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高中数学必修一函数的性质奇偶性精选习题测试(打印版)


奇偶性 1.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax3+bx2+cx( A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 ) 2.已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a] ,则( A. a ? )

1 ,b=0 3

B.a=-1,b=0

C.a=1,b=0

D.a=3,b=0 )

3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x,则 f(x)在 R 上的表达式是( A.y=x(x-2) A.-26 5.函数 f ( x) ? A.偶函数 上有( ) A.最小值-5 7.函数 f ( x) ? B.最大值-5 C.最小值-1 D.最大值-3 B.-18 B.y =x(|x|-1) C.y =|x|(x-2) ) C.-10 ) C.非奇非偶函 25626 数 D.既是奇函数又是偶函数 D.10 4.已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,且 f(-2)=10,那么 f(2)等于(

D.y=x(|x|-2)

? x ?1 是( 1? x2 ? x ?1
B.奇函数

1? x2

6.若 ? ( x) ,g(x)都是奇函数, f ( x) ? a? ? bg( x) ? 2 在(0,+∞)上有最大值 5,则 f(x)在(-∞,0)

x?2 ?2 1? x2

的奇偶性为________(填奇函数或偶函数) .

8.若 y=(m-1)x2+2mx+3 是偶函数,则 m=_________. 9.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若 f ( x) ? g ( x) ?

x ?1

1

,则 f(x)的解析式为_______.

10.已知函数 f(x)为偶函数,且其图象与 x 轴有四个交点,则方程 f(x)=0 的所有实根之和为________. 11.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m) ,求实数 m 的取 值范围. 12.已知函数 f(x)满足 f(x+y)+f(x-y)=2f(x) ·f(y) (x ? R,y ? R) ,且 f(0)≠0,试证 f(x)是偶 函数. 13.已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x3+2x2—1,求 f(x)在 R 上的表达式. 14.f(x)是定义在(-∞,-5] ? [5,+∞)上的奇函数,且 f(x)在[5,+∞)上单调递减,试判断 f(x) 在(-∞,-5]上的单调性,并用定义给予证明. 15.设函数 y=f(x) (x ? R 且 x≠0)对任意非零实数 x1、x2 满足 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2) , 求证 f(x)是偶函数. 函数的奇偶性练习参考答案 1. 解析:f(x)=ax2+bx+c 为偶函数, ? ( x) ? x 为奇函数,∴g(x)=ax3+bx2+cx=f(x) · ? ( x) 满足奇 函数的条件. 答案:A 2.解析:由 f(x)=ax2+bx+3a+b 为偶函数,得 b=0.又定义域为[a-1,2a] ,

∴a-1=2a,∴ a ?

1 .故选 A. 3

3.解析:由 x≥0 时,f(x)=x2-2x,f(x)为奇函数,∴当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-

x2-2x=x(-x-2) .∴ f ( x) ? ?

? x( x ? 2) ? x(? x ? 2)

( x ? 0), 即 f(x)=x(|x|-2)答案:D 4.解析:f(x)+8= ( x ? 0),
答案: B 6 .解析: ? ( x) 、 g ( x )为奇函数,∴

x5+ax3+bx 为奇函数,f(-2)+8=18,∴f(2)+8=-18,∴f(2)=-26.答案:A 5.解析:此题直接
证明较烦,可用等价形式 f (- x )+ f ( x )= 0 .

f ( x) ? 2 ? a? ( x) ? bg( x) 为奇函数.又 f(x)在(0,+∞)上有最大值 5,

∴f(x)-2 有最大值 3.∴f

(x)-2 在(-∞,0)上有最小值-3, ∴f(x)在(-∞,0)上有最小值-1.答案:C7.答案:奇函数 8.答

案:0 解析:因为函数 y=(m-1)x2+2mx+3 为偶函数,∴f(-x)=f(x) ,即(m-1) (-x)2+2m(-x) + 3 =( m — 1 ) x2 + 2mx + 3 ,整理,得 m = 0 . 9 .解析:由 f ( x )是偶函数, g ( x )是奇函数,可得

f ( x) ? g ( x) ?

f ( x) ?

1 1 1 1 1 1 ? )? 2 , 联 立 f ( x) ? g ( x) ? , ∴ f ( x) ? ( .答案: ? x ?1 x ?1 2 x ?1 ? x ?1 x ?1 1 1 10.答案:0 11.答案: m ? 12.证明:令 x=y=0,有 f(0)+f(0)=2f(0) ·f(0) , 2 2。 x ?1

又 f(0)≠0,∴可证 f(0)=1.令 x=0,∴f(y)+f(-y)=2f(0) ·f(y) ? f(-y)=f(y) ,故 f(x)为 偶函数.13.解析:本题主要是培养学生理解概念的能力.f(x)=x3+2x2-1.因 f(x)为奇函数,∴f(0)= 0.当 x<0 时,-x>0,f(-x)=(-x)3+2(-x)2-1=-x3+2x2-1,∴f(x)=x3-2x2+1.因此,

?x 3 ? f ( x) ? ?0 ?x 3 ?

