 D .- 3

)

A.

(2) 已知 α , β 为锐角, sin α =

8 21 , cos( α - β ) = ,求 cos β 的值 17 29

1 1 (3) 若 c os α + cos β = , sin α + sin β = ,求 cos( α - β ) 的值. 2 3

- 2 -

题型三:知值求角 例3 (1) 已知 α , β 均为锐角, sin α = 5 10 , cos β = ,求 α - β 的值 5 10

1 1 (2) 已知 α , β ∈ (0 , π ) ,且 tan( α - β ) = , tan β =- ,求 2 α - β 的值. 2 7

思考题 3

(1) 已知 tan α = 3(1 + m ) , tan( - β ) = 3(tan α tan β + m )( m ∈ R) ,若 α , β

1 13 π 都是钝角,求 α + β 的值. (2) 已知 cos α = , cos( α - β ) = ,且 0< β < α < . ①求 ta n2 α 7 14 2 的值;②求 β .

题型四:三角函数 的化简 例4 (1) 化简下列各式:

α +β - 2sin α cos β 1 1 ; (2) - ; (3)3 15sin x + 3 5cos x 2sin α sin β + α +β 1 - tan θ 1 + tan θ

思考题 4 (1)sin( x +

化简下列各式: α +β sin α - 2cos( α + β ) .

π π 2π ) + 2sin( x - ) - 3cos( - x ) ; (2) 3 3 3

- 3 -

训 练 案 1 . cos A. 0
4

π 4π - sin 等于 ( 8 8 B. 2 2

) C. 1
2

D .-

2 2 )

2 .设 tan α , tan β 是方程 x - 3 x + 2 = 0 的两根,则 tan( α + β ) 的值为 ( A .- 3 B .- 1 C. 1 D. 3 3 .在△ ABC 中,“cos A = 2sin B sin C ”是“△ ABC 为钝角三角形”的 ( A .必要不充分条件 B .充要条件 C .充分不必要条件 D .即不充分也不必要条件 )

4 .已 知过点 (0,1) 的直线 l : x tan α - y - 3tan β = 0 的斜率为 2 ,则 tan( α + β ) = ( A .- 7 3 B. 7 3 C. 5 7 D. 1

)

5 .tan70°cos10°+ 3 sin10°·tan70°-2cos40°的值 ________ π 4 π 3π ) = ,且 < α < . 求 cos α 的值 4 5 4 4

6 .已知 sin( α +

- 4 -


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