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2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷


2014——2015 学年下学期高一年级期中考

数学学科试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时 间 120 分钟 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 x ?1 ? 0 的解集为( 1. 不等式 ) 2x ? 1 ? 1? A.?-∞,- ?∪[1,+∞) 2? ? ? 1? C.?-∞,- ?∪[1,+∞) 2? ? ? 1 ? B.?- ,1? ? 2 ? ? 1 ? D. ?- ,1? ? 2 ?

2. 若 a ? b ? 0 ,则下列不等式不能成立的是 ( A. ?
1 a 1 b

)
1 2 1 2

B. 2 a ? 2b

C. a ? b

D. ( ) a ? ( ) b ( D.13 )

3. 不等式 A.10

1 1 ? ( ) x ? 16 的整数解的个数为 128 2

B.11

C.12

4. 等差数列 ?an ? 中,如果 a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则数列 ?an ? 前 9 项的和为( A.297 ) B.144 C.99 D.66

5. 已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0 与 l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则
k 的值是(

) B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 )

A.1 或 3

a ? 80 , b ? 70 ,A ? 45? , 6. 在△ABC 中, 则此三角形解的情况是 (

A、一解

B、两解

C、一解或两解
-1-

D、无解

7. 如果 A ? C ? 0 ,且 B ? C ? 0 ,那么直线 Ax ? By ? C ? 0 不通过( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

)

8.已知点 ?x,5? 关于点 (1, y ) 的对称点为 ?? 2,?3? ,则点 p?x, y ? 到原点的距离为 ( A.4 ) B. 13 C. 15 D. 17

9. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的,二进制即 “逢二进 一”,如(1 101)2 表示二进制数,将它转换成十进制数是 1×23+1×22 +0×21+1×20=13,那么将二进制数(11?14 1 01)2 转换成十进制数是 个 ( ) A.216-1 B.216-2 C.216-3 D.216-4 )

10. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ? A.
1 6

an ?1 ? 1 ,其前 n 项积为 Tn ,则 T2014 ? ( an ?1 ? 1

B. ?

1 6

C.6
2 x

D. ? 6

11. 已知 x ? 0, y ? 0 ,且 ? 取值范围是( )

1 ? 1 ,若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的 y

A.(-∞,-2]∪[4,+∞) C.(-∞,-4]∪[2,+∞)

B.(-2,4) D.(-4,2)
S1 ? S 2 ? ? ? Sn ,称 Tn 为数列 n

12. 设数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn ,令 Tn ?

a1, a2 ,?, an 的“理想数”,已知数列 a1, a2 ,?, a500 的“理想数”为 2004,

那么数列 12, a1, a2 ,?, a500 的“理想数”为( A.2012 B.2013 C.2014

) D.2015

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

-2-

二、填空题(本大题共有 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 过 A(?1,1) , B(3,9) 两点的直线,在 y 轴上的截距是________. 14. 在 ?ABC 中 , b ? 8, c ? 3, A ? 60? , 则 此 三 角 形 的 外 接 圆 的 面 积 为 .

? y ? 3x ? 2 y ? 15. 设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 的最大值是_. x ?2 x ? y ? 8 ?

16. 已知 Sn 是等差数列 ?a n ?的前 n 项和,且 S6 ? S7 ? S5 ,给出下列五个命 题: ①d ? 0 ; ② S12 ? 0 ; ③ S12 ? 0 ; ④数列 ?S n ? 中的最大项为 S 11 ; ⑤ | a6 |?| a7 | . 其中正确的命题有 。

三、解答题(本大题共有 6 题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤.) 17. (10 分) 已知 ?an ? 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6 ? 55 ,
a2 ? a7 ? 16 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ?满足 b1 ? a1 且 bn ? an ? bn ?1 ?n ? 2, n ? N * ?, 求数列 ?bn ?的通 项公式.

18. (12 分) 在△ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边,
4 sin 2 B?C 7 ? cos 2 A ? . 2 2

(1)求角 A 的度数; (2)若 a ? 3, b ? c ? 3 ,求 b 和 c 的值.

-3-

19.(12 分) 已知直线 l 过点 P(3,2) , 且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A ,
B 两点,如图所示,求 ?OAB

的面积的最小值及此时直线 l 的方程.

20. (12 分) 某观测站 C 在城 A 的南偏西 20?的方向上,由 A 城出发有一 条公路,走向是南偏东 40?,在 C 处测得距 C 为 31 千米的公路上 B 处 有一人正沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后,到达 D 处,此时 C、D 间距离为 21 千米,问还需走多少千米到达 A 城?

21. (12 分) 在各项均为正数的等差数列 ?a n ? 中,对任意的 n ? N * 都有
a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 a n a n ?1 . 2

(1)求数列 ?a n ?的通项公式 an ; (2)设数列 ?bn ?满足 b1 ? 1, bn?1 ? bn ? 2a ,求证:对任意的 n ? N * 都有
n

2 bnbn ? 2 ? bn ?1 .

22. (12 分)设函数 f ?x ? ? ? ( x ? 0) ,数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? f (
n ? N * ,且 n ? 2 .

2 3

1 x

1 ), an ?1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;
-4-

(2)对 n ? N * ,设 Sn ? 数 t 的取值范围.