? 2x 2 ?1 ? 2x ? 1
2

( x ? 0),

( x ? 0), 14.解析:任取 x1<x2≤-5,则-x1>-x2≥-5. 因 f(x)在[5,+∞] ( x ? 0).


上单调递减,所以 f(-x1)<f(-x2) ? f(x1)<-f(x2) ? f(x1)>f(x2) ,即单调减函数.15.解析: 由 x1,x2 ? R 且不为 0 的任意性,令 x1=x2=1 代入可证, f(1)=2f(1) ,∴f(1)=0. 又令 x1=x2=-1, ∴f[-1×(-1) ]=2f(1)=0,∴(-1)=0.又令 x1=-1,x2=x,∴f(-x)=f(-1)+f(x)=0+f(x) =f(x) ,即 f(x)为偶函数. 点评:抽象函数要注意变量的赋值,特别要注意一些特殊值,如,x1=x2=1,x1=x2=-1 或 x1=x2=0 等,然 后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可. 函数值域的八大求法 方法一:观察法
2 例 1. 求函数 y ? 4 ? x 的值域。 [0,2] 。 2 2 2 解析:由 x ? 0及 4 ? x ? 0, 知 4 ? x ?[0,2] 。故此函数值域为

方法二:不等式法 例 2. 求函数 解析:

y?

( x 2 ? 1) 2 ( x ? 0) x2 的值域。

?y ?

( x 2 ? 1) 2 x 4 ? 2x 2 ? 1 1 ? ? 2 ? x2 ? 2 ? 4 2 2 x x x ,?此函数值域为 [4,?? ) 。

方法三:反函数法 例 3. 求函数

y?

x ?1 (x ? ?4) x?2 的值域。
2y ? 1 2y ? 1 x ?1 5 x? ? ?4 y ? 或y ? 1 1 ? y 1 ? y x?2 得 2 。 由 x ? ?4 , 得 ,解得 。?此函数值域为

解析:由

y?

5 (??,1) ? [ ,??) 2 。
方法四:分离常数法 例 4. 求函数

y?

6( x 2 ? 1) 2 6x 4 ? 13x 2 ? 6 的值域。
6( x ? 1) 6x ? 12x ? 6 ? 4 4 2 6x ? 13x ? 6 6x ? 13x 2 ? 6
2 2 4 2

解析::

y?

?1?

x2 1 1 24 ?1? ?1? ? 4 2 6 25 25 6x ? 13x ? 6 2 6x ? 13 ? 2 x 。

24 ,1] 从而易知此函数值域为 25 。 [

评注:此题先分离常数,再利用不等式法求解。注意形如

y?

cx ? d (a ? 0, bc ? ad) ax ? b 的值域为

c c (??, ) ? ( ,??) a a 。
方法五:判别式法 例 5. 求函数

y?

x2 ? 1 x 2 ? x ? 1 的值域。
y

2 解析: 原式整理可得 ( y ? 1)x ? yx ? ( y ? 1) ? 0 。 当 y ? 1 ? 0 即 y ? 1 时,x ? ?2 2 原 式 成 立 。 当 y ? 1 ? 0 即 y ? 1 时 , ? ? y ? 4( y ? 1)[?( y ? 1)] ? 0 , 解 得

y?

2 5 2 5 2 5 2 5 或y ? ? (?? ,? ]?[ ,?? ) 5 5 。综上可得原函数值域为 5 5 。 评注:此方法适用于 x 为二次的情形,但应注意 y ? 1 ? 0 时的情况。

0 -1 -2

1 2 (1,-1)

x

方法六:图象法 例 6. 求函数

y?

1 x ? 1 ? 1( x ? 0) 的值域。

解析:作出此函数的图象,如下图所示。可知此函数值域为 (??,?2] ? (?1,?? ) 。 方法七:中间变量法 例 7. 求函数

y?

x2 ? 3 x 2 ? 5 的值域。 x2 ? 5y ? 3 5y ? 3 3 x 2 ? 0, 知 ? 0, 解得y ? ? 或y ? 1 y ?1 。 由 y ?1 5 。故此函数值域为

解析:由上式易得

3 (??,? ] ? (1,??) 5 。
方法八:配方法 例 8. 求函数 y ? x ? 2 x ? 3 的值域。
2 解析:因为 y ? ( x ? 1) ? 2 ? 2 ,故此函数值域为 [2,?? ) 。


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