3t 1 1 1 ,若 S n ? 恒成立,求实 ? ??? 4n a1a2 a2 a3 an an ?1

答案
一、选择题: (每题 5 分,共 60 分)

题号 1 答案 D
13、 15、

2 B
3 2

3 B

4 C

5 C

6 A
14、 16、

7 C

8 D
49? 3

9 C

10 D

11 D

12 A

二、填空题: (每题 5 分,共 20 分)

①②⑤

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. ? ?a3a6=55, 17. 解:(1)由题意,得? ?a3+a6=a2+a7=16. ? ? ?a3=5, ∵公差 d>0,∴? ?a6=11, ?

∴d=2,an=2n-1. (2)∵bn=an+bn-1(n≥2,n∈N*), ∴bn-bn-1=2n-1(n≥2,n∈N*). ∵bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+?+(b2-b1)+b1(n≥2,n∈N*), 且 b1=a1=1, ∴bn=2n-1+2n-3+?+3+1=n2(n≥2,n∈N*). ∴bn=n2(n∈N*).

18. 解析

(1)由4sin 2

B?C 7 ? cos 2 A ? 及A ? B ? C ? 180?, 得 : 2 2

-5-

7 2[1 ? cos( B ? C )] ? 2 cos 2 A ? 1 ? , 4(1 ? cos A) ? 4 cos 2 A ? 5 2 1 即4 cos 2 A ? 4 cos A ? 1 ? 0,? cos A ? , 2 0? ? A ? 180?,? A ? 60?
(2)由余弦定理得 : cos A ? b2 ? c2 ? a 2 2bc 2 2 2 1 b ?c ?a 1 cos A ? ? ? ? (b ? c) 2 ? a 2 ? 3bc. 2 2bc 2 ?b ? c ? 3 ?b ? 1 ?b ? 2 a ? 3, b ? c ? 3代入上式得 : bc ? 2 由 ? 得:? 或? . ?bc ? 2 ?c ? 2 ?c ? 1

x y 3 2 19. 解:由题意设直线方程为 + =1(a>0,b>0),∴ + =1. a b a b 3 2 6 由基本不等式知 + ≥2 , a b ab 3 2 即 ab≥24(当且仅当 = ,即 a=6,b=4 时等号成立). a b 1 1 又 S= a·b≥ ×24=12, 2 2 x y 此时直线方程为 + =1,即 2x+3y-12=0. 6 4 ∴△ABO 面积的最小值为 12,此时直线方程为 2x+3y-12=0. 20. 解 据题意得图 02,其中 BC=31 千米,BD=20 千米,CD=21 千米, ∠CAB=60?. 设∠ACD = α ,∠CDB = β . 在△CDB 中,由余弦定理得:
cos ? ? CD 2 ? BD 2 ? BC 2 212 ? 20 2 ? 312 1 ? ?? , 2 ? CD ? BD 2 ? 21 ? 20 7
4 3 7

sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?



sin ? ? sin ? 180? ? ?CAD ? ?CDA ? ? sin ? 180? ? 60? ? 180? ? ? ?

? sin ?? ? 60?? ? sin ? cos 60? ? cos ? sin 60? ?

4 3 1 1 3 5 3 ? ? ? ? 7 2 7 2 14

-6-

在△ACD 中得 AD ?

CD 21 5 3 21 5 3 ? sin ? ? ? ? ? ? 15 . sin A sin 60? 14 14 3 2

所以还得走 15 千米到达 A 城. 21. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d. 1 令 n=1,得 a1= a1a2.由 a1>0,得 a2=2. 2 1 令 n=2,得 a1+a2= a2a3, 2 即 a1+2=a1+2d,得 d=1. 从而 a1=a2-d=1.故 an=1+(n-1)·1=n. (2)证明:因为 an=n,所以 bn+1-bn=2n, 所以 bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+?+(b2-b1)+b1 =2n-1+2n-2+?+2+1 =2n-1.
n n+2 又 bnbn+2-b2 -1)-(2n+1-1)2=-2n<0, n+1=(2 -1)(2 所以 bnbn+2<b2 n+1. ? 1 ? 2 22. 解:(1)由 an=f? ?,可得 an-an-1= ,n∈N*,n≥2.所以 3 ?an-1? {an}是等差数列. 又因为 a1=1, 2 2n+1 所以 an=1+(n-1)× = ,n∈N*. 3 3 2n+1 2n+3 (2)因为 an= ,所以 an+1= , 3 3 1 9 所以 = anan+1 + + 1 ? 9? 1 ?. - = ? 2?2n+1 2n+3? 1 ? 9?1 3n ?= 所以 Sn= ? - ,n∈N*. 2?3 2n+3? 2n+3

-7-

3t 3n 3t 4n2 Sn≥ ,即 ≥ ,得 t≤ (n∈N*)恒成立. 4n 2n+3 4n 2n+3 2 4n 令 g(n)= (n∈N*),则 2n+3 2 4n2 - +9 9 g(n)= = =2n+3+ -6(n∈N*). 2n+3 2n+3 2n+3 * 令 p=2n+3,则 p≥5,p∈N . 9 4 4 g(n)=p+ -6(n∈N*),易知 p=5 时,g(n)min= .所以 t≤ ,即 p 5 5 ? 4? 实数 t 的取值范围是?-∞, ?. 5? ?

-8-


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